高中数学《空间几何体的表面积和体积》知识要点精析

《空间几何体的表面积和体积》知识要点精析

一．学习目标
根据 新的课程理念的要求，要“用教材教”，而不能一味地“教教材”。那么，对于《立体
几何初步》这一章 的第3节《空间几何体的表面积和体积》来说，在学习的过程中，怎样
准确地把握教与学的尺度呢？本章 内容是义务教育阶段“空间与图形”课程的延续与发展，
重点是帮助学生逐步形成空间想象能力。为了符 合学生的认知规律，培养学生对几何学习
的兴趣，增进学生对几何本质的理解，本章在内容的选编及内容 的呈现方式上，与以往相
比有较大的变化。首先，通过观察和操作，使学生了解空间简单几何体（柱、锥 、台、球）
的结构特征，以此作为发展空间想象能力的基本模型；然后，通过归纳和分析，使学生进一步认识和理解空间的点、线、面之间的位置关系，作为思维辨证的基础。由于几何图形
的面积和体 积的计算需要应用垂直的概念，因而这一部分内容放入本章最后一节。本章内
容的设计遵循从整体到局部 、从具体到抽象的原则，强调借助实物模型，通过整体观察、
直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算 ，引导学生多角度、多层次地揭示空间图形的
本质；重视合情推理和逻辑推理的结合，注意适度形式化； 倡导学生积极主动、勇于探索
的学习方式，帮助学生完善思维结构，发展空间想象能力。
二．知识点拨
《空间几何体的表面积和体积》这一节，新教材没有像以往那样重在介绍公式的 推导过
程，而是侧重介绍了公式推导的思想方法，采用了“阅读”的形式介绍了祖恒原理，让学生
体会祖恒原理和积分思想。为了增强学生的数学应用意识，教材还通过“问题与建模”栏目
介绍了两种 体积计算的近似方法，既有利于提高学生的建模能力，又为学生解决生产、实践
中的实际问题提供了知识 基础和基本思想。

教材内容突出直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等探索、研 究空间几何图形的
过程，涉及的数学思想主要有数形结合思想、符号化与形式化思想、化归思想等，涉及 的一
般科学方法主要有观察、实验、归纳、类比、分析、综合、抽象等。
本节内容涉及到以下一些面积与体积公式：
??

?
，
S
正棱台侧
?
1
S
正棱柱侧
?ch
，
S正棱锥侧
?
1
2
(c?c)h
2
ch
?? ，
S
圆台侧
?
1
S
圆柱侧
?cl?2
?
rl
，
S
圆锥侧
?
1
2
(c?c)l ?
?
(r?r)l
2
cl?
?
rl
??
，
V
台体
?
1
V
柱体
?Sh
，
V
锥体
?
1
3
Sh
3
h(S?SS?S)
3 2
，
V
球体
?
4
?
RS?4
?
R
球面
3
虽然以上公式较多，但对于大多数公式学生并不感到陌生，教学中只需要让学 生初步了
解公式推导的方法，体会祖恒原理和积分思想。另外，对展图方法与割补法，也要在解题的过程中加以渗透。课本中例2介绍了把圆柱沿母线展开，将问题转化为平面几何问题的思路；
对于课 本的例1，应重点分析六角螺帽毛坯的结构特征（正六棱柱挖去一个圆柱），渗透“割”
与“补”的思想 和方法。
三．典例精析
除了课本中给出的典型例题外，还可适当补充一些经典的事例，帮助 学生更好地认识
立体几何，学习好立体几何。
例1正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1，P是面对角线BC上一动点，Q是 底面ABVF
上一动点，则D
1
P+PQ的最小值等于____________。




图1

分析 ：如图2，由题意可知：D
1
P+PQ取最小值时，点Q一定是P在底面上的射影。因
为D
1
P与PQ分别在两个平面内，所以把△BC
1
C沿BC
1翻转90°，使△BC
1
C与对角面
ABC
1
D
1在同一平面内，因为PQ⊥BC，所以当D
1
、P、Q三点共线且与BC垂直时，D
1
P+PQ
最小，即为D
1
Q
1
=
1?


2

2
图2
点评：利用“展图法”，成功地将立体几何 问题化归成了平面几何问题，从而使问题得
到了很好的解决。
例2 如图3，圆台上底半径 为1，下底半径为4，母线AB=18，从
AB中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到A点。
图3
（1）求绳子的最短长度；
（2）求绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离。
分析（1）要求绳子AM绕圆台一周的最短 长度，则可沿AB将圆台的曲面展开，得扇
环面（即将曲面问题转化为平面问题），然后求出扇环面上A M’间的距离，AM’=
15
2
?24
2
?2?15?24?cos 60??21
，即绳子的最短长度为21。
（2）要研究此时上底圆周上的点到绳子的最短距 离，则需将扇环补充成扇形，这样将
BB’上的点到AM’的最短距离问题转化为点S到AM’的最短距 离（因为点S到BB’上的点
的距离等于半径SB）。故只需求出S到AM’的距离SQ，再减去半径S P即可。即上底圆周
上的点到绳子最短距离PQ=SQ－SP=SQ－SB=
603
? 6
。
7

点评：此题用到将圆台“补成”圆锥再展开进行研究，这种割 、补、拼凑的思想，是重
D
要的数学思维方法。
例3一个球与正四面体的六条棱都 相切，若正四面体的
棱长为a，则这个球的体积是____________________。
C
分析：将正四面体ABCD“嵌入”到正方体中，使正四面体的六条棱分别是正方体六个面的面对角线（如图4），则球O与正四面体的六条棱都相切等价于球O与正方体的六个
面都相 切。易知正方体棱长为
球的体积为
4
3
?
R?
3
3
6
2
2
A
O
B
a
，所以球半径为
2
4
a
，故图4
?
a
3
。
S
M
例4如图5，在正三棱锥S- ABC中，M、N分别为棱SC、
BC的中点，并且MN⊥AM，若侧棱长SA=
23
，则正三棱
锥S- ABC的外接球的表面积为

B
A
12
?
B
36
?


C 32
?
D
48
?

分析：由条件中的MN⊥AM，可以推得
SB?AM
。图5
又由正三棱锥S-ABC中对棱互相垂直，得
SB?AC
。所以SB⊥平面SAC，从 而该正三棱
锥的三个顶角都是直角。将该三棱锥补成正方体，使S成为正方体的一个顶点，则正三棱锥< br>S-ABC的外接球也即是正方体的外接球，根据
2R?3?SA?3?23?6
得，R =3，所以
2
正三棱锥S- ABC的外接球的表面积为
4
?
R?36
?
，结果选（B）。
A
N
C
点评：在例3和例4的解题过程，反映了正方体问题求解中的“ 嵌”与“补”，是一种重要
的解题技巧，体现了立体几何的较高的能力要求。