高中数学组学科活动内容-高中数学面临瓶颈
高一数学《函数的对称性》知识点总结
一、函数自身的对称性探究
定理1.函数y=f的图像关于点A对称的充要条件是
f+f=2b
证明：（必要
性）设点P是y=f图像上任一点，∵点P
关于点A的对称点P'（2a－x，2b－y）也在y=f图
像上，∴
2b－y=f
即y+f=2b故f+f=2b，必要性得证。
（充分性）设点P是y=f图像上任一点，则y0=f
∵f+f=2b∴f+f=2b，即2b－y0=f。
故点P'（2a－x0，2b－y0）也在y=f图像上，而点P与
点P'关于点A对称，充分性得征。
推论：函数y=f的图像关于原点o对称的充要条件是
f+f=0
定理2.函数y=f的图像关于直线x=a对称的充要条件是
f=f即f=f
（证明留给读者）
推论：函数y=f的图像关于y轴对称的充要条件是f=f
定理
3.①若函数y=f图像同时关于点A和点B成中心对
称（a≠b），则y=f是周期函数，且2a－b
是其一个周期。
②若函数y=f图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对
称（a≠b
），则y=f是周期函数，且2a－b是其一个周期。
③若函数y=f图像既关于
点A成中心对称又关于直线
x=b成轴对称（a≠b），则y=f是周期函数，且4a－b是其一
个周期。
①②的证明留给读者，以下给出③的证明：
∵函数y=f图像既关于点A成中心对称，
∴f+f=2c，用2b－x代x得：
f+f[2a－]=2c………………（*）
又∵函数y=f图像直线x=b成轴对称，
∴f=f代入（*）得：
f=2c－f[2+x]…………（**），用2（a－b）－x代x得
f[2+x]=2c－f[4+x]代入（**）得：
f=f[4+x],故y=f是周期函数，且4a－b是其一个周期。
二、不同函数对称性的探究
定理4.函数y=f与y=2b－f的图像关于点A成中心对称。
定理5.①函数y=f与y=f的图像关于直线x=a成轴对称。
②函数y=f与a－x=f的图像关于直线x+y=a成轴对称。
③函数y=f与x－a=f的图像关于直线x－y=a成轴对称。
定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中
的③
设点P是y=f图像上任一点
，则y0=f。记点P关于直线
x－y=a的轴对称点为P'（x1，y1），则x1=a+y0,y1
=x0－a，
∴x0=a+y1,y0=x1－a代入y0=f之中得x1－a=f∴点P'（x1，<
/p>
y1）在函数x－a=f的图像上。
同理可证：函数x－a=f的图像上任
一点关于直线x－y=a
的轴对称点也在函数y=f的图像上。故定理5中的③成立。
推论：函数y=f的图像与x=f的图像关于直线x=y成轴
对称。
三、三角函数图像的对称性列表
注：①上表中k∈Z
②y=tanx的所有对称中
心坐标应该是，而在岑申、王而
冶主编的浙江教育出版社出版的21世纪高中数学精编第一
册（
下）及陈兆镇主编的广西师大出版社出版的高一数学新
教案（修订版）中都认为y=tanx的所有对称
中心坐标是，
这明显是错的。
四、函数对称性应用举例
例1：定义在R上的非常数函数满足：f为偶函数，且
f=f,则f一定是（
）（第十二届希望杯高二第二试题）
是偶函数，也是周期函数
是偶函数，但不是周期函数
是奇函数，也是周期函数
是奇函数，但不是周期函数
解：∵f为偶函数，∴f=f.
∴f有两条对称轴x=5与x=10，因此f是以1
0为其一
个周期的周期函数，∴x=0即y轴也是f的对称轴，因此f
还是一个
偶函数。
故选
例2：设定义域为R的函数y=f、y=g都有反函数，并且
f和g-1函数的图像关于直线y=x对称，若g=1999，那么f=
（）。
（A）1999；（B）XX；（c）XX；（D）XX。
解：∵y=f和y=g-1函数的图像关于直线y=x对称，
∴y=g-1反函数是y=f，而y
=g-1的反函数是:y=2+g,∴
f=2+g,∴有f=2+g=XX
故f=XX,应选（c）
例3.设f是定义在R上的偶函数，且f=f,当－1≤x≤0
时，
f=－x，则f=_________
（第八届希望杯高二第一试题）
解：∵f是定义在R上的偶函数∴x=0是y=f对称轴；
又∵f=f∴x=1也是y=f对称轴。故y=f是以2为周期的
周期函数，∴f=f=f=f=0.3
例4.函数y=sin的图像的一条对称轴的方程是（
）
x=－
x=－
x=
x=
解：函数y=sin的图像的所有对称轴的方程是2x+
=k+
∴x=
－,显然取k=1时的对称轴方程是x=－
故选
例5.设f是定义在R上的奇函数，且f=－f,当0≤x≤1
时，
f=x，则f=（
）
0.5
－0.5
1.5
－1.5
解：∵y=f是定义在R上的奇函数，∴点（0，0）是其
对称中心；
又∵f=－f=f，即f=f，∴直线x=1是y=f对称轴，故
y=f是周期为2的周期函数。
∴f=f=f=－f=－0.5故选