高中数学数据的数字特征-课文知识点解析

数据的数字特征-课文知识点解析
1.众数、中位数、平均数
要点提炼 < br>如果有n个数x1，x2，…，xn，那
1
么它们的平均数为
x
=n
（x1+x2+…
1
在教材所给问题中，甲组数据的中位数是
2
（18+22）=20；众数
1
+xn）.
是10、18、30；平均数是22. 2.乙组数据的中位数是
2
（27+31）

=29；众数是23、24；平均数是28.6.
我们再看下面的例子：
假设我们通过抽样，获得了某城市100位居民2020年的月均用
水量（单位：t）.
3.1
3.4
3.2
3.3
3.2
3.0
2.5
2.6
2.5
2.8
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.9
2.8
2.7
2.6
2.5
2.0
2.2
2.3
2.3
2.4
2.4
2.3
2.4
2.3
2.2
2.0
2.2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.3
2.1
2.1
2.0
1.5
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.8
1.7
1.6
1.5
1.0
1.2
1.2
1.3
1.4
1.3
1.3
1.4
1.0
1.0
1.6
0.2
3.7
3.6
3.5
1.4
1.3
1.2
1.0
1.2
1.8
0.4
1.5
1.7
1.9
1.8
1.6
1.5
1.7
1.8
1.9
0.3
0.5
0.6
0.8
0.7
0.9
0.5
0.8
0.6

全析提示
一组数据的众数、中位数、平均数
既可以由计算得出，也可以在 数据
1.
的频率直方图中显现出来.在图1－
0.
5－1中我们能更容易地理 解它们的
3.
意义和作用.
4.

4.

2.

2.

2.

2.

2.






0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
月均用水量(t)

作出这些样本数据的频率直方图.
频率
组距
0.50
0.40< br>0.30
0.20
0.10
0






思维拓展
中位数不受少数几个极端值的影
响.







图1－5－1
从图1－5－1中可以看出月均用水量的众数是2.25 t（最高矩
形的中点）.这组数据的 中位数可经计算求得为2，那能否从频
率分布直方图中估计中位数呢？我们知道在这组数据中有50%的
数小于或等于中位数，也有50%的数大于或等于中位数.因此，
在频率分布直方图中，中位数 左边和右边的直方图的面积应该相
等.由此可以估计中位数的值（如图1－5－2虚线处代表中位数的估计值）.由图1－5－2显示，大部分居民的月均用水量在中
部，但也有少数居民的月均用水量 特别高，因此，应该对这部分
居民的用水量作出合理限制.
频率
组距
0. 50
0.40
0.30
0.20
0.10
0
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
月均用水量(t)

图1－5－2










1
居民月均用水量的平均数可由公式
x< br>=
100
（x1+x2+…+x100）求
得
x
=1.973 .在频率分布直方图中，平均数是“重心”，也可以显
示出来，如图1－5－3.
频率 组距
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
0< br>0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
月均用水量(t)






思维拓展
以反映出更多的关于数据全体的信
息.



全析提示
从不同的角度出发，对同一组数据
所表达的信息也不同.教练员要分
析两名运动员的优 缺点，以便有针
对性地训练；若是选拔性考核，就
要看两名运动员谁的成绩更好一
些.














图1－5－3
平均数与每一个数据都有关，因此 ，任何一个数据的改变都会引
起平均数的改变，这是中位数、众数都不具有的性质.由图1－5
－3可以看出，用水量最多的几个居民对平均数影响较大，因为
他们的用水量与平均数相差太大了. < br>它们各有各自代表的角度，各有优缺点，也各有各的用处.平均
数是刻画一组数据集中趋势最常用 的统计量.
2.标准差
有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的
环数如下：
甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
如果你是教练，你应当如何对这次射击情况作出评价？如果这是
一次选拔性考核，你应当如何作出选择？
如果看两人本次射击的平均成绩，由于
x
甲=7，
x
乙=7， < br>作为刻画一组数据集中趋势的统计量，平均数、中位数、众数，与中位数、众数比起来，平均数可
两人射击的平均成绩是一样的，那么，是否两个人的水平就没有
什么差异呢？
频率 频率 < br>0.40.4
0.30.3
0.20.2
0.10.1
00
4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10
环数
4
环数
(1) (2)

图1－5－4
直观上看，还是有差异的.例如，甲成绩比较分散，乙成绩相 对
集中（如图1－5－4所示）.因此，我们还需要从另外的角度来
考察这两组数据.例如，在 作统计图、表时提到过的极差.
甲的环数极差=10－4=6，
乙的环数极差=9－5=4.
它们在一定程度上表明了该组数据的分散程度.显然，极差对极

端值非常敏感，注意到这一点，我们就可以理解“去掉一个最高
分，去掉一个最 低分”的统计策略.
考察一组数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差.标
准差是数 据到平均数的平均距离，一般用S表示.
假设一组数据是x1，x2，…，xn，
x
表示这组数据的平均数.xi
到
x
的距离是
|xi－
x
|（i=1，2，…，n）.
于是x1，x2，…，xn到
x
的“平均距离”是
|x
1
?x|?|x
2
?x|???|x
n
?x|
n
S=.












要点提炼
计算数据x1，x2，…，xn的标准差
的算法：
（1）算出数据的平均数
x
；
（2）算出每个数据与平均数
x
的差
xi－
x
；
（3）算出（2）中xi－
x
的平方；
由于上式含有绝对值，运算不太方便，因此，常改用如下公式来
计算标准差.
1[(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
???(x
n
?x)
2
]
S=
n
.
一组数据中每个数与平均数之间的距离关系可用图1－5－5表
示.
m
x
1
x x
2
Sm
1
=
m
x
1
x
n
x
2
（4）算出（3）中n个平方数的平

均数，即为方差；
（5）算出（4）中平均数的算术平
方根，即为标准差.

图1－5－5
显然，标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的
离散程度较小.
用计算机电子表格软件（如Excel）或科学计算器可以求得
S甲=2，S乙=1.095.
由S甲>S乙，可以知道，甲的成绩离散程度大，乙的成绩离 散
程度小.由此可以估计，乙的射击成绩比甲的稳定.
此外，上面两组数据的离散程度与标准差之间可用图1－5－6直
观地表示出来.
*
2
S
=
甲
**
1.095
4 5 6
=
S
乙
**
*
*
*
*
7
*
*
*
*
*
***
8 9 10
**
*

图1－5－6