高中数学的p-高中数学教师资格证容易
重点高中数学直线与圆的方程
知识点总结
———————————————————————————————— 作者:
———————————————————————————————— 日期:
2
高中数学之直线与圆的方程
一、概念理解:
1、倾斜角:①找α:直线向上方向、x轴正方向;
②平行:α=0°;
③范围:0°≤α<180° 。
2、斜率:①找k :k=tanα (α≠90°);
②垂直:斜率k不存在;
③范围: 斜率 k ∈ R 。
3、斜率与
坐标:
k?tan
?
?
y
1
?y
2
y2
?y
1
?
x
1
?x
2
x
2
?x
1
①构造直角三角形(数形结合);
②斜率k值于两点先后顺序无关;
③注意下标的位置对应。
4、直线与直线的位置关系:
l
1
:y?k
1
x?b
1
,l
2
:y?k
2
x?b
2
①相交:斜率
k
1
?k
2
(前提是斜率都存在)
特例----垂直时:<1>
l
1
?x轴,即k
1
不存在,则k<
br>2
?0
;
<2> 斜率都存在时:
k
1
?k
2
??1
。
②平行:<1> 斜率都存在时:
k
1
?k
2
,b
1
?b
2
;
<2>
斜率都不存在时:两直线都与x轴垂直。
③重合: 斜率都存在时:
k1
?k
2
,b
1
?b
2
;
二、方程与公式:
1、直线的五个方程:
①点斜式:
y?y
0
?k(x?x
0
)
将已知点
(x
0
,y
0
)与斜率k
直接带入即可;
②斜截式:
y?kx?b
将已知截距
(0,b)与斜率k
直接带入即可;
③两点式:
带入即可;
y?y
1
x?x
1
?,(其中x<
br>1
?x
2
,y
1
?y
2
)
将已知
两点
(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2)
直接
y
2
?y
1
x
2
?x
1
④截距式:
xy
??1
将已知截距坐标
(a,0),(0,b)
直接带入即可;
ab
⑤一般式:
Ax?By?C?0
,其中A、B不同时为0
用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。
2、求两条直线的交点坐标:直接将两直线方程联立,解方程组即可
3、距离公式:
①两点间距离:
P
1
P
2
?(x
1
?x
2
)?(y
1
?y2
)
②点到直线距离:
d?
22
Ax
0
?By
0
?C
A?B
22
③平行直线间距离:
d?
C
1
?C
2
A?B<
br>22
4、中点、三分点坐标公式:已知两点
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
x
1
?x
2
y
1
?y
2
,)
22
2x?x
2
2y
1
?y
2
,)
靠近A的三分点坐标 ②AB三分点
(s
1
,t
1
),(s
2
,t
2
)
:
(
1
33
x?2x
2
y
1
?2y
2
,)
靠近B的三分点坐标
(
1
33
①AB中点
(x
0
,y<
br>0
)
:
(
中点坐标公式,在求对称点、第四章圆与方程中,经常用到。
三分点坐标公式,用得较少,多见于大题难题。
5.直线的对称性问题
已知点
关于已知直线的对称:设这个点为P(x
0
,y
0
),对称后的点坐标为P’
(x,y),则
pp’的斜率与已知直线的斜率垂直,且pp’的中点坐标在已知直线上。
三、解题指导与易错辨析:
1、解析法(坐标法):
①建立适当直角坐标系,依据几何性质关系,设出点的坐标;
②依据代数关系(点在直线或曲线上),进行有关代数运算,并得出相关结果;
③将代数运算结果,翻译成几何中“所求或所要证明”。
y
2、动点P到两个定点A、B的距离“最值问题”:
①
PA?PB
的最小值:找对称点再连直线,如右图所示:
②
PA?PB
的最大值:三角形思想“两边之差小于第三边”;
22
o
x
③
PA?PB
的最值:函数思想“转换成一元二次函数,找对称轴”。
3、直线必过点:① 含有一个参数----y=(a-1)x+2a+1 =>
y=(a-1)(x+2)+3
令:x+2=0 => 必过点(-2,3)
②含有两个参数----(3m-n)x+(m+2n)y-n=0 =>
m(3x+y)+n(2y-x-1)=0
令:3x+y=0、2y-x-1=0 联立方程组求解 => 必过点(-17,37)
4、易错辨析:
① 讨论斜率的存在性:
解题过程中用到斜率,一定要分类讨论:<1>斜率不存在时,是否满足题意;
<2>斜率存在时,斜率会有怎样关系。
②
注意“截距”可正可负,不能“错认为”截距就是距离,会丢解;
(求解直线与坐标轴围成面积时,较为常见。)
③ 直线到两定点距离相等,有两种情况:
<1>
直线与两定点所在直线平行;
<2> 直线过两定点的中点。
圆的方程
1. 定义:一个动点到一个定点以定长绕一周所形成的图形叫做圆,其中定点称<
br>为圆的圆心,定长为圆的半径.
2. 圆的方程表示方法:
DE
?
第一种:圆的一般方程——
x?y?Dx?Ey?F?0
其中圆心
C
?
?
?,?
?
,
?
2
2
?
22
D
2
?E
2
?4F
半径
r?
.
2
当
D
2
?E
2
?4F?0时,方程表示一个圆,
当
D
2
?E
2
?4F?0时,方程表示一个点
?
?
?
当
D
2
?E
2
?4F?0
时,方程无图形.
DE
?
,?
?
.
22
??
第二种:圆的
标准方程——
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
.其中点
C(a,b)
为圆心,
r
为半径的
圆
第三种:圆
的参数方程——
圆的参数方程:
?
?
x?a?rcos
?
(
?
为参数)
y?b?rsin
?
?
注:圆的直径
方程:已知
A(x
1
,y
1
)B(x
2
,y
2
)?(x?x
1
)(x?x
2
)?(y?y
1
)(y?y
2
)?0
3. 点和圆的位置关系:给定点
M(x0
,y
0
)
及圆
C:(x?a)
2
?(y?b
)
2
?r
2
.
①
M
在圆
C
内<
br>?(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
?r
2
(x
0
?a)
2
?(y
0?b)
2
?r
2
②
M
在圆
C
上?
③
M
在圆
C
外
?(x
0
?a)2
?(y
0
?b)
2
?r
2
4.
直线和圆的位置关系:
设圆圆
C
:
(x?a)
2
?(y
?b)
2
?r
2
(r?0)
; 直线
l
:<
br>Ax?By?C?0(A
2
?B
2
?0)
;
圆心
C(a,b)
到直线
l
的距离
d?
①
d?r
时,
l
与
C
相切;
②
d?r
时,
l
与
C
相交;,
③
d?r
时,
l
与
C
相离.
5、圆的切线方程:
2
①一般方程若点(
x
0
,
y
0
)在圆上,则(
x
–
a)(
x
0
– a)+(
y
–
b)(
y
0
– b)=
R
. 特别地,
过圆
x<
br>2
?y
2
?r
2
上一点
P(x
0
,
y
0
)
的切线方程为
x
0
x?y
0
y?r
2
.(注:该点在圆上,则切线方程只
有一条)
Aa?Bb?C
A?B
22
.
?
y
1
?y
0
?k(x
1
?x
0
)
?
b?y
1
?k(a?x
1
)
,②若点(
x0
,
y
0
)不在圆上,圆心为(a,b)则
?
联立求
出
k?
切线方程.(注:
R?
?
R
2
?1
?
过圆外的点引切线必定有两条,若联立的方程只有一个解,那么另外一条切线必定是垂直于
X
轴的直线。)
6.圆系方程:
过两圆的交点的圆方程:假设两圆方程为:
C
1
:x+y+D
1
x+E
1
y+F
1
=0 <
br>C
2
:x
2
+y
2
+D
2
x+E<
br>2
y+F
2
=0
则过两圆的交点圆方程可设为:
x
2
+y
2
+D
1
x+E
1
y+F
1
+λ
22
(x
2
+y
2
+D
2
x+E2
y+F
2
)=0
过两圆的交点的直线方程:x+y+D
1<
br>x+E
1
y+F
1
- x+y+D
2
x+E
2
y+F
2
=0(两圆的方程相减得到的方
程就是直线方程)
7.与圆有关的计算:
22
弦长的计算:AB=2*√R-d
其中R是圆的半径,d等于圆心到直线的距离
2
AB=(√1+k)*∣X
1
-X
2
∣
其中k是直线的斜率,X
1
与X
2
是直线与圆的方程联
立之后得到的两个根
过圆内的一点的最短弦长是垂直于过圆心的直线
圆内的最长弦是直径
8.圆的一些最值问题
①圆上的点到直线的最短距离=圆心到直线的距离减去半径
②圆上的点到直线的最长距离=圆心到直线的距离加上半径
③假设P(x,y)是在某个圆上
的动点,则(x-a)(y-b)的最值可以转化为圆上的点与
该点(a,b)的斜率问题,即先求过该
定点的切线,得到的斜率便是该分式的
最值。
④假设P(x,y)是在某个圆上的动点,则求x+y或x-y的最值可以转化为:设T=x+y或T=
x-y,
在圆上找到点(X,Y)使得以y=x+T或y=x-T在Y轴上的截距最值化。
9.圆的对称问题
①已知圆关于已知的直线对称,则对称后的圆半径与已知圆半径是相等的,只需求出已知圆
的圆心关于该直线对称后得到的圆心坐标即可。
②若某条直线无论其如何移动都能平分一个圆,则这个直线必过某定点,且该定点是圆的圆
心坐标
2222
圆锥曲线
椭圆
椭圆:平面内到两定点距离之和等于定长(定长大于两定点间距离)的点的集合
1、定义:<
br>PF
1
?PF
2
?2a(2a?F
1
F
2<
br>)
第二定义:
uuuvuuuuvuuuuv
PF
c
?e?(0?e?1)
da
x
2
y
2
y
2
x
2
2、标准方程:
2
?
2
?1(a?
b?0)
或
2
?
2
?1(a?b?0)
;
abab
3、参数方程
?
?
x?acos
?
(
?
为参数)
?
几何意义:离心角
?
y?bsin
?
4、几何性质:(只给出焦点在x轴上的的椭圆的几何性质)
①、顶点
(?a,0),(0,?b)
②、焦点
(?c,0)
③、离心率
e?
c
(0?e?1)
a
a
2
④准线:
x??
(课改后对准线不再要求,但题目中偶尔给出)
c5、焦点三角形面积:
S
V
PF
1
F
2
?b?
tan
2
?
2
(设
?F
1
PF
2
?
?
)(推导过程必须会)
6、椭圆面积:
S
椭
?
?
?a?b
(了解即可)
7、直线与椭圆位置关系:相离(
??0
);相交(
??0
);相切
(
??0
)
判定方法:直线方程与椭圆方程联立,利用判别式判断根的个数
8、椭圆切线的求法
x
2
y
2
xxyy
1)切点
(
x
0
y
0
)已知时,
2
?
2
?
1(a?b?0)
切线
0
2
?
0
2
?1
ab
ab
y
2
x
2
yyxx
2
?
2
?1(a?b?0)
切线
0
2
?
0
2
?1
ab
ab
x
2
y
2
2)切线斜率k已知时,
2
?
2
?1(a?b?0)
切线
y?kx?a
2
k
2
?b
2
ab
y
2
x
2
2
?
2
?1(a?b?0)
切线
y?kx?b
2
k
2
?a
2
ab
9、焦半径:椭圆上点到焦点的距离
x
2
y
2
2
?
2
?1(a?b?0)
r?a?ex
0
(左加右减)
ab
y
2
a
2
2
?
2
?1(a?b?0)
r?a?ey
0
(下加上减)
ab
双曲线
PF
c
?e?(e?1)
1、定义:
PF
1
?PF
2
??2a
第二定义:
da
x
2
y
22、标准方程:
2
?
2
?1(a?0,b?0)
(焦点在x轴)
ab
y
2
x
2
?
2
?1(a?0,b?0
)
(焦点在y轴)
2
ab
?
x?a?sec
?
参数方程:
?
(
?
为参数)
用法:可设曲线上任一点P
(asec
?
,btan
?
)
y?b?tan
?
?
3、几何性质
①
顶点
(?a,0)
② 焦点
(?c,0)
c?a?b
③ 离心率
e?
222
c
e?1
a
a
2
④ 准线
x?
c
x
2
y
2
x
2
y
2
b
⑤ 渐近线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
y??x
或
2
?
2
?0
ab
a
b
a
y
2
x
2
b
??1(a?0,b?0)
y??x
或
a
2
b
2
ay
2
x
2
?
2
?0
2
ab
4、特殊双曲线
x
2
y
2
①、等轴双曲线
2
?
2
?1
e?2
渐近线
y??x
aa
x
2
y
2
x
2
y
2
②、双曲线
2
?
2
?1
的共轭双曲线
2
?
2
??1
abab
性质1:双曲线与其共轭双曲线有共同渐近线
性质2:双曲线与其共轭双曲线的四个焦点在同一圆上
5、直线与双曲线的位置关系
① 相离(
??0
);② 相切(
??0
); ③
相交(
??0
)
判定直线与双曲线位置关系需要与渐近线联系一起
??0
时可以是相交也可以是相切
6、焦半径公式
x
2
y
2
??1(a?0,b?0)
点P在右支上
r?ex
0
?a
(左加右减)
a
2
b
2
点P在左支上
r??(ex
0
?a)
(左加右减)
y
2
x
2
??1(a?0,b?0)
点P在上支上
r?ey
0
?a
(下加上减)
a
2
b
2
点P在上支上
r??(ey
0
?a)
(下加上减)
7、双曲线切线的求法
x
2
y
2
xxyy
① 切点P
(x
0
,y
0
)
已知
2
?
2
?1(a?0,b?0)
切线
0
2
?
0
2
?1
ab
ab
y
2
x
2
yyxx
2
?
2
?1(a?0,b?0)
切线
0
2
?
0
2
?1
ab
ab
②
切线斜率K
x
2
y
2
??1
已知
a
2
b
2
b
y?kx?a
2
k
2
?b
2
(k?)
a
y
2
x
2
2
?
2
?1
ab
b
y?
kx?a
2
?b
2
k
2
(k?)
a8、焦点三角形面积:
S
V
PF
1
F
2
?b?
cot
2
?
2
(
?
为
?F
1
PF
2
)
抛物线
1、定义:平面内与一定点和一定直线的距离相等的点的集合(轨迹)
2、几何性质:P几何意义:焦准距 焦点到准线的距离设为P
标准方程:
y?2px(p?0)
y??2px(p?0)
图 像:
范 围:
x?0
x?0
对 称 轴: x轴
x轴
顶 点: (0,0)
(0,0)
22
pp
,0
)
(
?,0
)
22
离 心 率:
e?1
e?1
pp
准 线:
x??
x?
2
2
焦 点:
(
标准方程:
x?2py(p?0)
x??2py(p?0)
22
图
像:
范 围:
y?0
y?0
对 称 轴: y轴
y轴
定 点: (0,0)
(0,0)
焦 点: (0,
pp
)
(0,?)
22
离 心 率:
e?1
e?1
pp
准 线:
y??
y?
2
2
?
x?2pt
2
2
3
、参数方程
?
(t为参数方程)
?
y?2px(p?0)
?
y?2pt
4、通径:过焦点且垂直于对称轴的弦
2b
2
椭圆:双曲线通径长 抛物线通径长2P
a
5、直线与抛物线的位置关系
1)相交(有两个交点或一个交点)
2)相切(有一个交点);
3)相离(没有交点)
6、抛物线切线的求法
1)切
点P
(x
0
,y
0
)
已知:
y?2px(p?0)
的切线;
y
0
y?p(x?x
0
)
2
p
2k
p
2
y??2px(p?0):y?kx?
2k
2)切线斜率K已知:
y?2px(p?0):y?kx?
2
pk
2
x?2py(p?0):y?kx?
2
2
pk
2
x??2py(p?0):y?kx?
2
2
此类公式填空选择或解答题中(部分)可作公式直接应用
附加:弦长公式:
y?kx?b
与曲线交与两点A、B则
uuuv
1
d?AB?x
2
?x
1
1?k
2
?y
2
?y
1
1?
2
k
解题指导:
轨迹问题:
(一)求轨迹的步骤
1、建模:设点建立适当的坐标系,设曲线上任一点p(x,y)
2、立式:写出适条件的p点的集合
3、代换:用坐标表示集合列出方程式f(x,y)=0
4、化简:化成简单形式,并找出限制条件
5、证明:以方程的解为坐标的点在曲线上
(二)求轨迹的方法
1、直接法:求谁设谁,按五步去直接求出轨迹
2、定义法:利用已知或几何图形关系找到符合圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义
3、转移代入法:适用于一个动点随另一曲线上的动点变化问题
4、交轨法:适用于求两条动
直线交点的轨迹问题。用一个变量分别表示两条动直
线,然后联立,消去变量即可。
5、参数法:用一个变量分别表示所求轨迹上任一点的横坐标和纵坐标,联立消参。
6、同一法:利用两种思维分别求出同一条直线,再参考参数法,找到轨迹方程。
弦长问题:
|AB|=
(1?k
2
)[(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
]
。
弦的中点问题:中点坐标公式-----注意应用判别式。
Ⅰ.求曲线的方程
1.曲线的形状已知
这类问题一般可用待定系数法解决。
例1 (1994年全国)
已知直线L过原点,抛物线C 的顶点在原点,焦点在x轴正半轴
上。若点A(-1,0)
和点B(0,8)关于L的对称点都在C上,求直线L和抛物线C的方程。
分析:曲线的形状已知,可以用待定系数法。
设出它们的方程,L:y=kx(k≠0),C:y=2px(p>0).
设A、B关于L的对称点分别为A、B,则利用对称性可求得它们的坐标分别为:
2
k
2
?12k8(k
2
?1)
(
16k
<
br>,?
2
,
2
A(
2
),B)。因为A、B均在抛物线
上,代入,消去p,
2
k?1k?1k?1k?1
得:k-k-1=0.解得
:k=
2
25
1?5
,p=.
5
2
所以直线L的方程为:y=
1?5
2
45
x,抛物线C的方程为y=x.
5
2
2.曲线的形状未知-----求轨迹方程
例3
(1994年全国)
已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C:x+y=1,
动
22
M
N
O Q
点M
到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数
?
(
?
>0),求动点M的轨迹方程
,并说明它是什
么曲线。
分析:如图,设MN切圆C于点N,则动点M组成的集合是: <
br>2222
P={M||MN|=
?
|MQ|},由平面几何知识可知:|MN|
=|MO|-|ON|=|MO|-1,将M点坐标代入,
可得:(
?
-1)(x+y
)-4
?
x+(1+4
?
)=0.
22222
当
?
=1时它表示一条直线;当
?
≠1时,它表示圆。
这种方法叫做直接法。
Ⅱ.研究圆锥曲线有关的问题
1.有关最值问题
例6 (1990年全国)
设椭圆中心为坐标原点,长轴在x上,离心率,
B
C
O <
br>已知点(P0,)到这个椭圆上的点的最远距离是
7
,
求这个椭圆方程,并求椭
圆上到点P的距离等于
7
的点的坐标。
3
2
分析:最值
问题,函数思想。关键是将点P到椭圆上点的距离表示为某一变量是函数,
然后利用函数的知识求其最大
值。
3
x
2
y
2
22222
设椭圆方
程为
2
?
2
?1
,则由e=得:a=4b,所以x=4b-4y.
2
ab
设Q(x,y)是椭圆上任意一点,则:
|PQ|=
x?(
y?)
=
4b?4y?(y?)?
2
3
2
222
3
2
2
?3y
2
?3y?4b
2
?
9
(-b
?
y
?
b).
4
若b<
99
1
1
222
,则-<-b,当y=-b时|PQ|
max
=
?3b?3
b?4b??b?3b??7
.
44
22
解得:b=
7
-
得:b=1,a=2.
31111
>与b<矛盾;若b
?
,则当y=-时|PQ|
max
=
4b
2
?3?7
,解
22222
2.有关范围问题
例7 (2001春季高考题)
已知抛物线y=2px(p>0),过M(a,0)且斜率为
1的直线L与抛物线交于不同的两点A、
B,|AB|≤2p。
2
(1)求a的取值范围;
(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求△NAB面积的最大值。
分析:这是一道直
线与圆锥曲线位置关系的问题,对于(1),可以设法得到关于a的不
等式,通过解不等式求出a的范围
,即:“求范围,找不等式”。或者将a表示为另一个变量
的函数,利用求函数的值域求出a的范围;对
于(2)首先要把△NAB的面积表示为一个变
量的函数,然后再求它的最大值,即:“最值问题,函数
思想”。
解:(1)直线L的方程为:y=x-a,将y=x-a 代入抛物线方程y=2px,得
:设直线L与抛
2
?
4(a?p)?4a
2
?0
?
物线两交点的坐标分别为A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则
?
x
1
?x
2
?2(a?p)<
br>,又y
1
=x
1
-a,y
2
=x
2
-a,
?
2
?
x
1
x
2
?a
?
|AB|?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?
y
2
)
2
?2[(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
]?8p(p?2a)
?0?|AB|?2
p,8p(p?2a)?0,?0?8p(p?2a)?2p,
解得:
?
pp
?a??.
24
(2)设AB的垂直平分线交AB
与点Q,令其坐标为(x
3
,y
3
),则由中点坐标公式得:
x<
br>3
?
x
1
?x
2
2
2
?a?p,
y
3
?
222
y
1
?y
2
(x
1
?a)?(x
2
?a)
??p.
22所以|QM|=(a+p-a)+(p-0)=2p.又△MNQ为等腰直角三角形,所以|QM|=|QN
|=
2P
,
所以S
△NAB
=
122
|AB|?|
QN|?p?|AB|?p?2p?2p
2
,即△NAB面积的最大值为
222
2P
2
。