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新高中数学湘教版必修二各章知识点的整合 文档

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-22 09:42
tags:高中数学的知识点

高中数学教案中的情感态度价值观-如何使得高中数学课堂有趣

2020年9月22日发(作者:郑耀文)



高中数学湘教版必修二各章知识点的整合
必修二第四章向量
平面向量知识回顾 基本知识点:
1.向量的概念

(1)向量的基本要素:大小和方向
王新敞
?
a
(2)向量的表示:几何表示法
AB
,;
?
?
a?xi?yj?( x,y)
a
坐标表示法 (3)向量的长度:即向量的大小,记作||
王新敞王新敞
(4)特殊

??
?
?
?
a a
的向量:零向量
a

0
?

a
|=0. 单位向量
0
为单位向量
?

0
|=1
王新敞
?
x?x
2
?
?
1
?
y
1
?y
2
(5)相等的向量:大小相等,方向相同
(x
1
,y
1
)?(x
2
,y
2
)

?
?
(6 )平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量,称为平行向量.记作
a

b
.由于向量可以
进行任意的平移(即自由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称 为共线
向量
2.向量的运算:向量的加减法,数与向量的乘积,向量的数量(内积)及其各运 算的坐标表
示和性质
王新敞
王新敞
??
e
3.重要定理 、公式(1)平面向量基本定理:
1
,e
2
是同一平面内两个不共线的向量, 那么,
对于这个平面内任一向量,有且仅有一对实数
?
1
,
?
2
,使
a?
?
1
e
1
?
?
2< br>e
2

??
?
王新敞
?
?
??
(2)两个向量平行的充要条件
a

b
?
a
=λ
b
?
x
1
y
2
?x
2
y1
?0

?
?
?
?
(3)两个向量垂直的充要 条件
a

b
?
a
·
b
=O
?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0

王新敞
王新敞
2

1
P
2
所成的比为λ ,即
P
1
P
=λ
PP
(4)线段的定比分点公式设点P分有 向线段
P

11
OP

1?
?
OP
1

1?
?
OP
2
(向量公式)
?
x ?
?
?
?
?
y?
?
?
x
1
?
?
x
2
,
1?
?
y
1
??
y
2
.
1?
?
(坐标公式)
当λ=1时,得中点公式:

x
1
?x
2
?
x?,
?
?
2
?
1
?
y?
y
1
?y
2
.
?
2
OP

2

OP
1

OP
2
)或
?

王新敞

平面向量的数量积
1. 两个向量的数量积:
已知两个 非零向量
a

b
,它们的夹角为
?
,则
a
·
b
=︱
a
︱·︱
b
︱cos
?


叫做
a

b
的数量积(或内积),规定
0?a?0

22
a?a?a?|a|
2. 向量的模与平方的关系:。
3. 乘法公式成立:
?
a?b?a?b?a
2
?b
2
?a?b
2
22
2
???
2
2

2
?
a?b
?
?a?2a?b?b?a?2a?b?b

4. 平面向量数量积的运算律:
①交换律成立:
a?b?b?a

②对实数的结合律成立:
③分配律成立:
?
?
a
?
?b?
?
?
a?b
?
?a?
?
?
b
?< br>?
?
?R
?

?
a?b
?
?c?a ?c?b?c?c?
?
a?b
?

a?
?
b?c< br>?
?
?
a?b
?
?c
特别注意:(1)结合律不成立 :
(2)消去律不成立:
a?b?a?c
?
?
不能得到
b ?c

(3)
a?b
=0不能得到
a

0

b

0

5. 两个向量的数量积的坐标运算:
已知两 个向量
a?(x
1
,y
1
),b?(x
2
,y2
)
,则
a
·
b

x
1
x< br>2
?y
1
y
2

6. 向量的夹角:已知两个非零向 量
a

b
,作
OA

a

OB< br>=
b
,则∠AOB=
?

00

0?
?
?180
)叫做向量
a

b
的夹角。
cos?a,b??
cos
?

a?b
a?b
2
x
1
x
2
?y
1
y
2

x
1
?y
1
?x
2
?y
2
222

当且仅当两个非零向量
a

b
同方向时,θ=0°,当且仅当< br>a

b
反方向时θ=180°,
同时
0
与其它任何非 零向量之间不谈夹角这一问题。
7. 垂直:如果
a

b
的夹角为 90°则称
a

b
垂直,记作
a

b

8. 两个非零向量垂直的条件:
?
?
?
?
a

b
?
a
·
b
=0
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0

【典型例题】
例1. 判断下列各命题正确与否:
(1)
0?a?0


(2)
0?a?0

(3)若
a?0,a?b?a?c
,则
b?c

(4)若
a?b?a?c
,则
b?c
当且仅当
a?0
时成立; (5)
(a?b)?c?a?(b?c)
对任意
2
a,b,c
向 量都成立;
(6)对任意向量
a
,有
a
2
?a

?
例2. 已知两单位向量
a

b
的夹角为
120
,若
角。
例3. 已知
c?2a?b,d?3b?a
,试求
c

d< br>的夹
a?
?
4,3
?
b?
?
?1,2
?
m?a?
?
b,
n?2a?b
,,,按下列条件求实数
?
的值。
(3)m?n
(1)
m?n
;(2)
mn
?
?
??
?
例4. 已知
a
=(1,
3
),
b
=(
3
+1,
3
-1),则
a

b
的夹角是多少?(θ=
4

例5. 在△ABC中,
AB
=(2,3),
AC
=(1,k),且△ABC的一个内角为直角,求k 值。
3?13
311
2
(k =
2
;k =
3
,k = )
?
??
?
??
?
例6. 已知
a
=(3, 4),
b
=(4,3),求x,y的值使(x
a
+y
b
)⊥
a
,且|x
a
+y
b

?
24
?
24
?
x?x??
?
??
35
?
35
??
?
y??
5
?
y?
5
?
7
?
7
?
=1。(
?

【模拟试题】(答题时间:40分钟)
?
?
2
?
?
?
3|a|
1. 若
a
=(-4,3),
b
=(5,6),则-4
a?b
=(
A. 23 B. 57 C. 63 D. 83

?
?
?
b
c
a
2. 已知=(1,2),=(2,3),=(-2,5),则△ABC为( )
A. 直角三角形
??
??
3. 已知
a
=(4,3),向量
b
是垂 直
a
的单位向量,则
b
等于( )
3443
(,)(,)
A.
55

55
3434
(,)(?,?)
B.
55

55
B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不等边三角形


3443
(,?)(?,)
C.
55

55
3434
(,?)(?,)
D.
55

55

?
??
?
4. 已知
a
=(λ,2),
b
=(-3,5)且
a

b
的 夹角为钝角,则λ的取值范围是( )
10101010
A. λ>
3
B. λ≥
3
C. λ<
3
D. λ≤
3

?
??
?
?
?
5. 给定两个向 量
a
=(3,4),
b
=(2,-1)且(
a
+x
b
)⊥(
a

b
),则x等于( )
232323
A. 23 B.
2
C.
3
D.
4

6、已知A(2,1),B(3,2),C(-1,4),则ΔABC是( )
A.锐角Δ B.Rt Δ C.钝角Δ D.任意Δ
7、已知a=(2,3) ,b=(-4,7) ,则a在b上的投影值为( )
1365
A.
13
B.
5
C.
5
D.
65

8、已知a=(2,1) , b =(3,x), 若(2a-b)⊥b,则x的值为( )
A.3 B.-1 C.-1或3 D.-3或1
9、A(0,-3)、B(3,3)、C(x,-1),且∥ 则x等于( )
A.5 B.1 C.-1 D.-5
10、若向量a = (1,1), b= (1,-1), c =(-1,2),则 c 等于( )
13133131
A.-
2
a+
2
b B.
2
a-
2
b C.
2
a-
2
b D.-
2
a+
2
b
11、已知a=(4,2), b= (6,y)且 a∥b,则y的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
12、若向量a=(1,-2) , | b| = 4 |a|,且a,b共线,则b可能是( )
A.(4,8) B.(-4,8) C.(-4,-8) D.(8,4)
13、已知a=(3,4) ,b⊥a且b的起点为(1,2),终点为(x,3x), 则b=_______.
14、已知a=(2,4), b=(-1,-3),c=(-3,2). 则|3a+2b|=________.
15、已知a=(2,-1), b=(λ,3).
1)若a与b的夹角为锐角,则λ的取值范围是________.
2)若a与b的夹角为钝角,则λ的取值范围是_________.
3)若a⊥b,则λ的取值范围是_________.
4)若a∥b,则λ的取值范围是_________.
16、在平行四边形ABCD中,已知|AB|=4,|AD|=3,∠DAB=60°,则
· =_______.
· =______,
?
??
?
?
?
17.
a
=(2,3),
b
=(-2,4),则(
a
+
b
)·(
a

b
)= 。


1
?
?
a
18. 已知=(3,2),
b< br>=(-1,-1),若点P(x,-
2
)在线段
AB
的中垂线上,则< br>x= 。
??
?
???
?
19. 已知
a
=(1,0),
b
=(3,1),
c
=(2,0),且
a< br>=
BC

b

CA
,则
a

b

夹角为 。
?
??
?
?
10
bb
aaa
20. 已知||=,=(1,2)且∥,则的坐标为 。
?
?
??
?
?
??
bb
ccc
21. 已知
a
=(1,2),=(1,1),

-k
a
,若⊥
a
,则= 。
3
?
??
??
b
aa
22. 已知=(3,0),=(k,5)且与
b
的夹角为
4
,则k的值为 。
??
??
23. 已知
a
=(3,-1),
b
=(1,2),求满足条件x·
a
=9与x·
b
=-4的向量x。
24. 已知
?
ABC的三顶点分别为A(2,-1),B(3,2),C(-3,- 1),BC边上的高为
AD,求点D和
AD
的坐标。
25、平面向量a = (3,-4), b= (2,x), c=(2,y),已知a∥b,a⊥c,求b,c及b,c的夹角.
26、已知向量a= (4,3), b=(-1,2),①求a、b的夹角; ②若向量a-λb与2a+b垂直,求λ
的值.
27、设向量
= ,求
=(3,1) ,
.
=( -1,2),向量 ⊥ , ∥ ,又 +
xx
?
x
?
x
?
a?(2cos,tan (?)),b?(2sin(?),tan(?)),令f(x)?a?b
2242424
28 、已知.求函
数f(x)的最大值,最小正周期,并写出f(x)在[0,π]上的单调区间.


第3章三角函数和第5章三角恒等变换
知识要点
1. ① 与
?
(0°≤
?
<360°)终边相同的角的集合(角
?
与 角
?
的终边重合):
?
?
|
?
?k?360
?
?
|
?
?k?180
?
?
?
,k?Z
?

??
?

?
?
②终边在x轴上的角的集合:
?
|
?
?k?180,k?Z
③终边在y轴上的角的集合:
?
?90
?
,k?Z
④终边在坐标轴上的角的集合:
?
?
|
?
?k?90,k?Z
?
⑤终边在y=x轴上的角的集合:


?
?
|
?
?k?180
?
?45
?
,k?Z
?

??
?
|
?
?k?1 80
?
?45
?
,k?Z
y??x
⑥终边在轴上的角的集合 :
?
⑦若角
?
与角
?
的终边关于x轴对称,则角
?
与角
?
的关系:
?
?360k?
?

?
?360
?
k?180
?
?
?
?
?
??
⑧若角与角的终边关于y轴对称,则角与角的关系:
?
?180
?< br>k?
?
??
??
⑨若角与角的终边在一条直线上,则角与角的关系:
?
?360
?
k?
?
?90
?
??
??
⑩角与角的终边互相垂直,则角与角的关系:
2. 角度与弧度的互换关系:360°=2
?
180°=
?
1°=0.01745 1=57.30°=57°18′
注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零.
?
、弧度与角度互换公式: 1rad=
?
°≈57.30°=57°18ˊ. 1°=
180
≈0.01745(rad)
180
11
s
扇形
?lr?|
?
|?r
2
22
3、弧长公式:
l ?|
?
|?r
. 扇形面积公式:
4、三角函数:设
?
是一个任意角,在
?
的终边上任取(异于原点的)一点P(x,y)P
与原 点的距离为r,则
csc
?
?
r
y
.
yP
T
y
a
的终边
P(x,y)
r
sin
?
?
x
y
yr
x
co
?
t?
t an
?
?
se
?
c?
co
?
s?
y

x

r

x
;.
r

o
x

5、三角函数在各象限的符号:(一全二正弦,三切四余弦)
y
y
y
+
+
o
x
-
-
正弦、余割
-+
o
-+
x
余弦、正割
-
+
o
x
+-
正切、 余切
O
M
A
x

16. 几个重要结论
:
(1)
y
6、三角函数线
正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: AT.

7. 三角函数的定义域:
三角函数
f(x)?
sinx
f(x)?
cosx
f(x)?
tanx
f(x)?
cotx
(2)
y|sinx|>|cosx|
sinx>cosx
O
x
|cosx|>| sinx|
O
|cosx|>|sinx|
x
定义域
?
x|x?R
?

?
x|x?R
?

1
??
?
x|x?R且 x?k
?
?
?
,k?Z
?
2
??

?
x|x?R且x?k
?
,k?Z
?
cosx>sinx
|sinx|>|cosx|
?
(3) 若 o2


f(x)?
secx
f(x)?
cscx
1??
?
x|x?R且x?k
?
?
?
,k?Z
?
2
??

?
x|x?R且x?k
?
,k?Z
?

sin?
co
?
s
?tan
?
?co
?
t< br>?
8、同角三角函数的基本关系式:
cos
?

sin

tan
?
?cot
?
?1

csc??sin??1

sec??co?s?1

sin
2
?
?cos
2
?
?1

sec
2
?
?tan
2
?
?1

csc
2
?
?cot
2
?
?1

9、诱导公式:

k
?
?
?
的三角函数化为
?的三角函数,概括为:
2
“奇变偶不变,符号
看象限”
三角函数的公式:(一)基本关系
公式组一
组三

公式组二 公式
sin
x
·
csc
x
=1
cos
x< br>·
sec
x
=1
tan
x
=
sinx
cosx
sin
2
x
+cos
2
x
=1
1+tan
x
=sec
x
22
sin2(k
?
?x )?sinx
cos2(k
?
?x)?cosx
tan2k(
??x)?tanx
cosx
x
=
sinx
22
2k(< br>?
?x)?coxt

tan

x

·

cot

x

=1

1+cot

x

=csc

x

cot
sin?(x)??si nx
cos?(x)?cosx
tan?(x)??tanx
cot?(x)??co xt






公式组四 公式组五 公式组六
s in(
?
?x)??sinxsin2
?
(?x)??sinxsin
?
(?x)?sinx
cos(
?
?x)??cosxcos2
?
(?x)?cosxcos
?
(?x)??cosx
tan(
??x)?tanxtan2
?
(?x)??tanxtan
?
(?x)? ?tanx
cot(
?
?x)?cotx

cot2
?
(?x)??coxt

co
?
t(?x)??coxt

(二)角与角之间的互换
公式组一 公式组二
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos< br>?
?sin
?
sin
?

sin2
?
?2si
?
nco
?
s
22
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos?
?sin
?
sin
?

co2s
??co
2
s
?
?sin
?
?2co
2
s
?
?1?1?2sin
?

sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin?

tan2
?
?
2ta
?
n
1 ?ta
2
n
?


?
1?co
?
s
sin??
sin(
?
?
?
)?sin?
cos
?
?cos
?
sin
?

22

tan
?
?tan
?
?
1?co< br>?
s
tan(
?
?
?
)?
cos??
1?tan
?
tan
?

22

tan
?
?tan
?
?
1?cos
?
si n
?
1?cos
?
tan(
?
?
?
)?< br>tan????
1?tan
?
tan
?

21?cos
?
1?cos
?
sin
?

公式组三 公式组四 公式组
1
sin
?
cos
?
?
?
sin< br>?
?
?
?
?
?sin
?
?
?
?
?
?

2
?
1
1
2tan
cos
?
sin
?
?
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
?
?
?
?
?
cos(
?
?
?
)?sin
?
2
2
2
sin
?
?
1
?
1
sin(
?
?
?
)?cos
?
1?tan
2
cos
?
cos
?
?
?
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
?
?
?
?
?
2

2
2
1
1
sin
?
sin
?
??
?
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
?
?
?
?
?
2
?
cos(
??
?
)??sin
?
1?tan
2
2
2
cos
?
?
?
1?tan
2
1
2
tan(
?
?
?
)?cot
?
?
?
? ?
?
?
2
sin
?
?sin
?
?2sin cos

1
22
tan(
?
?
?
) ??cot
?

?
?
??
?
?
2sin
?
?sin
?
?2cossin
22
?
2tan
1
2
tan
?
?
?
?
??
?
?
sin(
?
?
?
)?cos
?
co s
?
?cos
?
??2sinsin
2
?
2
1?tan
22
2

?
?
??
?
?cos
?
?cos
?
?2coscos

22

sin15
?
?cos75
?
?
6?2
4
sin75
?
?cos15
?
?
,
6?2
4
,
tan15
?
?cot75
?
?2?3
,
ta n75
?
?cot15
?
?2?3
.





10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:

y?cosx

y?tanx
y?sinx
定义域
值域
周期性
R
[?1,?1]


y?cotx
y?Asin
?
?
x?
?
?

(A、
?
>0)
R
[?1,?1]

1
?

?
?
x|x?R且x?k
?
??
,k?Z
?
2
??

?
x|x?R且x?k
?
,k?Z
?
R
?

R
R
?

?
?A,A
?

2
?

2
?

2
?

?


奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数

?
?0,
非奇非偶

?
?0,
奇函数






单调性
[?
?< br>2
?2k
?
,
[
?
2k?1
?
?< br>,
2k
?
]
?
2

?
?
?
?
?
??k
?
,?k
?
?
2
?< br>2
?
?
k
?
,
?
k?1
?
?
?
上为减函
数(
k?Z

?2k
?
]
上为增函数

k?Z

上为 增函
数;
[
?
2
3
?
?2k
?
]
2
?2k
?
,
上为增函

[2k
?
,
?
2k?1
?
?
]

上为减函


k?Z


?
?
2k
?
?< br>?
?
?
2k
?
?
?
?
?
2
(A),
?
?
?
?
1
?
?
??
?
2
(?A)
?
?
?
??
?
?
上为增函数;
?
?
?
2k
?
??
?
上为减函
数(
k?Z

?
?
2
(A),
??
?
??
??
3
2k
?
?
?< br>?
?
??
2
(?A)
??
?
??
上 为减函数

k?Z

注意:①
y??sinx

y?sinx
的单调性正好相反;
y??cosx

y?cosx
的 单调性也同样相

反.一般地,若
y?f(x)

[a,b]
上递增(减),则
y??f(x)

[a,b]
上递减(增).

y?sinx

y?cosx
y
的周期是
?
.
O
x

y?sin(
?
x?
?
)

y?cos(
?
x?
?
)

?
?0)的周期
y?tan
T?
2
?
?
.
?
x
T??T?2
?
?
2
的周期为2
?
(,如图, 翻折无效).

y?sin(
?
x?
?
)
的对 称轴方程是
x?k
?
?
?
2

k?Z
), 对称中心(
k
?
,0
);
y?cos(
?
x??
)

1
k
?
?
?
,0
2< br>对称轴方程是
x?k
?

k?Z
),对称中心();
y
k
?
,0
?tan(
?
x?
?
)
的对称中心
2
().
?
2
y?cos2x?
原点对称< br>????y??cos(?2x)??cos2x

⑤当
tan
?·
tan
?
?1,
?
?
?
?k
??
?
2
(k?Z)

tan
?
·
ta n
?
??1,
?
?
?
?k
?
?(k?Z)
.
?
??
y?sin
?
x??2k
?
?
2
??
是同一函数,而
y?(
?
x?
?
)
是偶函数,则 ⑥
y?cosx

1
y?(
?
x?
?
)?sin(
?
x?k
?
?
?
)??c os(
?
x)
2
.
⑦函数
y?tanx

R
上为增函数(.×) [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域,


y?tanx
为增函数,同样也是错误的].
⑧定 义域关于原点对称是
f(x)
具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件:一是
定义域关于原点对称(奇偶都要),二是满足奇偶性条件,偶函数:
f(?x)?f(x)
, 奇函数:
f(?x)??f(x)

1
y?tan(x?
?
)
3
是非奇非偶.(定奇偶性的单调性:奇同偶反. 例如:
y?tanx
是奇函数,
义域不关于原点对称)
奇函数特有性质:若
0?x
的定义域,则
f(x)
一定有
f(0)?0
.(0?x
的定义域,则无此性
质)


y?sinx
不 是周期函数;
y?sinx
y

y
为周期函数(
T?
?
);
x
12
x
y?cosx
是周期函数(如图);< br>y?cosx
为周期函数(
T?
?
);
y=cos|x|图 象
1
y?cos2x?
2
的周期为
?
(如图),并非所有周 期函数都有最小正周期,例如:
y=|cos2x+12|图象
y?f(x)?5?f(x?k),k?R
.

11、三角函数图象的作法:
1)、几何法:
2)、描点法及其特例——五点作图法(正、余弦曲线),三点二线作图法(正、余切曲线).
3)、利用图象变换作三角函数图象.
三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等.
函数y=Asin(ωx+φ)的 振幅|A|,周期
T?
2
?
1|
?
|
f??
|
?
|
,频率
T2
?
,相位
?
x??
;
初相
?
(即
y?acos
?
?bsin< br>?
?a
2
?b
2
sin(
?
?
?< br>)?cos
?
?
b
22
a

a?b?y
.
当x=0时的相位).(当A>0,ω>0 时以上公式可去绝对值符号),
由y=sinx的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长(当|A |>1)或缩短(当0<|A|
<1)到原来的|A|倍,得到y=Asinx的图象,叫做振幅变换或 叫沿y轴的伸缩变换.(用
yA替换y)
由y=sinx的图象上的点的纵坐标保持不变,横 坐标伸长(0<|ω|<1)或缩短(|ω|>1)
到原来的
|
1
|
?
倍,得到y=sinω x的图象,叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换.(用ωx
替换x)
由y=sinx的图象 上所有的点向左(当φ>0)或向右(当φ<0)平行移动|φ|个单位,
得到y=sin(x+φ)的 图象,叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移.(用x+φ替换x)
由y=sinx的图象上所有的点 向上(当b>0)或向下(当b<0)平行移动|b|个单位,得
到y=sinx+b的图象叫做沿y轴 方向的平移.(用y+(-b)替换y)
由y=sinx的图象利用图象变换作函数y=Asin(ω x+φ)(A>0,ω>0)(x∈R)的图象,


要特别注意:当周期变换和相位变换的 先后顺序不同时,原图象延x轴量伸缩量的区别。






















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