高一数学点线面之间的位置关系知识点

高一数学点线面之间的位置关系知
识点


点线面之间 的位置关系是做空间几何体的基础，这个知识点
也相对简单，下面就是给大家带来的点线面之间的位置关 系，希
望大家喜欢！
1.直线在平面内的判定
(1)利用公理1：一直线上不重合的两点在平面内，则这条直
线在平面内.
(2)若两 个平面互相垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于
第二个平面的直线在第一个平面内，即若α⊥β,A ∈α，AB⊥β，
则ABα.
(3)过一点和一条已知直线垂直的所有直线，都在过此点 而垂
直于已知直线的平面内，即若A∈a,a⊥b，A∈α,b⊥α，则aα.
(4)过 平面外一点和该平面平行的直线，都在过此点而与该平
面平行的平面内，即若Pα，P∈β，β∥α，P ∈a,a∥α，则aβ.
(5)如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内一点与
这条直线平行的直线必在这个平面内，即若a∥α,A∈α，
A∈b,b∥a,则bα.

2.存在性和唯一性定理
(1)过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条;
(2)过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条;
(3)过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个;
(4)与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条;
(5)过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个;
(6)过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个;
(7)过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只
有一个;
(8)过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的
平面有且只有一个.
3.射影及有关性质
(1)点在平面上的射影自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在
这个平面上的射影，点的射影还是点.
(2)直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线，过
两垂足的直线叫做直线在这 平面上的射影.
和射影面垂直的直线的射影是一个点;不与射影面垂直的直
线的射影是一条直线.

(3)图形在平面上的射影一个平面图形上所有的点在一个平
面上的射影的 集合叫做这个平面图形在该平面上的射影.
当图形所在平面与射影面垂直时，射影是一条线段;
当图形所在平面不与射影面垂直时，射影仍是一个图形.
(4)射影的有关性质
从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：
(i)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长;
(ii)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长;
(iii)垂线段比任何一条斜线段都短.
4.空间中的各种角
等角定理及其推论
定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向
相同，则这两个角相等.
推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组
直线所成的锐角(或直角)相等.
异面直线所成的角

(1)定义：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，分
别引直线a′∥a,b′∥b,则a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线
a和b所成的 角.
(2)取值范围：0°θ≤90°.
(3)求解方法
①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ;
②解含有θ的三角形，求出角θ的大小.
5.直线和平面所成的角
(1)定义和平面所成的角有三种：
(i)垂线 面所成的角 的一条斜线和它在平面上的射影所成
的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
(ii)垂线与平面所成的角 直线垂直于平面，则它们所成的角
是直角.
(iii)一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°
的角.
(2)取值范围0°≤θ≤90°
(3)求解方法
①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ.

②解含θ的三角形，求出其大小.
③最小角定理
斜线和平面所成的角，是这条斜线 和平面内经过斜足的直线
所成的一切角中最小的角，亦可说，斜线和平面所成的.角不大
于斜线 与平面内任何直线所成的角.
6.二面角及二面角的平面角
(1)半平面 直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平
面.
(2)二面角 条直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二面
角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即
二面 角由半平面一棱一半平面组成.
若两个平面相交，则以两个平面的交线为棱形成四个二面
角.
二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面
角θ的取值范围是
0°θ≤180°
(3)二面角的平面角

①以二面角棱上任意一点 为端点，分别在两个面内作垂直
于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.
如图，∠PCD是二面角α-AB- β的平面角.平面角∠PCD的大
小与顶点C在棱AB上的位置无关.
②二面角的平面角具有下列性质：
(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB⊥平面
PCD.
(ii)从二面 角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另
一面的垂线，垂足必在平面角的另一边(或其反向延 长线)上.
(iii)二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，
即平面PCD⊥α，平面PCD⊥β.
③找(或作)二面角的平面角的主要方法.
(i)定义法
(ii)垂面法
(iii)三垂线法
(Ⅳ)根据特殊图形的性质
(4)求二面角大小的常见方法

①先找(或作)出二面角的平面角θ，再通过解三角形求得θ
的值.
②利用面积射影定理
S′=S·csα
其中S为二面角一个面内平面图形的面积，S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，α为二面角的大小.
③利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小.
7.空间的各种距离
点到平面的距离
(1)定义 面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距
离叫做这个点到这个平面的距离.
(2)求点面距离常用的方法：
1)直接利用定义求
①找到(或作出)表示距离的线段;
②抓住线段(所求距离)所在三角形解之.
2 )利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的
垂面上，则已知点到两平面交线的距离就是所 求的点面距离.

3)体积法其步骤是：①在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥;②求出此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面
积S;③由V=S·h，求出h即为 所求.这种方法的优点是不必作出垂
线即可求点面距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算.
4)转化法将点到平面的距离转化为(平行)直线与平面的距离
来求.
8.直线和平面的距离
(1)定义一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平
面的距离，叫做这条直线和平面的距离.
(2)求线面距离常用的方法
①直接利用定义求证(或连或作)某线段为距离，然后通过解
三角形计算之.
②将线面距离转化为点面距离，然后运用解三角形或体积
法求解之.
③作辅助垂直平面，把求线面距离转化为求点线距离.
9.平行平面的距离
(1)定义 个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面
的公垂线.公垂线夹在两个平行平面间的 部分，叫做这两个平行

平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两个平< br>行平面的距离.
(2)求平行平面距离常用的方法
①直接利用定义求
证(或连或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之.
②把面面平行距离转化为 线面平行距离，再转化为线线平
行距离，最后转化为点线(面)距离，通过解三角形或体积法求解
之.
10.异面直线的距离
(1)定义 条异面直线都垂直相交的直线叫做两条 异面直线的
公垂线.两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长
度，叫做两条异面直 线的距离.
任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段.
(2)求两条异面直线的距离常用的方法
①定义法 题目所给的条件，找出(或作出)两条异面直线的
公垂线段，再根据有关定理、性质求出公垂线段的长.
此法一般多用于两异面直线互相垂直的情形.
②转化法 为以下两种形式：线面距离面面距离

③等体积法④最值法⑤射影法⑥公式法

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