高中数学知识点精讲精析 利用函数性质判定方程解的存在

4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在
1.关于函数的零点
(1)函数的零点的定义
①如果函数
y?f(x)
在实数a处的值等于零，即
f(a)?0
，则a叫做这个函数的零点.
②函数
y?f(x)
的零点的几何意义是：函数
y?f(x)
的图象与x轴的公共点.也就是
函数
y?f(x)
的图象与x轴的交点的横坐标.
③方程
f(x)?0
有实数根
?
函数
y?f(x)
有零点
?
函数
y?f (x)
的图象与x轴有
交点.
④若方程
f(x)?0
有二重实根，则称函数
y?f(x)
有二阶零点.
(2) 如何判断函数
y?f(x)
在区间[a,b]上是否有零点？

判断函数
y?f(x)
在区间[a，b]上是否有零点，最关键是要把握两点：
①函 数
y?f(x)
的图象在区间[a，b]上是否是连续不断的一条曲线.（函数的连续性，形象地说就是图象在指定区间无间断点）
②在区间的两个端点处，函数值之积小于0，即
f(a)f(b)?0
，那么函数
y?f(x)
在
区间(a，b)内 有零点，即存在
c?(a,b)
，使
f(c)?0
，这个c就是方程
f(x)?0
的根.
2.二次函数的零点
22
ax?bx?c?0(a? 0)y?ax?bx?c(a?0)
的零一元二次方程的根也称为二次函数
点
3.零 点存在性定理：如果函数
y?f(x)
在区间
[a,b]
上的图象是连续不断 的一条曲线，并且
有
f(a)f(b)?0
，那么函数
y?f(x)
在区间
(a,b)
内有零点.既存在
c?(a,b)
，使得
f(c) ?0
，这个
c
也就是方程的根.

典型例题
例1讨论函数
y?(ax?1)(x?2)
的零点.
解:
当a?0时，函数为y??x?2,故其零点为x?2;

本题主要考查对函数零点的 求法的灵活准确应用和分类讨论思想的运用，解题时要本着
简洁直观的原则，按照函数零点的求法进行转 化和求解.
2
例2 求证：方程
5x?7x?1?0
的两个根一个在区间< br>(?1,0)
上，另一个在区间
(1,2)
上.
当a?0时，零点为 x
1
?
1
,x
2
?2.
a
2
设f (x)?5x?7x?1,则f(?1)f(0)??11?0,f(1)f(2)??15?0,
而二 次函数解析:
是连续的，

2
y?f(x)
5x?7x?1?0
的 所以函数在（ －1，0）和（1，2）上分别有零点..即方程
两个根一个在区间
(?1,0)
上， 另一个在区间
(1,2)
上.
证明方程
5x?7x?1?0
的两个 根一个在区间
(?1,0)
上，另一个在区间
(1,2)
上.即
2< br>证函数在
(?1,0)
和
(1,2)
分别有一个零点.判断函数
y?f(x)
是否在
(x
1
,x
2
)
上存在零点 ，
除验算
f(x
1
)f(x
2
)?0
是否成立外， 还要考查函数
f(x)
在
(x
1
,x
2
)
上是否连续.
2
f(x)?mx?(m?3)x?1
的图象的零点至少有一个在原点右侧，求实 例3 已知函数
数m的取值范围.
1
(,0)
解析:（1）当m＝0时，< br>f(x)??3x?1
，直线与x轴的交点为
3
，即函数的零点
1为
3
，在原点右侧，符合题意.
（2）当m ≠ 0时，因为
f(0)?1
，所以抛物线过点
(0,1)
.

①若
m?0,f(x)
的开口向下，如下图，二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧，一个在原点左侧.

y
1
0
x

②若
m?0,f(x)
的开口向上，如下图，要使函数的零点在原点右侧，当且仅当
?
??(m?3)
2
?4m?0
?
?
m?1,或m ?9
3?m
?
?0,解得：,即0?m?1
??
2m
0?m ?3
?
?
m?0
?
?
.


y
1
0
x

综上所述，所求m的范围是
?
??,1
?
.

对函数图象性质的研究，一是要注意特殊点；二是要画出示意图，再根据图象的特征解
决问题.
研究二次函数在给定区间上的零点时，可从判别式.对称轴.开口方向.区间的端点值等几
方面 去考虑.