高中数学知识点易错点梳理三不等式与简单的线性规划

高中数学知识点易错点梳理三不等式与简单的线性规划
19、
20、
21、
同向不等式能相减，相除吗？

不等式的解集的规范书写格式是什么？（一般要写成集合的表达式）
分式不等式
f< br>?
x
?
?a
?
a?0
?
的一般解题思路是什 么？（移项通分，分子分母分解
g
?
x
?
因式，x的系数变为正值，奇穿偶回）
22、 解指对不等式应该注意什么问题？（指数函数与对数函数的单调性, 对数的真数大
于零.）
23、 含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？(一般是根据定义分类讨论)
24、
?
a?b
?
利用重要不等式
a?b?2ab
以及变式ab?
??
等求函数的最值时，你是
?
2
?
2
否注意到a，b
?R
?
（或a ，b非负），且“等号成立”时的条件，积ab或和a＋b其
中之一应是定值？(一正二定三相等)
25、
a
2
?b
2
a?b2ab
取等号）；
??ab? , (a , b?R
?
)
(当且仅当
a?b?c
时，
22a?b
a、b、c
?
R，
a
2
? b
2
?c
2
?ab?bc?ca
（当且仅当
a?b?c时，取等号）；
26、 在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底0?a?1
或
a?1
）讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解集是……．
27、 解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关
键．”
28、 对于不等式恒成立问题，常用的处理方式？（转化为最值问题）

B、第5~9题，中档题，易丢分，防漏多解
B1.线性规划
1、二元一次不等式表示的平面区域：
（1）当
A
?
0
时 ，若
Ax?By?C
?
0
表示直线
l
的右边，若
A x?By?C?0
则表示直线
l
的左
边.
（2）当
B?
0
时，若
Ax?By?C
?
0
表示直线
l< br>的上方，若
Ax?By?C?0
则表示直线
l
的下
方. 2、设曲线
C:(A
1
x?B
1
y?C
1
)( A
2
x?B
2
y?C
2
)?0
（
A
1
A
2
B
1
B
2
?0
），则
( A
1
x?B
1
y?C
1
)(A
2
x?B< br>2
y?C
2
)?0
或
?0
所表示的平面区域：两直线
A
1
x?B
1
y?C
1
?0
和
A
2
x?B
2
y?C
2
?0
所成的对顶角区域（上下 或左右两部分）.
3、点
P
0
(x
0
,y
0)
与曲线
f(
x,y
)
的位置关系：
若曲线
f(x,y)
为封闭曲线（圆、椭圆、曲线
|x?a|?|y?b|?m
等），则f(
x
0
,y
0
)
?0
，
称点在曲线 外部；
若
f(x,y)
为开放曲线（抛物线、双曲线等），则
f(
x
0
,y
0
)
?0
，称点亦在曲线“外部”.
4、已知直线
l:Ax?By?C?0
，目标函数
z?Ax?By
.
①当
B?0
时，将直线
l
向上平移，则
z
的值越来 越大；直线
l
向下平移，则
z
的值越来越小；
②当
B?0
时，将直线
l
向上平移，则
z
的值越来越小；直线
l
向下平移，则
z
的值越来越大；

5、明确线性规划中的几个目标函数（方程）的几何意义：
（1）
z ?ax?by
，若
b?0
，直线在y轴上的截距越大，z越大，若
b?0，直线在y轴上的
截距越大，z越小．
（2）
率.
（3）
t ?
?
x?m
?
?
?
y?n
?
表示圆心固定 ，半径变化的动圆，也可以认为是二元方程的覆盖
22
y?m
x?n
表示过两 点
?
x,y
?
,
?
n,m
?
的直线的斜率 ，特别
y
x
表示过原点和
?
n,m
?
的直线的斜< br>问题.
（4）
y?
?
x?m
?
?
?
y?n
?
22
表示
?
x,y
?
到点
?< br>0,0
?
的距离.
（5）
F(cos
?
,sin
?
)
； （6）< br>d?
Ax
0
?By
0
?C
A
2
?B
2
【点拨】：通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x
2
+y2
=1上的点
(cos
?
,sin
?
)
及余弦 定理进行转化达到解题目的．
； （7）
a?ab?b
；
22
（2012苏锡常镇二模14）设实数
n?6
，若不等式
2xm?(2?x)n?8? 0
对任意
x?
?
?4,2
?
m
4
?n4
80
都成立，则的最小值为 .
?
3
m
3
n
?
y?3?0
?
（2012南京三模9）在直角坐标系
xOy
中，记不等式组
?
2x?y?7?0
表示的平面区域为
?
x?2y?6?0
?
D．若指数函数
y?a
（
a
＞0且
a?1
）的图象与D有公共点，则
a
取值范围
是 ．
[3,??)

x
x
2
x
3
（2010 江苏卷12）设实数x,y满足3≤
xy
≤8，4≤
≤9，则
4
的最 大值是 27
yy
2


B2. 最值定理 < br>①
x,y?0,由x?y
≥
2xy
，若积
xy?P(
定值
)
，则当
x?y
时和
x?y
有最小值
2p；
②
x,y?0,由x?y
≥
2xy
，若和
x?y? S(
定值
)
，则当
x?y
是积
xy
有最大值
1
s
2
.
4
【推广】：已知
x,y?R
，则有
(x?y)
2
?(x?y)
2
?2xy
.
（1） 若积
xy
是定值，则当
|x?y|
最大时，
|x?y|
最大 ；当
|x?y|
最小时，
|x?y|
最小.
（2）若和
| x?y|
是定值，则当
|x?y|
最大时，
|xy|
最小；当
|x?y|
最小时，
|xy|
最大.
③已知
a,x,b,y?R
，若
ax?by?1
，则有：
1
x
?
111bya x
?(ax?by)(?)?a?b??≥a?b?2ab? (a?
yxyxy
b)

2
?


④
a,x,b,y?R
，若


?
a
x< br>?
b
y
?1
则有：
x?y?
?
x?y
?
(
ay
x
?
bx
y
)?a?b?2ab?(a ?b)

2

梳理三不等式与简单的线性规划（续）

B5、应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：
⑴凑系数（乘、除变量系数）
1、.当

0
?x?4
时，求函的数
y?x(8?2x)
最大值.



⑵凑项（加、减常数项）：
5
1
2、已知
x?

，求函数
f(x)?4x?2?
的最大值.
4
4x?5



⑶调整分子：
x
2
?7x?10
3、求函数
f(x)?(x??1)
的值域；
x?1


22
a?b
2
⑷变用公式：基本不等式
a?b
?ab
有几个常用变形：

a?b
?ab
,

()?ab
，
22
2
22
a?b
2
.前两个变形很直接，后两个变形则不易想到 ，应重视；
a
2
?b
2
a?b
，
a?b
?()
?
22
22
15
4、求函数
y?2x ?1?5?2x(
?
x
?
)
的最大值；
22


⑸连用公式：
16
5、已知
a?b?0
，求
y ?a
2
?
的最小值；
b(a?b)


⑹对数变换：
6、已知
x?
1
,y?1
，且
xy ?e
，求
t?(2x)
2
lny
的最大值；


⑺三角变换：
7、已知
0?
y
≤
x
?
?
，且
tanx?3tany
，求
t?x?y
的最大值；
2


⑻常数代换（逆用条件）：
8、已知
a?0,b? 0
，且
a?2b?1
，求
t?
1
?
1
的最 小值.
ab


（2011江苏卷8）．在平面直角坐标系
xOy
中，过坐标原点的一条直线与函数
f(x)?
图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最 小值是________.4


2
的
x