高一数学二次函数知识点的定义和解题思路

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高一数学二次函数知识点的定义和解题思路
高中数学的内容多，抽象性、理论性比初中数学强，不
少同学，特别是高一年级的学生进入 高中学习后，如果还是
使用原来的学习方式，不懂得更新学习方法，很可能会不适
应高中数学的 学习，从而很难掌握高中的数学知识，于是对
数学的学习产生厌烦的想法。学好高一数学的确不是易事，
高考频道建议新高一生从一个一个的知识点抓起，循序渐
进，融会贯通。下面先来学习高一数学 二次函数的概念和基
本用法。
I.定义与定义表达式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
y=ax^2+bx+c
（a， b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a；0
时，开口方向向上，a；0时，开口方向向下 ，IaI还可以决
定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大。）
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式
一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
顶点式：y=a（x-h）^2+k[抛物线的顶点P（h，k）]
交点式：y=a（x-x ？）（x-x？）[仅限于与x轴有交点A（x？，
0）和B（x？，0）的抛物线]
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注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：
h=-b2ak=（4ac-b^2）4ax？，x？=（-b±√b^2-4ac）2a
III.二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，
可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
x=-b2a.
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P.
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P，坐标为
P（-b2a，（4ac-b^2）4a）
当-b2a=0时，P在y轴上；当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴
上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；
当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）
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6.抛物线与x轴交点个数
Δ=b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ=b^2-4ac＜0时，抛物线 与x轴没有交点。X的取值是虚
数（x=-b±√b^2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式< br>子除以2a）
V.二次函数与一元二次方程
特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），
即ax^2+bx+c=0
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1．二次函数y=ax^2，y=a（x-h）^2，y=a（x-h）^2+k，
y=ax^ 2+bx+c（各式中，a≠0）的图象形状相同，只是位置
不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：
解析式
顶点坐标
对称轴
y=ax^2
（0，0）
x=0
y=a（x-h）^2
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（h，0）
x=h
y=a（x-h）^2+k
（h，k）
x=h
y=ax^2+bx+c
（-b2a，[4ac-b^2]4a）
x=-b2a
当h；0时，y=a（x-h）^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，
当h；0时，则向左平行移动|h|个单位得到．
当h；0，k ；0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，
再向上移动k个单位，就可以得到y=a（x- h）^2+k的图象；
当h；0，k；0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，
再向下移动|k|个单位可得到y=a（x-h）^2+k的图象；
当h；0，k；0时，将抛物线向 左平行移动|h|个单位，再向
上移动k个单位可得到y=a（x-h）^2+k的图象；
当 h；0，k；0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向
下移动|k|个单位可得到y=a（x- h）^2+k的图象；
因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象，通过配方，将一般式化为y=a（x-h）^2+k的形式，可确定其顶点坐标、
对称轴，抛物线的大体位置就 很清楚了．这给画图象提供了
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方便．
2．抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象：当a；0时，开口
向 上，当a；0时开口向下，对称轴是直线x=-b2a，顶点坐
标是（-b2a，[4ac-b^2]4 a）．
3．抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0），若a；0，当x≤-b2a时，
y随 x的增大而减小；当x≥-b2a时，y随x的增大而增大．若
a；0，当x≤-b2a时，y随x的增 大而增大；当x≥-b2a
时，y随x的增大而减小．
4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：
（1）图象与y轴一定相交，交点坐标为（0，c）；
（2）当△=b^2-4ac；0，图 象与x轴交于两点A（x？，0）
和B（x？，0），其中的x1，x2是一元二次方程ax^2+bx +c=0
（a≠0）的两根．这两点间的距离AB=|x？-x？|
当△=0．图象与x轴只有一个交点；
当△；0．图象与x轴没有交点．当a；0时，图象落 在x轴
的上方，x为任何实数时，都有y；0；当a；0时，图象落
在x轴的下方，x为任何实 数时，都有y；0．
5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a；0（a；0），则当
x=-b2a时，y最小（大）值=（4ac-b^2）4a．
顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，
是最值的取值．
6．用待定系数法求二次函数的解析式
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（1）当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的
三对对应值时，可设解 析式为一般形式：
y=ax^2+bx+c（a≠0）．
（2）当题给条件为已知图象的顶 点坐标或对称轴时，可设
解析式为顶点式：y=a（x-h）^2+k（a≠0）．
（3）当 题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可
设解析式为两根式：y=a（x-x？）（x-x？） （a≠0）．

7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为
复杂的综 合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目
是中考的热点考题，往往以大题形式出现．


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