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人教版高中数学【选修2-1】[知识点整理及重点题型梳理] 立体几何中的向量方法(基础)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-22 09:48
tags:高中数学的知识点

四川高中数学竞赛-高中数学必修四课本答案北师版

2020年9月22日发(作者:裘锡圭)


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人教版高中数学选修2-1
知识点梳理
重点题型(
常考知识点
)巩固练习


立体几何中的向量方法
【学习目标】
1. 理解直线的方向向量与平面的法向量。
2. 能用向量方法证明有关直线和平面的平行与垂直。
3. 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题。
4. 能用向量方法计算两点、点线、点面、面面距离。
【要点梳理】
要点一、直线的方向向量和平面的法向量
1.直线的方向向量:
若A、B是直线
l
上的任意两点,则
AB
为直线
l
的一个方向向量;与AB
平行的任意非零向量也是直
线
l
的方向向量。
要点诠释:
(1)在直线上取有向线段表示的向量,或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量,均为直线的方< br>向向量。
(2)在解具体立体几何题时,直线的方向向量一般不再叙述而直接应用,可以参与向 量运算或向量的
坐标运算。

2. 平面的法向量定义:
已知平面
?
,直线
l?
?
,取
l
的方向向量
a
, 有
a?
?
,则称为
a
为平面
?
的法向量。

要点诠释:一个平面的法向量不是唯一的,在应用时,可适当取平面的一个法向量。已知一平 面内两
条相交直线的方向向量,可求出该平面的一个法向量。

3.平面的法向量确定通常有两种方法:
(1) 几何体中有具体的直线与平面垂直,只需证明线面垂直,取该垂线的方向向量即得平面的法向
量;
(2) 几何体中没有具体的直线,一般要建立空间直角坐标系,然后用待定系数法求解,一般步骤如
下:
(i)设出平面的法向量为n=(x,y,z);
(ii)找出(求出)平 面内的两个不共线的向量的坐标a=(a
1
,b
1
,c
1
) ,b=(a
2
,b
2
,c
2
);
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?
n?a?0
(iii)根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程
?

n?b?0
?
(iv)解方程组,取其中的一个解,即得法向量.由于一个平 面的法向量有无数个,故可在代入方程
组的解中取一个最简单的作为平面的法向量.

要点二、用向量方法判定空间中的平行关系
空间中的平行关系主要是指:线线平行、线面平行、面面平行。
(1)线线平行
设 直线
l
1

l
2
的方向向量分别是
a
,< br>b
,则要证明
l
1
l
2
,只需证明
ab,即
a?kb(k?R)

(2)线面平行
线面平行的判定方法一般有三种:
①设直线
l
的方向向量是
a,平面
?
的向量是
u
,则要证明
l
?
,只需证 明
a?u
,即
a?u?0


②根据线面平行的判定定理 :要证明一条直线和一个平面平行,可以在平面内找一个向量与已知直线的
方向向量是共线向量。 ③根据共面向量定理可知,要证明一条直线和一个平面平行,只要证明这条直线的方向向量能够用平面
内两个不共线向量线性表示即可。

(3)面面平行
①由面面平行的判定定理,要证明面面平行,只要转化为相应的线面平行、线线平行即可。
② 若能求出平面
?

?
的法向量
u

v
,则 要证明
?

?
,只需证明
uv

要点三、用向量方法判定空间的垂直关系
空间中的垂直关系主要是指:线线垂直、线面垂直、面面垂直。
(1)线线垂直
设 直线
l
1

l
2
的方向向量分别为
a
,< br>b
,则要证明
l
1
?l
2
,只需证明
a?b
,即
a?b?0

(2)线面垂直
①设直线
l
的方向向量是
a
,平面
?
的向量是
u
,则要证明
l ?
?
,只需证明
au

②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直。
(3)面面垂直
①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直。
②证明两个平面的法向量互相垂直。

要点四、用向量方法求空间角
(1)求异面直线所成的角
已知a,b为两异面直线,A,C与B,D分别是a,b上的任意 两点,a,b所成的角为
?


cos
?
?
|AC?BD|

|AC|?|BD|
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要点诠释:两异面直线所成的角的范围为(0
0
,90
0
]。两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向
量的夹角来求得,但二者不完全相等,当 两方向向量的夹角是钝角时,应取其补角作为两异面直线所成的
角。
(2)求直线和平面所成的角
设直线
l
的方向向量为
a
, 平面
?
的法向量为
u
,直线与平面所成的角为
?

a

u
的角为
?

则有
sin
?
?|cos
?
|?
|a?u|

|a|?|u|

(3)求二面角
如图,若
PA?
?
于A,
PB?
?
于B,平面PAB交
l
于E,则∠AEB为二面角
?
?l?
?
的平面角,
∠AEB+∠APB=180°。


n
1
?n
2
分别为面
?

?
的法向量,
?n
1
,n
2
??arccos
n
1
?n
2< br>
|n
1
|?|n
2
|
则二面角的平面角
? AEB??n
1
,n
2
?

?
??n
1< br>,n
2
?
,即二面角
?
等于它的两个面的法向量的夹角或夹角
的补角。
①当法向量
n
1

n
2
的方向 分别指向二面角的内侧与外侧时,二面角
?
的大小等于
n
1

n
2
的夹角
?n
1
,n
2
?
的大小。
②当法向量
n
1

n
2
的方向同时指向二面角的内 侧或外侧时,二面角
?
的大小等于
n
1

n
2的夹角的补角
?
??n
1
,n
2
?
的大小。
要点五、 用向量方法求空间距离
1. 求点面距的一般步骤:
①求出该平面的一个法向量;
②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量;
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③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即可求出点到平面的距离。
即:点A到平面
?
的距离
d?
AB?n
|n|
,其中
B?
?

n
是平面
?
的法向量。
2. 线面距、面面距均可转化为点面距离,用求点面距的方法进行求解。
直线
a
与平面< br>?
之间的距离:
d?
AB?n
|n|
AB?n
|n|
,其中
A?a,B?
?

n
是平面
?
的法 向量。
两平行平面
?
,
?
之间的距离:
d?

【典型例题】
类型一、求平面的法向量
,其中
A?
?
, B?
?

n
是平面
?
的法向量。
例1.已知点< br>A(1,0,?1)
,
B(3,2,0)
,
C(5,5,2)
,求平面
ABC
的一个法向量。
【思路点拨】利用待定系数法,列方程组求面ABC的法向量。
【解析】
AB?(2,2,1)

AC?(4,5,3)

设面ABC的法向量
n?(x,y,z)
,则
n

AB
且< br>n

AC

?
?
2x?2y?z?0
?< br>2x?z,
?
n?AB?0

?
,即
?
,解 得
?

?
4x?5y?3z?0
?
y??z,
?
?
n?AC?0

x?1
,则
n?(1,?2,2)

∴向量
n?(1,?2,2)
为平面
ABC
的一个法向量. < br>【总结升华】一般情况下求法向量用待定系数法。由于法向量没规定长度,仅规定了方向,所以有一
个自由度,可把
n
的某个坐标设为1,再求另两个坐标。平面法向量是垂直于平面的向量,故 法向量的相
反向量也是法向量。
举一反三:
【变式1】在棱长为1的正方体ABC D—A
1
B
1
C
1
D
1
中,如图建立空间 直角坐标系,则平面AB
1
C的一个
法向量为( )

A.(1,0,1) B.(1,―1,0) C.(1,1,―1) D.(1,1,―2)
【答案】C
分别写出
AC

AB
1
的坐标,去验证四个向量中的哪个向量与
AC

AB
1
均 垂直即可。
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精品文档 用心整理 【变式2】如图,在长方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中,AB=AA
1
=1,AB=2,点E为AB的中点,求平面CD
1
E
的一个法向量。

【答案】如图,建立空间直角坐标系D-xyz,

则A(1,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),D
1
(0,0,1),
所以E(1,1,0)
所以
CE?(1,?1,0)

CD
1
?(0,?2,1)

设平面CD
1
E的法向量
n
=(x,y,z),则:
n?CE?0

n?CD
1
?0

?
x ?y
?
x?y?0
所以
?
,所以
?

z?2y
?2y?z?0
?
?
令y=1,则x=1,z=2。
所以平面CD
1
E的一个法向量为(1,1,2)。

类型二、利用向量研究平行问题
例2、如图,在四棱锥
O?ABCD中,底面
ABCD
为矩形,
OA?
底面
ABC
,
OAD?2
,
AD?2AB?2

M

OA
的中 点,
N

BC
的中点,求证:直线
MN

平面OCD

O
M
A
B
D
N
C

【思路点拨】证明直线
MN
的方向向量和平面
OCD
的法向量垂直。
【解析】如图,分别以AB,AD,AO所在直线为
x,y,z
轴建立空间直角坐标系
A?xyz

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O
z
M
A
x
y
D
N
C

B

A(0,0,0)
,
B(1,0,0)
,
C( 1,2,0)
,
D(0,2,0)
,
M(0,0,1)
,
N (1,1,0)
,
O(0,0,2)
,

MN?(1,1,?1)
,
DC?(1,0,0)
,
DO?(0,?2,2)

1
DC、DO
共面
DO
,∴
MN、
2

MN?
?
平面
OCD

DC?
平面
OCD
,
DO?
平面
OCD
,
DC
?MN
平面
OCD

法一:∵
MN?DC?
法二:设平面
OC D
的法向量为
n?(x,y,z)
,则
DO=D

?
?
nDO?0
,即
?
?
?
nDC?0
?
?2y?2z?0
,取
z?1
,得
n?(0,1,1)< br>
?
?
x?0
?MNn?(1,1,?1)(0,1,1)?0
, < br>又
MN?
?
平面
OCD

?MN

平面
OCD

【总结升华】立体几何中的证明线面平行(
l
?),一般先求出平面
?
的法向量是
u
,再证明
l?u


l?u?0


举一反三:
A
1
M? AN?
【变式1】在棱长为a的正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中,M、N分别为A
1
B和AC上的点,
求证:M N∥平面BB
1
C
1
C。
2
a

3

【答案】如图,建立空间直角坐标系,
则A
1
(a,a,0),B(a,0,a),C(0,0,a),A(a,a,a),
2122
a,a)

N(a,a,a)

3333
a2
所以
MN?(?,0,a)

33

M(a,
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而平面BB
1
C
1
C 的一个法向量为
n?(0,1,0)

所以
MN?n?0
,所以
MN?n

所以MN∥平面BB
1
C
1
C。
【变式2】(2015 邹城市校级模拟)设平面
?
的一个法向量为
,平面
?
的一个法向量为
n
2
?(?2,?4,k)
,若
?

?
,则 k=
n
1
?(1,2,?2)
( )
A.2 B.―4 C.―2 D.4
【答案】D
【解析】平面
?
的 一个法向量为
n
1
?(1,2,?2)
,平面
?
的一个法向 量为
D
1
A
1
F

D
x

A
B
M

C
z

E

B
1
y

C
1
n
2
?(?2,?4,k)


?

?
,由题意可得
∴k=4。
故选:D。

例3.已知棱长为1的正方体ABCD-A
1
B
1
C1
D
1
中,E、F、M分别是A
1
C
1
、A< br>1
D 和B
1
A上任一点,求证:
平面A
1
EF∥ 平面B
1
MC.

【解析】如图建立空间直角坐标系,

A
1
C
1
=(-1,1,0),
B
1
C
=(-1,0,-1)

A
1
D
=(1,0,1),
B
1
A
=(0,-1,-1)

A
1E?
?
A
1
C
1

A
1
F?
?
A
1
D

B
1
M?
?
B
1
A

?

?

?
?R
,且均不为0)

n
1
、< br>n
2
分别是平面A
1
EF与平面B
1
MC的法向量,

n
1
?A
1
E?
0
可得
n
1
?
?
A
1
C
1
?0

n
1
?A
1
C
1
?0

?2?4k

??
12?2
n
1
?A
1
F?0

n
1
?
?
A
1
D?0

n
1
?A
1
D?0

解得:
n
1
=(1,1,-1)

n
2
?B
1
M?
0
可得
n
2
?
?
B
1
A?0

n
2
?B
1
A?0

n
2
?B
1
C?0

n
2
?B
1
C?0

n
2
?B
1
C?0

解得
n2
=(-1,1,-1),所以
n
1
=-
n
2

n
1

n
2

所以平面A
1
EF∥平面B
1
MC.
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【总结升华】证两个面
?< br>、
?
平行,只需求出平面
?

?
的法向量
u

v

再证出
uv
即可。

举一反三:
【变式】
如图所示,在直三棱柱ABC—A
1
B
1
C1
中,∠ABC=90°,BC=2,CC
1
=4,点E在线段
BB1
上,且EB
1
=1,D、F、G分别为CC
1
、C
1
B
1
、C
1
A
1
的中点。
求证:平面EGF∥平面ABD。

【答案】如图所示,由条件,知BA,BC,B B
1
两两互相垂直,以B为坐标原点,BA、BC、BB所在
直线分别为x轴、y轴、 z轴建立直角坐标。
由条件知B(0,0,0)、D(0,2,2),B
1
(0,0,4),设BA=a,
则A(a,0,0)。
所以
BA?(a,0,0)

BD?(0, 2,2)

B
1
D?(0,2,?2)

B
1< br>D?BA?0

B
1
D?BD?0?4?4?0

所以B
1
D⊥BA,B
1
D⊥BD。因此B
1
D⊥平面AB D(1)
由E、F、G的定义,知E(0,0,3)、
G(4),1,
所以
EG?(,1,1)

EF?(0,1,1)

a
2
、F(0,1,4)。
a
2
B
1
D ?EG?0?2?2?0

B
1
D?EF?0?2?2?0

所以B
1
D⊥EG,B
1
D⊥EF。
所以B
1
D⊥平面EFG。
结合(1),可知平面EGF∥平面ABD。

类型三、利用向量研究垂直问题
例4. 如右图,在四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,
PD=DC,E是Pc的中点,作EF上PB交PB 于F,证明:
(1)直线PA∥平面EDB;
(2)直线PB⊥平面EFD.

【思路点拨】线面的平行、垂直的问题,建立恰 当的空间直角坐标系来解,不仅容易找到解题方向,而且
坐标也简单,本题的“垂直”问题转化为“两向 量数量积为0”的问题。
【解析】 以DA、DC、DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设PD=D C=2,则得下列各点的坐标D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),
P(0,0,2).
(1)∵E是PC的中点,∴E(0,1,1),-

AP?(?2,0,2)

DE?(0,1,1)

BE?(?2 ,?1,1)


AP?DE?BE

又PA
?
平面EDB,∴PA∥平面EDB.
(2)∵
BP?(?2,?2,2)

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BP?DE?(?2,?2,2)?(0,1,1)?0


BP?DE
,∴BP⊥DE.
又BP⊥EF,且EF∩DE=E.所以直线PB⊥平面EFD.

【总结升华】证 明线面垂直,需要证明这条直线对应的向量和平面内两条相交直线对应的向量的数量积均
为0

举一反三:
【变式】在正方体ABCD—A
1
B
1
C1
D
1
中,E、F分别为BB
1
、DC的中点,求证:D
1
F⊥平面ADE.
【答案】如图所示,不妨设正方体的棱长为1,且设
DA=i,
DC
=j,
DD
1
=k,
以i、j、k的坐标向量建立空间直角坐标系D—xyz,

AD
=(-1 ,0,0),
D
1
F
=(0,
1
,-1),
2< br>(0,
AD
·
D
1
F
=(-1,0,0)·
1
,-1)=0,∴AD⊥D
1
F.
2
2

AE
=(0,1,
1
),
D
1
F
=(0,
1< br>,-1),
2

AE
·
D
1
F
= (0,1,
1
)·(0,
1
,-1)=
1
-
1=0.
2222
∴AE⊥D
1
F,又AE∩AD=A, ∴D
1
F⊥平面ADE.

例5.在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,AB=2,E、F分别是BB
1
,CD的中点。
求证:平面
AED?
平面
A
1
D
1
F


【解析】如图建立空间直角坐标系,

则A(0,0,0),D(0,2,0),A
1
(0,0,2),D
1
(0 ,2,2),E(2,0,1),F(1,2,0)

AE?(2,0,1)
,D
1
F?(1,0,?2)

A
1
D
1
?(0,2,0)

?
AE?D
1
F?2?1?0?0?1?(? 2)?0

AE?A
1
D
1
?2?0?0?2?1?0?0

AE?D
1
F

AE?A
1
D
1

AE?D
1
F
,
AE?A
1
D
1

又∵
D
1
FA
1
D
1
?D
1

?
AE?
平面
A
1
D
1
F

AE?
平面
AED
,
?
平面
A ED?
平面
A
1
D
1
F
.
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【总结升华】

(1)用向量法证明面面垂直,就是证两个面的法向量的数量积为0;

a?(x
1
,y
1
,z
1
)

b?(x
2
,y
2
,z
2
)
,则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?z
1
z
2
?0

(2)建立恰当的直角坐标系可以简化向量法解决问题时的计算量。

举一反三:
【变式】平面ABCD⊥平面ABEF,ABCD是正方形,ABEF是矩形,且
AF?
点,
求证:平面AGC⊥平面BGC;
1
AD?a,
G是EF的中
2

【答案】如图,以A为原点建立直角坐标系,
则A(0,0,0),B(0,2a,0),C (0,2a,2a),G(a,a,0),F(a,0,0)
AG?(a,a,0),AC?(0,2 a,2a)

BG?(a,?a,0),BC?(0,0,2a)

设平 面AGC的法向量为
n
1
?(x
1
,y
1
,1)< br>,
?
?
x
1
?1
?
AG?n
1< br>?0
?
ax
1
?ay
1
?0
???n
1
?(1,?1,1)

???
2ay?2a?0y??1
?1
?
1
?
?
AC?n?0
设平面BGC的法向量为n
2
?(1,y
2
,z
2
)

?< br>?
BG?n
2
?0
?
a?ay
2
?0
?
y
2
?1
?
?
?
?
?n
2< br>?(1,1,0)

?
?
z
2
??1
??
BC?n
2
?0
?
2az
2
?0

n
1
?n
2
?0

n
1
?n
2
∴平面AGC⊥平面BGC;
类型四、利用向量求空间角
【立体几何中的向量方法399112例题1】
例6. 如图,在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中,点
E
1

F
1
分别是
A
1
B
1
,
C
1
D
1
的 一个四等分点,求
BE
1

DF
1
所成的角的余弦值.

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【思路点拨】
BE
1

DF
1
所成的角就是
BE
1

DF
1
所成的角或它的补
角.因此,我们可以通过BE
1

DF
1
的坐标表示,计算出它们的数量积与
模 ,进而求出它们所成角的余弦值.
【解析】不妨设正方体的棱长为1,分别以
DA,DC,D D
1
为单位正交基
底建立空间直角坐标系
Oxyz

则< br>B(1,1,0),E
1
(1,,1),D(0,0,0),F
1
(0 ,,1)

所以,
BE
1
?(1,,1)?(1,1,0)?(0,?,1)
,
3
4
1
4
3
4
1
4
11
DF
1
?(0,,1)?(0,0,0)?(0,,1)
,
44
BE
1
?
所以,
1717
1115
,
DF
1
?
,
BE
1
?DF
1
? 0?0?(??)?1?1?

44
4416
cos?BE
1,DF
1
??
BE
1
?DF
1
BE
1
?DF
1
15

15
16
??.
1717
17
?
44
因此,
BE
1

DF
1
所成的角的余弦值是
15

17

【总结升华】用空间 向量法来研究两条异面直线所成的角的一般步骤是:建立适当的空间坐标系→确
定相应的点的坐标→确定 相应的点的向量的坐标→用夹角公式确定两条异面直线所成的角.
举一反三:
【变式】长方 体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中,E、 F分别为AB、B
1
C
1
中点,若AB=BC=2,AA
1
=4,试用向量法
求:
A
1
E与CF
的夹角的余弦值.
【答案】如图,建立空间坐标系,则D(0,0,0)、A(2,0,0),
B(2,2,0 )、C(0,2,0)、A
1
(2,0,4)、B
1
(2,2,4)、C1
(0,2,4).
由题设可知E(2,1,0),F(1,2,4).
(1)令
A
1
E与CF
的夹角为θ,
则cosθ=
A
1
E?CF
A
1
E?CF
??
16
.
17

A
1
E与CF
的夹角的余弦值为
?
16
.
17
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【立体几何中的向量方法399112例题2】
例7. 已知正方体
AB CD?A
1
B
1
C
1
D
1
,点
F

BC
的中点,点
E

C
1
D
1
上,且
C
1
D
1
?4ED
1
,求直线EF
与平面
ACD
1
所成角的正弦值.
【解析】
设正方体棱长为4,建立空间直角坐标系D—xyz,
则知A(4,0,0), C(0,4,0), D
1
(0,0,4)


E(0,1,4),F(2,4,0).


n?(x,y,z)是平面ACD
1
的法向量.

由n? AC,n?AD
1
,AC?(?4,4,0),AD
1
?(?4,0,4)< br>

?
?
?
n?AC??4x?4y?0
?
?
n?AD
1
??4x?4z?0

x?1,得n?(1,1,1)

EF?(2,3,?4)

cos?EF,n??
EF?n2?3?487
??

|EF|?|n|
3?29
87
87
.
87
∴直 线
EF
与平面
ACD
1
所成角的正弦值为
【总结升华】 < br>用传统几何法求直线与平面所成的角,关键是找出与已知平面垂直的直线,从而确定斜线在面内的射
影,得到斜线和平面所成的角,计算在三角形中进行.
用向量法求直线与平面所成的角,关键是建立 恰当的坐标系,求出斜线对应向量的坐标和平面的法向
量坐标,由夹角公式及线面角与线线角的关系得到 结果.
举一反三:
【变式】如图,直三棱柱ABC—A
1
B
1< br>C
1
中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90?,侧棱AA
1
=2 ,D、E分
别是CC
1
与A
1
B的中点,点E在平面ABD上的射影 是△ABD的重心G。求A
1
B与平面ABD所成角的大小
(结果用正弦值表示);
z
【答案】

C
1

如图所示,建立坐标系, 坐标原点为C,设CA=2a,则A(2a,
0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1),A< br>1
(2a,0,2),E(a,a,1), G(

GE??
a
,?
a
,?
2

333
2a
,
2a
,
1
) ,
333
A
1

D
D
E
K
G
x

A
C
B
1

??
BD?
?
0,?2a,1
?

GEBD?
2
a
2
?
2
?0

33
∴ a=1,
GE??
1
,?
1
,?
2

333
??
B
y

A
1
B?
?
?2,2,?2
?

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GE
为平面ABD的法向量,且
cosA
1
B,GE??
2
3
A
1
BGE
A
1
BGE
∴ A
1
B与平面ABD所成角的正弦值是
2

3
例8.已知 棱长为1的正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1< br>,求平面A
1
BC
1
与平面ABCD所成的二面角的余弦值。
【思路点拨】可建立空间直角坐标系,求出两个平面的法向量,通过法向量的夹角进行求解.
【解析】如图建立空间直角坐标系,
A
1
C
1
=(-1,1,0),
A
1
B
=(0,1,-1)

n
1
n
2
分别是平面A
1
BC
1
与平面ABCD 的法向量,

n
1
?A
1
B?
0
可解得
n
1
=(1,1,1)
A
1
z

D
1
B
1
D
A
x

B
C
y

C
1
n
1
?A
1
C
1
?0

易知
n
2
=(0,0,1),
所以,
cosn
1
,n
2
?
n
1
?n
2
n
1
?n
2

3

3
所以平面A
1
BC1
与平面ABCD所成的二面角的余弦值为
33
或-.
33
【 总结升华】用法向量的夹角求二面角时应注意:平面的法向量有两个相反的方向,取的方向不同求
出来的角度当然就不同,所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小.
举一反三:
【变式】如图,三棱锥
P?ABC
中,
?ABC?90?

PA?1

AB?3

AC?2

PA?

ABC

求二面角
A?PC?B
的余弦值。
P
A
C
B

【答案】在直角
?ABC中,
AB?3

AC?2
,∴
BC?1

如 图所示,以
A
为坐标原点,过
A
且平行于
BC
的直线为x
轴,
AB

AP
所在直线为
y
轴、
z
轴,
建立空间直角坐标系
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P
A
x

z
B
y
C


A(0,0,0)

B(0,3,0)

C(1,3,0)

P(0,0,1)
. < br>∴
AP?(0,0,1)

AC?(1,3,0)

PB?( 0,3,?1)

BC?(1,0,0)
,
设平面
PAC
的法向量
m?(a,b,c)
,则
m?AP

m?AC

?
?
m?AP?0
?
c?0

?
,即?

?
?
?
?
a?3b?0
?
m? AC?0

b?1
,则
a??3
,∴
m?(?3,1,0)

设平面
PBC
的法向量
n?(x,y,z)
,则
n?PB

n?BC


?
?
?
m? PB?0
?
?
m?BC?0

?
?
?
3y ?z?0

?
?
x?0
3
,∴
n?(0,1,3)
, 令y?1
,则
z?
cos?m,n??
m?n0?1?01
??< br>,
|m|?|n|
3?1?0?0?1?3
4
1
.
4
故二面角
A?PC?B
的余弦值为
类型五、利用向量求空间距离
例9.长方体ABCD—
A
1
B
1
C
1
D
1
中,AB=4,AD=6,
AA
1
?4
,M是A
1
C
1
的中点,P在线段BC上,且|CP|=2,
Q是DD
1的中点,求:(1)M到直线PQ的距离;(2)M到平面AB
1
P的距离。
【思路点拨】用空间向量求点线距和点面距,都要首先找到一条M到线和面的斜线段。
【解析】
如图,建立空间直角坐标系B—xyz,则A(4,0,0),M(2,3,4), P(0,4,0),Q(4,6,2),

(1)∵
QM?(?2,?3,2),QP?(?4,?2,?2)

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QM?Q P
|QP|
?
?
2
(?2)?(?4)?(?3)?(?2)?2? (?2)
(?4)
2
?(?2)
2
?(?2)
2
1 0
24
?
56
6


QM在QP
上的射影 的模
?
?
56
?
?
?17?
25
?
462
故M到PQ的距离为
|QM|
2
?
?
?
6
?
66
??
(2)设
n?(x,y,z)
是平面
AB
1
P
的某一法向量,则
n?AB
1
,n?AP

?
?4x?4z?0

AB
1
?(?4,0,4),A P?(?4,4,0)

?

?4x?4y?0
?
因此可取
n?(1,1,1)
,由于
MA?(2,?3,?4)
,那么点M到平面AB
1
P
的距离为
d?
|MA?n|
|2?1?(? 3)?1?(?4)?1|
53
53
??
,故M到平面
AB
1
P
的距离为。
|n|3
3
3
【总结升华】法向量在距离 方面除应用于点到平面的距离、多面体的体积外,还能处理异面直线间的距离,
线面间的距离,以及平行 平面间的距离等.
举一反三:
【变式1】(2015春 广安校级月考)已知直线l的方 向向量
a?(?1,0,1)
,点A(1,2,―1)在l上,则
点P(2,―1,2 )到l的距离为( )
A.
15
B.4 C.
17
D.
32

【答案】 C
【解析】 连接AP,做P垂直直线l交于B,则
|AB|=
|AP?a|2
??< br>|a|
2
,所以
2
|PB|?|AP|
2
?|AB|
2
?19?2?17
.
【变式2】 在棱长为
1
的正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中 ,
E

F
分别是
A
1
B
1
CD
的中点,求点
B
到截面
AEC
1
F
的距离 .
【答案】以
D
为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.

A(1,0,0),F(0,,0),E(1,,1)

11
?AE?(0,,1)

AF?(?1,,0)

22
z
1
2
1
2
D
1
A
1
D
A
E
C
1
B
1
F

C
y
设面
AEC
1
F
的法 向量为
n?(1,
?
,
?
)

则有:
n?AE?0,n?AF?0

x

B
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?
1
?
?
?
?0
?
?
?
?2
?< br>2

?
?
?
?
1
?
??1
?
?1?
?
?0
?
?
?2
?n?(1,2,?1 )
,又
AB?(0,1,0)
,所以点
B
到截面
AEC1
F
的距离为
AB?n
AB?n
=
2
1?6< br>?
6

3


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