高中数学必修二立体几何知识网络结构图-2018年江西教师招聘高中数学真题
标准实用
高中文科数学平面向量知识点整理
1、概念
向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度． 单位向量：长度等于
1
个单位的向量．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．
相等向量：长度相等且方向相同的向量．
相反向量：
a
=-
b?
b
=-
a
?
a+b
=
0
向量表示
：几何表示法
AB
；字母
a
表示；坐标表示：
a
＝
ｘｉ
＋
ｙj
＝（
ｘ
，
ｙ
）.
向量的模：设
OA?a
，则有向线段
OA
的长度叫做向量
a
的长度或模，
记作：
|a|
.
（
|a|?x?y,a?|a|
2
?x
2
?y
2
。）
零向量：长度为
0
的向量。
a
＝O
?
｜
a
｜＝O.
【例题】1.下列命题：（1）若
a?b
，
则
a?b
。（2）两个向量相等的充要条
件是它们的起点相同，终点相同。（3）若<
br>AB?DC
，则
ABCD
是平行四边形。（4）
,c
，若ABCD
是平行四边形，则
AB?DC
。（5）若
a?bb,c?
，则
a?c
。（6）若
abb
则
ac
。其中正确的是__
_____
（答：（4）（5））
2.已知
a,b
均为单位向量，它们的
夹角为
60
，那么
|a?3b|
＝_____
（答：
13
）；
22
2
2、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点．
C
a
?
b
?
⑶三角形不等式：
a?b?a?b?a?b
．
a?b??C?????C
⑷运算性质：①交换律：
a?b?b?a<
br>；②结合律：
a?b?c?a?b?c
；
③
a?0?0?a?a
．
⑸坐标运算：设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
文案大全
????
标准实用
3、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
⑵坐标运算：设
a?<
br>?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
设
?
、
?
两点的坐标分别为
?
x
1
,y1
?
，
?
x
2
,y
2
?
，则
???
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
【例题】
（1）①
AB?BC?CD
?
___；②
AB?AD?DC?
____；
③
(AB?CD)?(AC?BD)?
_____
（答：①
AD
；②
CB
；③
0
）；
（
2）若正方形
ABCD
的边长为1，
AB?a,BC?b,AC?c
，则|a?b?c|
＝_____
（答：
22
）；
（
3）已知作用在点
A(1,1)
的三个力
F
1
?(3,4),F2
?(2,?5),F
3
?(3,1)
，则合力
F?F
1
?F
2
?F
3
的终点坐标是
（答：（9,1））
4、向量数乘运算：
⑴实数
?
与
向量
a
的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作
?
a
．
①
?
a?
?
a
；
②当
?
?0<
br>时，
?
a
的方向与
a
的方向相同；
当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向相反；当
?
?0
时，
?
a?0
．
⑵运算律：①
?
?
?
a
?
?
?
??
?
a
；②<
br>?
?
?
?
?
a?
?
a?
?
a
；③
?
a?b?
?
a?
?
b
．
⑶坐标运算：设
a?
?
x,y
?
，则
?
a??
?
x,y
?
?
?
?
x,
?
y
?
．
1
???
【例题】（1）若M（-3，-2），
N（6，-1），且
MP??MN
，则点P的坐标为_______
3
7
（答：
(?6,?)
）；
3
???
??
5、向量共线定理：向量
aa?0
与
b
共线，当且仅当有唯一一
个实数
?
，使
??
b?
?
a
．设
a??
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，（
b?0
）
?(a?b)<
br>2
?(|a||b|)
2
。
【例题】 (1)若向量
a?(x,1),b?(4,x)
，当
x
＝_____时
a
与
b
共线且方向相同
（答：2）；
（2）已知
a?(1,1),
b?(4,x)
，
u?a?2b
，
v?2a?b
，且
uv<
br>，则
x＝______
（答：4）；
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6、向量垂直：
a?b?a?b?0?|a?b|?|a?
b|
?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
.
【例题】(1)已知
OA?(?1,2),OB?(3,m)
，若
OA?OB
，则
m?
3
）；
2
（2）以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，
?B?9
0?
，
则点B的坐标是________
（答：(1,3)或（3，－1））；
（3）已知
n?(a,b),
向量
n?m
，且
n?m<
br>，则
m
的坐标是________
（答：
（答：
(b,?a)或(?b,a)
）
7、平面向量的数量积：
⑴
a?b?abcos
?
a?0,b?0
,0?
?
?180
．零向量与任一向量的数量积为
0
．
⑵
性质：设
a
和
b
都是非零向量，则①
a?b?a?b?0
．
②当
a
与
b
同向时，
a?b?ab
；当
a
与
b
反向时，
a?b??ab
；
a?a?a
2
?a
或
a?a?a
．③
a?b?ab
．
2
??
⑶运算律：①
a?b?b?a
；②
?
?
a
?
?b
?
?
a?b?a?
?
b
；③
a?b?c?a?c?b?c<
br>．
⑷坐标运算：设两个非零向量
a?
?
x
1
,y<
br>1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
．
若
a?
?
x,y
?
，则
a?x<
br>2
?y
2
，或
a?x
2
?y
2
．
设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a
⊥
b
?
a
·
b
＝0
?
x
1
x
2
＋
y
1
y
2
＝0.
则
a
∥
b
?
a
＝
λb
(
b≠0<
br>)
?
x
1
y
2
＝
x
2
y
1
.
2
????
??
设
a
、
b
都是非零向量，
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，
?
是
a
与
b
的夹角，则<
br>cos
?
?
a?b
ab
?
x
1
x<
br>2
?y
1
y
2
x?y
2
1
2
1
x?y
???
2
2
2
2
；（注
|a?
b|?|a||b|
）
【例题】
（1）△ABC中，
|AB|?3
，
|AC|?4
，
|BC|?5
，则
AB?BC?
___
______
（答：－9）；
?
11
（2）已知
a?(1,),
b?(0,?),c?a?kb,d?a?b
，
c
与
d
的夹角为，则
k
等
22
??????
4
于____
（答：1）；
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（3）已知
a?2,b?5,ab??3
，则
a?b
等于____
（答：
23
）；
（4）已知
a,b
是两个非零向量，且
a
?b?a?b
，则
a与a?b
的夹角为____
（答：
30
）
（5）已知
a?(
?
,2
?
)
，
b?(3
?
,2)
，如果
a
与b
的夹角为锐角，则
?
的取值
41
范围是______
（答：
?
??
或
?
?0
且
?
?
）
；
3
3
（6）已知向量
a
＝（sinx，cosx）,
b
＝（sinx，sinx）,
c
＝（－1，0）。
?
（
1）若x＝，求向量
a
、
c
的夹角；
（答：150°）；
3
8、
b
在
a
上的投影：即
|b|cos
?
，它是一个实数，但不一定大于0。
【例题】已知
|a|?3
，
|b|?5
，且
a?b?12
，则向量
a
在向量
b
上的投影为
12
______
（答：)
5
??
??
??
??
??
平面向量高考经典试题
一、选择题
1．已知向量
a
?(?5,6)
，
b?(6,5)
，则
a
与
b
A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向
2、已知向量
a?(1，n)，b?(?1，n)
，若
2a?b<
br>与
b
垂直，则
a?
（ ）
A．
1
3、若向量
a,b
满足
|a|?|b|
?1
，
a,b
的夹角为60°，则
a?a?a?b
=______；
B．
2
C．
2
D．4
CD
?
4、在
△ABC
中，已知
D
是
AB
边上一点，若
AD?2DB，
A．
文案大全
1
CA?
?
CB
，则
?
?
（ ）
3
2
3
B．
1
3
C．
?
1
3
D．
?
2
3
标准实用
5、若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 （ ）
A．
EF?OF?OE
B.
EF?OF?OE
C.
EF??OF?OE
D.
EF??OF?OE
，，b?(1，?1)
，则向量6、已知平面向
量
a?(11)
?1)
Ａ．
(?2，
，0)
Ｃ．
(?1
二、填空题
13
a?b?
（ ）
22
，
Ｂ．
(?21)
，2)
Ｄ．
(?1
4?b=
?11，?
．若向量
b?(a+
?
b)
，则实数
?
的值是 1、已知向量
a=?2，，
2、若向量
a，b
的夹角为
60
，
a?b?1
，则
aa?b?
．
?
．
??
0)
，
B(11)，
，则3、在平面
直角坐标系中，正方形
OABC
的对角线
OB
的两端点分别为
O(0
，
ABAC?
三、解答题：
．
1、已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(
c
，0)．
(1)若
ABAC?0
，求
c
的值；
(2)若
c?5
，求sin∠A的值
2、在
△ABC
中，角
A，B，C
的对边分别为
a，b，c，tanC?37
．
（1）求
cosC
；
（2）若
CBCA?
，c
分别是三个内角
A，B，C
的对边．若
a?2,3、在
△ABC
中，
a，b
5
，且
a?b?9
，求
c
．
2
C?
π
，
4
文案大全
标准实用
cos
B25
，求
△ABC
的面积
S
．
?
25
4、设锐角三角形
ABC
的内角
A，B，C
的对边分别为
a
，b，c
，
a?2bsinA
．
（Ⅰ）求
B
的大小；
（Ⅱ）若
a?33
，
c?5
，求
b
．
5、在
△ABC
中，
tanA?
（Ⅰ）求角<
br>C
的大小；
（Ⅱ）若
△ABC
最大边的边长为
17
，求最小边的边长．
13
，
tanB?
．
45
答案
选择题
1、A. 已知向量
a?(?5,6
)
，
b?(6,5)
，
a?b??30?30?0
，则
a<
br>与
b
垂直。
2、C
2a?b=(3,n)
，由
2a?b
与
b
垂直可得：
(3,n)?(?1,n)??3?n
2
?0?n??3
，
a?2
。
313
3、
解析：
a?a?a?b?1?1?1??
，
222
4、A 在?ABC
中，已知D是AB边上一点，若
AD
=2
DB
，
CD
=CA??CB
，则
1
3
CD?CA?AD?CA?
22
AB?CA?(CB?CA)
33
12
CA?CB
33
=
2
。
3
5、B 由向量的减法知
EF?OF?OE
6、
D
文案大全
13
a?b?
(?1，2).
22
标准实用
填空题
1、解析：已知向量
a=?
2，，4?b=?11，?
．量
a?
?
b?(2?
?
,4?
?
)
，
b?(a+
?
b)
，则2+
λ+4
+λ=0，实数
?
=
－
3．
2、
2
1
2
11
【解析】
a
?
a?b
?
?a?a?
b?a?a?bcos60??1??
。
22
2
3、解析：
ABA
C?(0,1)?(?1,1)?0?(?1)?1?1?1.
解答题
1、解: (1)
AB?(?3,?4)
AC?(c?3,?4)
由
ABAC??3(c?3)?16?25?3c?0
得
c?
(2)
AB?(?3,?4)
AC?(2,?4)
cos?A?
2、解：（1）
又
25
3
ABAC
ABAC
?
?6?16125
2
sin?A?1?cos?A?
?
5
5205
tanC?37，?
sinC
?37
cosC
1
sin
2
C?cos
2
C?1
解得
cosC??
．
8
1
tanC?0
，
?C
是锐角．
?cosC?
．
8
55
（2）
CBCA?
，
?abcosC?
，
?ab?20
．
22
又
a?b?9
?a
2
?2ab?b
2
?81
．
?a
2
?b
2
?41
．
?c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC?36
．
?c?6
．
4
3
3、解：
由题意，得
cosB?，B
为锐角，
sinB?
，
5
5
sinA?sin(π?B?C)?sin
?
由正弦定理得
c?
?
3π
?
72
，
?B
?
?
?
4
?
10
10
111048
，
?
S?acsinB??2???
．
22757
7
文案大全
标准实用
4、解：（Ⅰ）
由
a?2bsinA
，根据正弦定理得
sinA?2sinBsinA
，所以
sinB?
由
△ABC
为锐角三角形得
B?
1
，
2
π
．
6
222
（Ⅱ）根据余弦定理，得
b?a
?c?2accosB
?27?25?45
?7
．
所以，
b?
7
．
5、本小题主要考查两角和差公式，用
同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理
和运算能力，满分12分．
13
?
解：（Ⅰ）
C?π?(A?B)
，
?tanC??tan(A?B)??<
br>45
??1
．
13
1??
45
3
又
0?C?π
，
?C?
π
．
4
3
（Ⅱ）
C??
，
?AB
边最大，即
AB?17
．
4又
?
?
?
tanA?tanB，A，B?
?
0，
?
，
?
角
A
最小，
BC
边为最小边．
?
?
?
sinA1
?
?，
?
tanA?
?
π
?
由
?
cosA4
且
A?
?
0
，
?
，
?
2
?
?
sin
2
A?
cos
2
A?1，
?
得
sinA?
ABBCsinA
17
??2
． ．由得：
BC?AB
sinCsinAsinC
1
7
所以，最小边
BC?2
．
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