高中数学核心素养在知识点的提升：5.基本不等式的应用

基本不等式的应用

一、忽视基本不等式探求最值成立条件“正”而致错 < br>例1已知
y?a
x
?
a?0,a?1
?
是增函数，且
a
2
?a?6
?
a?Z
?
，求函数
f?
x
?
?x?
域．
错解易得
a?2
，
f
?
x
?
?x?
f
?
x
?
?x ?
2
，
x
a
的值
x
2
2
?22
，当且仅当
x?
，即
x?2
时等号成立．
x
x
a
的值域是
?
?
22,??
． x
所以函数
f
?
x
?
?x?
?
剖析本 题忽视了自变量
x
的范围，想当然地误认为
x?
?
0,??
?
，也忽视了应用基本不等
式求最值的前提条件．
实际上，当
x?0
时，
?x?0
，此时
?
?x
?
?
2
?2 2
，
?
?x
?
所以
f
?
x
?< br>?x?
?
22
?
2
??
?
?
?x< br>?
?
当且仅当
?x?
，即
x??2
时等号成立． < br>?
??22
，
x?x
?x
??
??
???
故正确答案为
??,?22
?
?
?
?
22, ??
．
??
变式1实数
a,b
满足
ab?1
，则
a?b
的取值范围是．
答案
?
??,?2
?
?< br>?
2,??
?
．
二、忽视基本不等式探求最值成立条件“定”而致错
例2已知
f
?
x
?
?x?
错解当
x?2< br>时，
f
?
x
?
?x?
3
?
x?2< br>?
，求
f
?
x
?
的最小值．
x?2
3
?0
，则
x?2
3
33
，当且 仅当
x?
，即
x?3
时等号成立，此时
f
?
x?
?6
．
?2x?
x?2x?2
x?2
所以
f
?
x
?
的最小值是6．
剖析应用基本不等式求最值时必须满足“ 和为定值”或“积为定值”，本题解法中，
f
?
x
?
?x?
3
33
的右边不是定值，这样由
x?
得到的
x
对应的值一般 不是
?2x?
x?2x?2
x?2
最小值．
实际上，
f< br>?
x
?
?x?
33
?
?
x?2
?< br>??2?23?2
，
x?2x?2

当且仅当
x?2?
3
，即
x?2?3
时等号成立．
x?2
所以
f< br>?
x
?
的最小值是
23?2
．
变式2实数
a?3
，则代数式
答案
?1
．
例3设
0?x?
3
，则
f
?
x
?
?4x
?
3?2x
?
的最大值是．
2
3
，则
4x?0,3?2x?0
，
2
4
?a
的最大值是．
a?3
错解由于
0?x?
所以
4x?
?
3?2x
?
2
?4x
?3?2x
?
，
2
2
?
4x?
?
3? 2x
?
?
?
2x?3
?
1
因此
f
?
x
?
?4x
?
3?2x
?
?
??
?
??
，当且仅当
4x?3?2x
，即
x?
时
2
2
??
?
2
?
?
2x?3
?
等号 成立，此时
f
?
x
?
?4x
?
3?2x
?
?
??
?4
．
?
2
?
2
所以< br>f
?
x
?
?4x
?
3?2x
?
的最 大值是4．
?
2x?3
?
剖析本题解法中，
f
?
x
?
?4x
?
3?2x
?
?
??
的右边不 是定值，这样由
4x?3?2x
得
?
2
?
2
到的< br>x
对应的值一般不是最大值．
?
2x?
?
3?2x
?
?
9
实际上，
f
?
x
?
?4x
?
3?2x
?
?2?2x
?
3?2x
?
?2???
?
，
2
??
2
当且仅当
2x?3?2x
，即
x?
3
时等号成立
4
9
．
22
所以
f
?
x
?
?4x
?
3?2x< br>?
的最大值是
2
y
2
变式3设
x?0,y?0,x? ?1
，则
x1?y
2
的最大值是．
2
答案
32
．
4
三、忽视基本不等式探求最值成立条件“等”而致错
例4求函数
f
?
x
?
?
x
2
?a?1
x?a
2
?
x?0
?
的最小值．
1
x?a
2
错解
f
?
x
?
?
x
2
?a?1
x?a
2
?x
2
?a??2
，

当且仅当
x
2
?1?a
时，等号成立．
所以
f
?
x
?
的最小值是2．
剖析应用基本不等 式求最值时，
f
?
x
?
?2
的内涵是
f
?
x
?
?2
或者
f
?
x
?
?2，
但是，2是不是最小值取决于
f
?
x
?
?2
是否成立，如果只有
f
?
x
?
?2
，
f
?
x
?
?2
是正确的，
那么2就不是最小值．
实际上，（1 ）当
a?1
时，当且仅当
x?1?a
时，等号成立，所以
f
min
?2
．
（2）当
a?1
时，令
t?x
2< br>?a?a?1
，则：
1
a，??
单调递增．
?t?
在
t?
?
?
2
t
x?a
1
f
?
x
?
?
x
2
?a?1
x
2
?a< br>?x
2
?a?
?
∴当
t?a
，即
x?0时，
f
min
?a?
1a?1
．
?
aa故函数
f
?
x
?
?
x?a?1
x?a
2
2
?
x?0
?
的最小值为
f
min
?< br>2　　
?
a?1
?
?
?
?
a?1
．
　　a?1
??
?
a
?
变式4函数
f
?< br>x
?
?
x
2
?5
x?4
2
?
x?0
?
的最小值是．
答案
5
．
2
四、忽视基本不等式探求最值成立条件“正-定-等”的顺序而致错
8
例 5当
x?0
时，求函数
f
?
x
?
?x
2< br>?
的最小值．
x
8
错解因为
x?0
，
x< br>2
?0,?0
，则
x
f
?
x
?
? x
2
?
8
?28x?42x
，
x
当且仅当
x
2
?
8
，即
x?2
时，等号成立，此时
f?
x
?
?8

x
8
?
x?0
?
的最小值为
8
．
x
故函数
f
?
x
?
?x
2
?
剖 析应用基本不等式求最值时，必须遵循“一正二定三相等”的顺序解决问题．此类
8
44
问题首先将“平均拆分”为
?
，“凑”出和或积的定值，然后再考查等号，而不是“正
x
xx

-等-定”．
实际上，当
x?0
时，f
?
x
?
?x
2
?
当且仅当
x
2
?
844
?x
2
???3
3
16?6
3
2
，
xxx
44
?
，即
x?
3
4
时，等号成立，
xx
8
?
x?0
?
的最小值 为
6
3
2
．
x
故函数
f
?
x< br>?
?x
2
?
变式5函数
f
?
x
?< br>?4x?
答案
3
3
36
．
9
x?0
?
的最小值．
2
?
x
五、忽视基本不等式探求最值成立条件“一致”而致错
例6 (2014重庆文)若
log
4
?
3a?4b
?
?log< br>2
ab
，则
a?b
的最小值是( )
A．
6?23
B．
7?23

C．
6?43
D．
7?43

错解因为
log
4
?
3a?4b
?
?log
2
ab
，则< br>a?0,b?0
，
3a?4b?ab
，
所以
ab?3a?4b?212ab
，即
ab?43
，
又
a?b?2ab
，所以
a?b?2ab?83

因此
a?b
的最小值为
83
．
剖析多次应用基本不等式求 最值时，要注意等号是否同时成立，即等号成立的条件是否
一致．本题中
ab?43
时
3a?4b
，而
a?b?2ab
须满足
a?b
，显然
a?b?0
与已知信
息矛盾．
34
实际上，
3a?4b?ab
，即
??1
，
b a
3a4b
3a4b
?
34
?
?7?212?7?4
，
3
当且仅当所以
a?b?
?
a?b
?
?
?
?
?7??
，即
?
ba
ba
?
ba< br>?
a?4?23b,?3?2
时等号成立．
3

?
3 4
?
或
a?b?
?
a?b
?
?
?
?
?
?
ba
?
2
?
a?b
22
?
2
?
4
2
3
?
??

?
?
ab
?
??
?
43
?
?
?
a? b
?
??
?2?3
ab
??
??
2
?7? 43
，
a
2
b
2
ab
当且仅当
?
，即
?
，亦即
a?4?23,b?3?23
时等号成立．
43< br>43
ab

故
a?b
的最小值为
7?43
．正确答案为D．
变式6 （2015福建）若直线
答案
3?22
．
例7已知
x?0,y?0
，且
x?y?1
，
a,b
为正常数，求
错解因为
x?0,y?0
，
a,b
为正常数，
abab
所以
x?y?2xy,??2
，
xyxy
ab
?
的最小值．
xy
xy

??1
?
a?0,b?0
?
过点
?
1,2
?
，则
a?b
的最小值等于．
ab
所以
?
ab
?< br>abab
??
?
x?y
?
?
?
?
? 2xy?2?4ab
，
xyxy
?
xy
?
ab
?
的最小值为
4ab
．
xy
因此
剖析多次应用基本不等式求 最值时，要注意等号是否同时成立，即等号成立的条件是
否一致．本题中
x?y?2xy
时
x?y
，而
ab
?
不可能同时成立．
xy
a b
abab
??2
须满足
?
，显然
a?b
时，x?y
xy
xyxy
与
实际上，
a
a?b
?< br>ab
?
aybx
abaybx
?
??
?
x? y
?
?
?
?
?a?b???a?b?2ab
，当且仅当，< br>xy
xyxyxy
??
即
x?,y?
b
a?b
时等号成立．
?
ab
?
ab
或
??
?
x?y
?
?
?
?
?
xy
?
xy
?
2
?
x?y
22
?
2
?
a
2b
?
??

?
?
xy
?
??
?
ab
?
?
?
x?y?a?b?2ab
，
???
xy
??
a
x
?
当且仅当
x
b< br>y
y
，即
abab
?,y?
，亦即
x?
时等 号成立．
xy
a?ba?b
故
ab
?
的最小值为
a?b?2ab
．
xy
14
?
1
?
变式7已知两 点
A
?
1,0
?
,B
?
0,
?
， 且点
P
?
m,n
?
在线段
AB
上（不与端点重合） ，则
?
mn
?
2
?
的最小值是（）
A．8 B．9 C．
82
D．16

答案 B． 例8已知正数
a,b
满足
a?b?1?ab
，则
3a?2b的最小值是．
错解因为
a,b
是正数，所以
ab?a?b?1?2ab ?1
，即
ab?2ab?1?0
，
解之得
ab?2?1
，
又
3a?2b?26ab?26
2
?
2?1?43?26
．
?
故
3a?2b
的最小值为
43?26
．
剖析本 题中两次应用基本不等式，但等号成立的条件不具备，是策略性错误，等号成
立的条件分别是
a ?b
和
3a?2b
，当且仅当
a?b?0
才能同时满足条件，这与已 知信息矛盾，
是不可能的．
实际上，由
a?b?1?ab
，得
b?
a?12
，因为
a,b
是正数，所以
a?1
，
? 1?
a?1a?1
2
?
4
?
3a?2b?3a?2
?
1??3a?1??5?43?5
，
??
?
a?1
?< br>a?1
?
当且仅当
3
?
a?1
?
?
23
4
,b?1?3
时等号成立． ，即
a?1?
3
a?1
故
3a?2b
的最小值为
43?5
．
变式8已知
x?0,y?0,x?2y?2xy?8
，则
x?2y
的最小值是．
答案 4．
六、忽视基本不等式探求最值“放缩”而致错
例9已知正数
a,b
满 足
1214
??2
，则
2
?
2
的最小值是．
abab
错解因为
a,b
是正数，所以
2?
121222
11
??2??
，即
ab?2
，亦即
ab?2
，所 以
?

abab
ab2
ab
又
14144
144
?
2
?2
2
?
2
?
，所以
2
?
2
??2
，
2
ababab
abab
当且仅当
故
12
?
，即
a?1,b?2
时等号成立．
ab
14
的最小值为2．
?
a
2
b
2< br>14111
与
??4??
不是同向不等式，不
a
2
b
2
abab2
剖析本题中两次应用基本不等式，但，
能传递放缩，是策略性错 误．
实际上，
2?
1222
114
12
,b?2
??
，可得所以
???2
，当且仅当
?
，即
a?1
?
，
ab
ab2ab
ab
ab

时等号成立．
14
?
12
?
44
?4??4?2?2
，当且仅当
a?1,b?2
时等号成立． 因此
2
?
2
?
?< br>?
?
?
ab
?
ab
?
abab
2< br>故
14
的最小值为2．
?
22
ab
变式9 已知 正数
a,b
满足
a
2
?9b
2
?4
，则< br>a?3b
的最大值是．
答案
22
．
七、忽视基本不等式引申式的活用而致错
1
??
1
??
例 10已知正数
a,b
满足
a?b?1
，则
T?
?
a ?
?
?
?
b?
?
的最小值是．
b
??< br>a
??
22
1
?
4b
1
?
4a1a
??
错解因为
a??2
，可得
?
a?
?< br>?
，同理
?
b?
?
?
，
bb
a< br>?
a
b
?
b
?
?
1
??
1
?
4a4b4a4b
?
所以
T?
?
a?
?
?
?
b?
?
???2??8
．
b
??< br>a
?
baba
?
22
22
故
T
的最 小值是
8
．
剖析基本不等式加以引申，可得到如下结论：
a
2< br>?b
2
a?b1
当
a?b?0
时，
a???ab?? b
，当且仅当
a?b
时等号成立．
11
22
?
a b
该结论中从左至右依次称为平方平均数、算术平均数、几何平均数、调和平均数，分
1122
a?b
ab
a?b
别包含了两个正数的平方之和、两者之和，两者之 积、两者的倒数之和
．．．．．．．．．．
a
?
b
，
只要已 知这四个代数式之一为定值，总可以求解另外三式的最值，应用十分广泛，应加以重
视．
1< br>??
1
?
1
???
1
?
ab
?实际上，
T?
?
a?
?
?
?
b?
?< br>?
?
a
2
?b
2
?
?
?
2
?
2
?
?2
?
?
?
，
b
??
a
?
b
???
a
?
ba
?
22
a
2
?b
2
a?b1
1
??
，即a
2
?b
2
?
，当且仅当
a?b
时等号成立． 因为
a?b?1
，所以
222
2
又
1a?b2
1 1
??
，可得
??4
，当且仅当
a?b
时等号成立． 11
22
ab
?
ab
1111
??
22
abab
，当且仅当
a?b
时等号成立． 且
?
22
11 11
??
22
abab
?2
，即
1
?
1< br>?8
，当且仅当
a?b
时等号成立． 所以
?
22
a
2
b
2

又
ab
??2
，当且仅当< br>a?b
时等号成立；
ba
故
T
的最小值是
25
．
2
变式10 （1）（2015重庆）设
a,b>0,a+b=5
,则
a+1+b+3
的最 大值为．
（2）函数
f
?
x
?
?2x?1?5?2x的最大值是．
答案（1）
32
．
a?1?b?1?2


?
a?1+
2
??
2
b+3
?
2
（2）
22
．
?32
．