新高考高中数学核心知识点全透视专题10.1 圆的方程(精讲精析篇)

③若
D?E?4F?0
，则方程不表示任何图形．
4.点
A(x
0
，y
0
)
与⊙C的位置关系 222
(1)|AC|(x
0
－a)＋(y
0
－b)?r
；
222
(2)|AC|＝r?点A在圆上?
(x< br>0
－a)＋(y
0
－b)?r
；
222
(3)|A C|>r?点A在圆外?
(x
0
－a)＋(y
0
－b)?r
.
22
【典例1】（2018·天津高考真题（文））在平面直角坐标系中，经过三点（0， 0），（1，1），（2，0）的圆的
方程为__________．
【答案】
x?y?2x?0

【解析】
设圆的方程为
x? y?Dx?Ey?F?0
，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则：
2222
F?0
??
D??2
??
22
1?1?D?E?F ?0
，解得：
??
E?0
，则圆的方程为
x?y?2x?0
.
?
4?0?2D?F?0
?
F?0
??
【典例
2
】（2013·江西高考真题（文））若圆
C
经过坐标原点和点(4,0)，且与直 线
y
＝1相切，则圆
C
的方
程是_________.
【答案】(
x
－2)＋(
y
＋)＝
【解析】
设 圆的圆心坐标，半径为，因为圆经过坐标原点和点，且与直线相切，所以
22
，解得，所求圆的 方程为，故答案为
.
【典例3】（2019·云南高三月考（文））古希腊数学家阿波罗尼奧 斯（约公元前262～公元前190年）的著
作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这 样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数
k
（
k
＞0，
k
≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设
A
（﹣3 ，0），
B
（3，0），动点
M
满足
｜MA｜
＝2，则动点
M
的轨迹方程为（ ）
｜MB｜

9

A．（
x
﹣5）
2
+
y
2
＝16
C．（
x
+5）+
y
＝16
【答案】A
【解析】
设
M
?
x,y
?
，由
22B．
x
2
+（
y
﹣5）
2
＝9
D．
x
+（
y
+5）＝9
22
MA
MB
x?3
?
?y
2
?
?2
，得
2
?
x?3
?
?y
2
2
?4
，
可得：（x
+3）
2
+
y
2
＝4（
x
﹣3）< br>2
+4
y
2
，
即
x
2
﹣10
x
+
y
2
+9＝0
整理得
?
x?5
?
?y
2
?16
，故动点
M
的轨迹方程为
?
x?5
?
?y
2
?16
.选
A
.
【总结提升】
1.求圆的方程，主要有两种方法： < br>(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的 直
线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
(2)待定系 数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心
和半径有 关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三
个独立等 式．
2.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标
?
x,y
?
，根据题意列出关于
x,y
的等式即可；②定
义法，根据题意动点符合已知 曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把
x,y
分别用第三个变量表示，消
去参数即 可；④逆代法，将
{
22
x
0
?g
?
x
?
y
0
?h
?
x
?
代入
f
?
x
0
,y
0
?
?0
.本题就是利用方法④求
M< br>的轨迹方程的.
热门考点02 圆的方程综合应用
1. 圆的标准方程为：
(x?a)?(y?b)?r

22
2．圆的一般方程．：
x?y?Dx?Ey?F?0
（
D?E?4F?0
）.
22
222
3.点
P
0
(x
0
,y
0
)到直线
l:Ax?By?C?0
的距离：
d?
Ax
0
? By
0
?C
A?B
22
.
【典例4】（2016高考天津 文）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点
M(0,5)
在圆C上，且圆心到直线
2x ?y?0
的距离为
45
，则圆C的方程为__________.
5

10

【答案】
(x?2)
2
?y
2
?9.

【解析】设
C(a,0),(a?0)
，则
|2a|45
??a?2,r?2
2
?5?3
，故圆C的方程为(x?2)
2
?y
2
?9.

5
5
【 典例
5
】（2019·天津南开中学高考模拟）已知直线
ax?by?6?0
?
a?0,b?0
?
被圆
x
2
?y
2
?2 x?4y?0
截得的弦长为
25
，则
ab
的最大值为_______ _.
【答案】
9

2
【解析】
圆
x?y?2x?4y?0
可化为
(x?1)?(y?2)?5
,
则圆心为
?
1,2
?
,半径为
r?
2222
5
,
又因为直线
ax+by?6=0
?
a?0,b?0
?

被圆
x?y?2x?4y?0
截得的弦长为
25?2r
,
所以直线
ax+by?6=0
?
a?0,b?0
?
过圆心,即
a?2b?6?0
,
化为
a?2b?6,a?0,b?0
,
22
?6?a?2b?22ab
,当且仅当
a?2b
时取等号,
9
99
?ab?,?ab
的最大值为,故答案为.
2
22
【典例6】设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1；③圆心到 直线
l:x?2y?0
的距离为
2
5
，求该圆的方程．
5
222
【答案】
(x?1)?(y?1)?2
或
(x?1)?(y? 1)?2

22
【解析】设圆心为
(a,b)
，半径为r，由条件① ：
r?a?1
.
2222
由条件②：
r?2b
，从而有：
2b?a?1
．
由条件③：
|a?2b|5
??|a?2b|?1
.
5
5
?
2b
2
?a
2
?1
?
a?1
?
a??1
22
解方程组
?
可得：
?
或
?< br>，所以
r?2b?2
．
?
b?1
?
b??1
?
|a?2b|?1

11

故所求圆的方程是
(x?1)?(y?1)?2
或(x?1)?(y?1)?2
．
【总结提升】

注意应用圆的几何性质：
② 心在过切点且与切线垂直的直线上；
②圆心在任一弦的垂直平分线上．
2222
热门考点03 直线与圆相切
1.
直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点；
2.圆的切线方程的两种求法
(1)代数法：设切线方程为
y
－
y
0
＝
k
(
x
－
x
0
)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次 方程，然后
令判别式
Δ
＝0进而求得
k
.
(2)几何法： 设切线方程为
y
－
y
0
＝
k
(
x
－
x
0
)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离
d
，然 后令
d
＝
r
，进而求出
k
.
【典例
7< br>】（2019·浙江高考真题）已知圆
C
的圆心坐标是
(0,m)
，半 径长是
r
.若直线
2x?y?3?0
与圆
相切于点
A(?2 ,?1)
，则
m?
_____，
r?
______.
【答案】
m??2

r?
【解析】
可知
k
AC
??
5

11
?AC :y?1??(x?2)
，把
(0,m)
代入得
m??2
，此时r?|AC|?4?1?5
.
22
中，以点为圆心且与直线【典例8】（201 5·江苏高考真题）在平面直角坐标系
相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为
【答案】
【解析】
由题意得：半径等于
最大为，所求圆为
，当且仅当时取等号，所以半径

【总结提升】

判断直线与圆的位置关系常见的方法
(1)几何法：几何法：圆心到直线的距离等于半径，即
d?r
；
(2) 代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．
??0
，方程组有一组不同的解.
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．

12

提醒：上述方法中最常用的是几何法．
热门考点04 直线与圆相交及弦长
1.直线与圆相交：直线与圆有两个公共点；
2.几何法：圆心到直线的距离小于半径，即
d?r
；
3.代数法：
??0
，方程组有两组不同的解.
B
两点，则【典例
9
】（2018·全国高考真题（文））直线
y?x?1
与圆
x2
?y
2
?2y?3?0
交于
A，
AB?
__ ______．
【答案】
22

【解析】
根据题意，圆的方程可化为
x?(y?1)?4
，
所以圆的圆心为
(0,?1)
，且半径是
2
，
根据点到直 线的距离公式可以求得
d?
22
0?1?1
1?(?1)
22
?2
，
结合圆中的特殊三角形，可知
AB?24?2?22
，故答案为< br>22
.
【典例10】（2016·全国高考真题（理））已知直线：
点，过， 分别作的垂线与轴交于，两点，若
【答案】4
【解析】
因为，且圆的半径为，所以 圆心到直线的距离为
，则
与圆
__________．
交于，两
， 则由，解得，代入直线的方程，得，所以直线的倾
斜角为，由平面几何知识知在梯形中，．
故答案为4
【典例11】（2019·江苏高三）已知圆O：
x
2
＋
y
2
＝4和圆O外一点P(
x
0
，
y
0
)，过点P作圆O的两条切线，
切点分别为A，B，且∠AOB＝120°．若点C(8，0) 和点P满足PO＝
?
PC，则
?
的范围是_______．

13

【答案】
?
,1
?
.
【解析】
?
1
?
?
3
?
Q
?A OB?120
，
OA?OB?2

?PO?
o
AO
22
x?y?16

?4
，即
00
o
cos60
又
PC?
?
x
0< br>?8
?
?
2
2
2
2
?
2
?
?
?
x?8?y
0
?16
且
?
?0

??
且
PO?
?
PC
?y
0
??
2
0
解得：
x
0
?
5
?
2< br>?1
?5?
1
?
2

22
Qx
0
?y
0
?16

??4?x
0
?4

??4?5?
?
1
?
?
?,1
?

?4
，解得：
?
3
?
2
??
1
本题正确 结果：
?
,1
?

【总结提升】
1.弦长的两种求法 < br>(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式
Δ＞0的前提下，
利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．
(2)几何方法：若弦心距 为
d
，圆的半径长为
r
，则弦长
l
＝2
r
－
d
.
2.已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时，可根据数形结合思想利用 直线与圆的位置关系的判断条
件建立不等式进行解决．
22
?
1
?
?
3
?
热门考点
05
圆与圆的位置关系

设两圆的圆心分别为
C
1
、
C
2
，圆心距为
d?C
1
C
2
，半径分别为
R
、
r
(
R?r
).
(1)两圆相离：无公共点；
d?R?r
，方程组无解.
(2)两圆外切：有一个公共点；
d?R?r
，方程组有一组不同的解.
(3)两圆相交：有两个公共点；
R?r?d?R?r
，方程组有两组不同的解.
(4)两圆内切：有一公共点；
d?R?r
，方程组有一组不同的解.
(5 )两圆内含：无公共点；
0?d?R?r
，方程组无解.特别地，
d?0
时， 为两个同心圆.
【典例12】（江苏高考真题）在平面直角坐标系
xOy
中，圆C
的方程为
x
2
?y
2
?8x?15?0
，若 直线
y?kx?2
上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆
C
有公共点，则
k
的最大值为__________．
【答案】
4

3

14

【解析】
∵圆C的方程为x+y-8x +15=0，整理得：（x-4）+y=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直
线y= kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C：（x-4）+y=4
与直线y=kx-2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx-2的距离为d，
d?
′22
2222
4k?2
1?k
2
?2
即3k2
≤4k，
∴0≤k≤
44
，故可知参数k的最大值为.
33
【典例13】（2019·天津耀华中学高三月考）已知圆
x
2
?y
2
?12
与圆
x
2
?y
2
?x?3y?6?0交于A，B
两点，过A，B分别作直线AB的垂线，与
x
轴分别交于C，D两点， 则
CD?
__________.
【答案】4
【解析】
??
?
?
x
2
??3
?
x
2
? y
2
?x?3y?6?0
?
x
1
?0
联立方程组< br>?
，解得
?
或
?
，
22
y?3
y ?23
x?y?12
?
?
?
?
?
2
?1
即
A0,23,B?3,3
，
k
AB
?
?? ?
?
?
3

3
可得过
A0,23
且垂直于
l
的直线方程为：
y??3x?23
，所以
y?0
，解得< br>x?2
，
过
B?3,3
且垂直于
l
的直线方程为：
y??3x?23
，所以
y?0
，解得
x??2
，
所以
CD?2?2?4
.
故答案为4.
【总结提升】

1.
判断两圆位置关系的方法

常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法．

2
．两圆公共弦长的求法

两圆公共弦长，先求出公共弦所在直线的方程，转化为直线与圆相交的弦长问题．

3.
比较两圆半径的和、差与两圆圆心距的大小可得两圆的位置关系；

4.
两圆方程相减即得公共弦方程；

5.
公共弦长要通过解直角三角形获得．

??
?
热门考点06 直线、圆的位置关系的综合应用

15

【典例14】（2018·全国高考真题（文））直线
x?y?2?0
分别与
x
轴，
y
轴交于
A
，
B
两点，点< br>P
在圆
?
x?2
?
2
?y
2
?2< br>上，则
△ABP
面积的取值范围是
8
?
B．
?< br>4，
32
?
C．
?
?
2，
?

32
?
D．
?
?
22，
?
A．
?
2，6
?

【答案】A
【解析】
Q< br>直线
x?y?2?0
分别与
x
轴，
y
轴交于
A
，
B
两点
?A
?
?2,0
?
,B?
0,?2
?
,则
AB?22

2
Q
点P在圆
（x?2）?y
2
?2
上
?
圆心为（2，0），则圆心到直线距离
d
1
?
2?0?2
2
?22

?
故点P到直线
x?y?2?0
的距离
d
2
的范围为
?
?
2,32
?

则
S
V
ABP
?
1
ABd
2
?2d
2?
?
2,6
?

2
故答案选A.
【典例15 】（2019·江苏高三开学考试（文））在平面直角坐标系
xOy
中，己知圆
C:x
2
?y
2
?2x?4y?F?0
，且圆
C
被直线< br>x?y?3?2?0
截得的弦长为2.
（1）求圆
C
的标准方程；
（2）若圆
C
的切线
l
在
x
轴和
y
轴上的截距相等，求切线
l
的方程；
（3）若圆
D:(x?a)?(y? 1)?2
上存在点
P
，由点
P
向圆
C
引一条切线， 切点为
M
，且满足
22
PM?2PO
，求实数
a
的 取值范围.
22
【答案】（1）
(x?1)?(y?2)?2
；（2）y=2+6x
或
y=2-
(
)
(
6x
或
x?y?3?0
或
x?y?1?0
；
)
（3）
?2?a? 4

【解析】
（1）圆
C
方程可整理为：
?
x? 1
?
?
?
y?2
?
?5?F

?F?5

22
?
圆
C
的圆心坐标为
C< br>?
?1,2
?
，半径
r?5?F


16

?
圆心
C
到直线
x?y?3?2?0
的距离 ：
d?
?1?2?3?2
2
?1

?
截得的弦长为 ：
2r
2
?d
2
?25?F?1?2
，解得：
F? 3

?
圆
C
的标准方程为：
?
x?1
?< br>?
?
y?2
?
?2

（2）①若直线
l过原点，可假设直线
l
方程为：
y?kx
，即
kx-y=0
22
Q
直线
l
与圆相切
?
圆心到直 线距离
d?
?k?2
k?1
2
?r?2
，解得：
k ?2?6

?
切线
l
方程为：
y?2?6x
②若直线
l
不过原点，可假设直线
l
方程为：
??
xy
??1
，即
x?y?a?0

aa
?
圆心到直线距 离
d?
?1?2?a
2
?r?2
，解得：
a??1
或
3

?
切线
l
方程为
x?y?1?0
或
x?y?3?0

综上所述，切线
l
方程为
y?2?6x< br>或
x?y?1?0
或
x?y?3?0

（3）假设
P
?
x,y
?

??
QPM? 2PO
，即
PM
2
?2PO
2

又直线
PM
与圆
C
相切，切点为
M

?PM
2
?PC
2
?r
2
?PC
2
?2 ?2PO
2

即：
2x?y
?
22
?
?< br>?
x?1
?
?
?
y?2
?
2
22< br>2
?2
，整理得：
?
x?1
?
?
?
y?2
?
?8

22
QP
又在圆
?
x?a
?
?
?
y?1
?
?2
上
?
两圆有公共点
?2?
?
1?a
?
?
?
?2?1
?
22
?32
，解得：
?2?a?4

即
a
的取值范围为：
?
?2,4
?

【总结提升】

直线与圆的位置关系常用处理方法：
（1）直线与圆相切处 理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量
关系；
（2）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；

17

（3）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小．
巩固提升
1.（重庆高考真题（文））圆心在
y
轴上，半径为
1
，且过点
( 1,2)
的圆的方程为（ ）
A．
x
2
?(y?2)
2
?1

C．
(x?1)
2
?(y?3)
2
?1

【答案】B
【解析】
∵圆心在
y
轴上，
C
项圆 心为
(1,3)
不合要求，排除选项
C
，又∵圆过点
(1,2)，可排除选项
A
，
D
，只有
B．
x
2
?(y?2)
2
?1

D．
x
2
?(y?3)
2
?1

B
项符合题意，故选
B
．
2．（2013·安徽高考真题（文）） 直线
x?2y?5?5?0
被圆
x?y?2x?4y?0
截得的弦长为（ ）
A．1
【答案】C
【解析】
22
因为
x?y?2 x?4y?0
化为
?
x?1
?
?
?
y?2
?
?5
，可知圆的圆心为
1,2
,半径为
5
，圆心到直线< br>22
B．2 C．4 D．
46

22
(
)
x?2y?5?5?0
的距离为
d?
1?2?2?5?5
5
?1，由勾股定理可得直线
x?2y?5?5?0
被圆
x
2
?y2
?2x?4y?0
截得的弦长为
25?1?4
，故选
D
.
3．（2015·广东高考真题（理））（5分）（2015?广东）平行于直线2x+y+1= 0且与圆x+y=5相切的直线的方
程是（ ）
A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+
C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+
【答案】A
【解析】
设所求直线方程为2x+y+b=0，则，
所以=，所以b=±5，
=0或2x+y﹣
=0或2x﹣y﹣
=0
=0
22
所以所求直线方程为：2x+y+5=0或2x+y﹣5=0

18

故选：A．
4．（2015·重庆高考真题（理））已知直线
l：
x?ay?1?0(a?R)
是圆
C:x?y?4x?2y?1?0
的 对
称轴.过点
A(?4,a)
作圆
C
的一条切线，切点为
B
，则
|AB|?
（ ）
A．2
【答案】C
【解析】
直线l过圆心，所以
a??1
，所以切线长
AB?(?4 )
2
?1?4?(?4)?2?1?6
，选C.
22
22
B．
42
C．6 D．
210

5．（2015·山东高考真题（理））一条光线从点
?
?2,?3
?
射出 ，经
y
轴反射后与圆
?
x?3
?
?
?
y? 2
?
?1
相
切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A．
?
55
或
?

33
B．
-
3
3
或
?

2
5
C．
?
22
或
?

33
D．
?
55
或
?

44
【答案】D
【解析】
由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过 点
?
2,?3
?
，设反射光线所在直线的斜率为
k
，则反身 光线
所在直线方程为：
y?3?k
?
x?2
?
，即：
kx?y?2k?3?0
.
又因为光线与圆相切，
?
x?3
?< br>?
?
y?2
?
?1
所以，
整理：
12k2
?25k?12?0
，解得：
k??
22
?3k?2?2k? 3
k?1
2
?1
,
43
，或
k??
,故选D．
34
22
2
6．（2019·重庆高二月考）点
M
?
x,y
?
为圆
x? y?4
上任意一点，则
x
2
?
?
y?3
?
的最小值为（ ）
A．4
【答案】D
【解析】
B．2 C．
5
D．1
x
2
?
?
y?3
?看成是点
?
x,y
?
和点
?
0,3
?
之间的距离的平方，
2
而点
M
?
x,y
?
为圆< br>x?y?4
上任意一点，
22
所以圆心
?
0,0
?
到点
?
0,3
?
的距离为
3
，圆的半径
r =2
，

19

故圆上的点
M
?
x,y
?
到
?
0,3
?
的距离最小值为
3?2?1
，
所以其最小距离的平方也为
1
.
故选：D.
7．（ 2019·云南师大附中高三月考（文））若直线
x?y?a?0
平分圆
x
2
?y
2
?2x?4y?1?0
，则
a
的值为
（ ）
A．1
【答案】A
【解析】
因为直线
x?y?a?0平分圆
x
2
?y
2
?2x?4y?1?0
，
又圆的标准方程为
(x?1)?(y?2)?4
，
所以直线经过圆心
(1,?2)
，
22
B．－1 C．2 D．－2
1?2?a?0

所以
a?1
，
故选：A．
8．（2019·江西洪都中学高二月考（文））已知直线
y??x?m
与曲线
y??x
2
?2x
有两个不同交点，
则（ ）．
A．
0?m?2?1

2?1

B．
0?m?
D．
0?m?
2?1

2?1
C．
?2?1?m?
【答案】A
【解析】
曲线方程
y??x
2
?2x
可化为：
x
2
?2x?y
2
?0
?
?2?x?0
?
即
?
x?1
?
?y
2
?1
?
?2?x?0
?
.
2
故曲线
C
为如图所示的半圆：

20

当直线
y??x?m
与半圆相切时，圆心
?
?1,0
?
到该直线的距离
d?
?1?0?m
2
?1，
所以
m??1?2
或
m??1?2
（舍）.
当直 线
y??x?m
过原点时，
m?0
，因为直线与半圆有两个不同的交点，
故
0?m?
故选：A.
9．（2019·上海市高境第一中学高二期中）若 圆
C
1
:x
圆
C
2
的方程是（ ）
A．
(x?2)?(y?1)?5

C．
(x?2)?(y?1)?5

【答案】A
【解析】
将
C
1
:x
2
22
22
2?1
.
2
?y
2
?2x?4y?0
与圆
C
2
关于 直线
y?x
对称，则
B．
(x?2)
2
?(y?1)
2
?5

D．
(x?2)
2
?(y?1)
2
?5

?y
2
?2x?4y?0
的方程化为标准式的
(x?1)
2
?(y?2)
2
?5
，
22
则圆
C
1
的 圆心坐标为
?
1,2
?
，半径为
5
，又圆
C
1
：
(x?1)?(y?2)?5
与圆
C
2
关于直线y?x
对称，
则圆
C
2
的圆心坐标为
?
2,1
?
，半径为
5
，即圆
C
2
的方程是
(x? 2)?(y?1)?5
，
22
故选：A.
10．（2019·上海高三） 若对于任意角
?
，都有
xcos
?
?(y?2)sin
?< br>?1
，则直线
l:xcos
?
?(y?2)sin
?
?1
围成的正多边形的最小面积是（ ）
A．
23
B．4 C．
33
D．不确定

21

【答案】D
【解析】
由对于任意角
?
，都有
xcos
?
?( y?2)sin
?
?1
，
2
?
到直线
xcos< br>?
?(y?2)sin
?
?1
的距离为则点
P
?0，
1
cos
?
?sin
?
22
?1
，
2
?
为圆心，
1
为半径的圆的切线， 即此直线为以
?
0，
当三条切线如图所示时，则正三角形
ABC
的面积
S?
1233
，
??1?
233
3
，即选项A,B,C错误，
3
即存在直 线
l:xcos
?
?(y?2)sin
?
?1
围成的正多边 形的面积为
故选D.

11.（广东高考真题（文））以点(2，－1)为圆心且 与直线
x
＋
y
＝6相切的圆的方程是________________.
【答案】
x?y?4x?2y?
【解析】
圆心到直线的距离
D?r?
22
15
?0

22?1?6
2
?
5
25
22
，所以圆的方程为（x－2 ）＋（y＋1）＝
2
2
12.（2015·重庆高考真题（文））若点
P( 1,2)
在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点
P
处的切线方程为
____ ______．
【答案】
x?2y?5?0

【解析】

22

1?11
1
???
2?0
由题意可得
??
和切线垂直，故切线的斜率为
k
??
2
，故切线的方程 为
y?2??
?
x?1
?
，
2
1?0
?< br>即
x?2y?5?0
，故答案为：
x?2y?5?0
．
22
13.（2019·江西洪都中学高二月考（文））圆
C
1
:x?y?4x? 3?0
与圆
C
2
:
?
x?1
?
?
?
y?4
?
?a
恰有
22
三条公切线，则实数
a< br>的值是______．
【答案】16
【解析】
因为两圆有三条公切线，故
eC
1
与
eC
2
相外切，
又
C
1
:
?
x?2
?
?y
2
?1
，故
C
1
?
2,0
?
，
R
1
?1
，而
C
2
?
?1,4
?
，
R
2
?a< br>，
2
故
C
1
C
2
?3
2
?4
2
?5?1?a
，故
a?16
.
故答案为：
16
.
14.（2019·上海复旦附中高二期中）直线
l
与圆
(x?5)
2
?y
2
?4
相切，且
l
在两坐标轴上截距的绝对值相
等，这样的直线
l
共有________条 .
【答案】6
【解析】
因为圆
(x?5)
2
?y2
?4
的圆心坐标为
?
5,0
?
，半径
r=2

由
l
在两坐标轴上截距的绝对值相等，
（1）若截距相等（不为 0），可设
l:x?y?a
，因为直线
l
与圆
(x?5)
2
?y
2
?4
相切，
则有
5+0-a
1+1
22
=r=2
，解得
a=5?22
，此时直线有两条；
（2）若截距互为相反数，可设
l:x?y?a
，
则有
5-0-a
1+1
22
=r=2
，解得
a=5?22
，此时直线有两条 ；
（3）若直线过原点，可设：
l:kx-y=0
，
则有
5k- 0
=r=2
，解得
k=?
221
，此时直线有两条；
21
k
2
+1
2
综上，满足条件的直线共有6条.

23

故答案为：6
15.（2015·湖北高考真题（文））如图，已知圆与轴相切于点
（B在A的上方），且．
，与轴正半轴交于两点A，B

（Ⅰ）圆的标准方程为_________；
（Ⅱ）圆在点处的切线在轴上的截距为_________．
【答案】（Ⅰ）
【解析】
设点的坐标为
径．又因为
，则由圆与轴相切于点
，所以
，
令得：．设圆在点处的切线方程为
，解之得．即圆在点处的切线方程为
，故应填
，则圆 心到其距离为：
，于是令
和
可得
．
，即
知，点的横坐标为，即
，所以圆的标准方程为
，半
；（Ⅱ）．
，即圆在点处的切线在轴上的截距为
16.（2019·全国高三（理））唐代诗人李颀的诗《 古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍
交河
.
”诗中隐含着一个有趣 的数学问题——“将军饮马”,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先
到河边饮马再回到军营,怎 样走才能使总路程最短?在如图所示的直角坐标系
xOy
中,设军营所在平面区域为
{ (x,y)|x
2
+y
2
≤
9
3
1
},河 岸线所在直线方程为x+2y-4=0
.
假定将军从点
P
(,)处出发,只要 到达军营所在区
4
2
2
域即回到军营,当将军选择最短路程时,饮马点
A
的纵坐标为______.最短总路程为______


24

【答案】
68
55

730-15
10

【解析】
设
P
(< br>3
2
,
1
2
)关于直线x+2y
-
4=0的 对称点为
P'
(
m
,
n
),
?
?
n?
1
?
2
?(?
1
)??1,
?
则< br>?
?
m?
3
2
?
2
?
m?
21
,
解得
?
?
10

?
?
17
?
m?
3
2
n?
1
?
n?.
?< br>2
?2?
2
2
?4?0,
?
10
因为从点< br>P
到军营总路程最短,所以
A
为线段
OP'
与直线x+2y< br>?
4
=
0的交点,
?
联立
?
17
?
y?
?
21
x,
得
y=
17
(4
?
2
y
),解得
y=
68
.
?
x?2 y?4?0,
21
55
所以“将军饮马”的最短总路程为
(
212
17
2
?
3
68
10
)?(
10< br>)
2
=
730?15
10
，故答案为
55
，
730?15
10
.



25