高二数学椭圆的知识点整理

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第1讲 课题：椭圆

课 型：复习巩固 上课时间：2013年10月3日
教学目标：
（1）了解圆锥曲线的来历；
（2）理解椭圆的定义；
（3）理解椭圆的两种标准方程；
（4）掌握椭圆离心率的计算方法；
（5）掌握有关椭圆的参数取值范围的问题；
教学重点：椭圆方程、离心率；
教学难点：与椭圆有关的参数取值问题；

?知识清单
一、椭圆的定义：
(1) 椭圆的第一定义:平面内与两定点
F
1
、F
2
的距离和等于常数 < br>?
2a
?
(大于
F
1
F
2
）的点的 轨迹叫做椭圆.
说明：两个定点叫做椭圆的焦点；
两焦点间的距离叫做椭圆的焦距
?
2c
?
.
(2) 椭圆的第二定义：平面上到定点的距离与到定直线的距离之
比为常数
e
，当
0?e?1
时，点的轨迹是椭圆. 椭圆上一点到
焦点的距离可以转化为到准线的距离.
二、椭圆的数学表达式：
PF
1< br>?PF
2
?2a
?
2a?F
1
F
2
?0
?
;
M?PPF
1
?PF
2
?2a,
?
2a?F
1
F
2
?0
?
.

??
三、椭圆的标准方程：
x
2
y
2
焦点在
x
轴:
2
?
2
?1
?
a?b?0
?
；
ab
y
2
x
2
焦点在
y
轴:
2
?
2
?1
?
a?b?0
?
.
ab
说明：
a
是长半轴长，
b
是短半轴长，焦点始终在长轴所在的数 轴上，且满足
a
2
?b
2
?c
2
.

四、二元二次方程表示椭圆的充要条件
方程
Ax
2
?By
2
?C
?
A、B、C均不为零，且A?B
?
表示椭圆的条件：
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x
2
y
2
Ax
2
By
2
?1
.所以，
??1
，
?
上式化为只有
A、B、C
同号，且
A?B
CC
CC
AB
时，方程表示椭圆；当
椭圆的焦点在
y
轴上.

CC CC
?
时，椭圆的焦点在
x
轴上；当
?
时，
ABA B
x
2
y
2
五、椭圆的几何性质（以
2
?
2
?1
?
a?b?0
?
为例）
ab
1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标
?
x,y
?
都适合不等式
x
2
y
2
?1,
2
?1
，即
x?a,y?b
说明椭圆位于直线
x??a
和
y??b
所围成的
a
2b
矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题.
2.对称性:关于原 点、
x
轴、
y
轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是
椭圆的对称中 心。
3.顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个：
A
1
?
?a ,0
?
、A
2
?
a,0
?
、B
1
?
0,?b
?
、B
2
?
0,b
?
.

4. 长轴、短轴：
A
1
A
2
叫椭圆的长轴，
A
1
A
2
?2a,a
是长半轴长；
B
1
B
2
叫
椭圆的短轴，
B
1
B
2
?2b,b
是短半轴长.
5.离心率
（1）椭圆焦距与长轴的比
e?
2
c
，?
?a?c?0,?0?e?1
?
（2）
a
22
即a
2
?b
2
?c
2
.这是椭圆的特
Rt?OB
2
F
2
,
B
2
F
2
?OB
2
?OF
2
，
征三角形，并且
cos?OF
2
B
2
的值是椭圆的离心率.（3）椭圆的
圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐 标轴无关.当
e
接近于1时，
c
越接近于
a
，从而
b?a
2
?c
2
越小，椭圆越扁；
当
e
接近于0时 ，
c
越接近于0，从而
b?a
2
?c
2
越大，椭圆 越
接近圆；当
e?0
时，
c?0,a?b
，两焦点重合，图形是圆.
2b
2
6.通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦），通径长为.
a
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7.设
F
1< br>、F
2
为椭圆的两个焦点，
P
为椭圆上一点，当
P、F
1
、F
2
三点不在
同一直线上时，
P、F
1
、F
2
构成了一个三角形——焦点三角形. 依椭圆
的定义知：
PF
1< br>?PF
2
?2a,F
1
F
2
?2c
.

?例题选讲?
一、选择题
1．椭圆
x
2
?4y
2
?1
的离心率为（

）
32
32


B．

C．

D．
43
22
x
2
y
2
?1
上的点．若
F
1
，F
2
是椭圆的两个焦点，则2．设< br>p
是椭圆
?
2516
PF
1
?PF
2
等于（ ）
A．

D．10
x
2
y
2
1
??1
的离心率为， 3．若焦点在
x
轴上的椭圆
2
2m
则m=（ ）
382
A．
3
B． C． D．
233
x
2< br>2
4．已知△
ABC
的顶点
B
、
C
在椭圆＋
y
＝1上，顶点
A
是椭圆的一个焦
3
点，且椭圆的另外一个 焦点在
BC
边上，则△
ABC
的周长是（ ）
A．23 B．6 C．43 D．12
5．如图，直线
l:x?2y?2?0
过椭圆的左焦点
F
1
和 一个顶点B，该椭圆的离心率为（ ）
12
525
A． B． C． D．
5 5
55
6．已知F
1
、F
2
是椭圆的两个焦点，过F
1
且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆
于A、B两点，若△ABF
2
是正三角形 ，则这个椭圆的离心率是（ ）
2323
A． B． C． D．
3322
7．已知以
F
1
（-2,0），
F
2
（2,0）为焦点的椭圆与直线
x?3y?4?0

有
且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ）
A．
32
B．
26
C．
27
D．
42

A．

4 B．5 C． 8

二、填空题： < br>3
．若以
A，B
为焦点的椭圆经过点
4
C
，则该椭圆 的离心率
e?
．
9． 已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2
3
，0），且长轴长是短
8． 在
△ABC
中，
?A?90
，
tanB?
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轴长的2倍，则该椭圆的标准方程
是 ．
10．在平面直角坐标系
xOy
中，已知
?ABC
顶点
A(?4,0)
和
C(4,0)
，顶点
B
x
2
y< br>2
sinA?sinC
?
.
??1
上，则在椭圆
sinB
259
11．椭圆
x
2
?4y
2
?4
长轴上一个顶点为
A
，以
A
为直角顶点作一个内接
于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是_______________．
三、解答题
12．已知椭圆
mx
2
?3y
2
?6 m?0
的一个焦点为（0，2）求
m
的值．
13．已知椭圆的中心在原点， 且经过点
P
?
3，0
?
，
a?3b
，求椭圆
的标准方程．
x
2
y
2
???1
表示椭圆，求< br>k
的取值范围． 14．已知方程
k?53?k
15．已知
x
2
sin
?
?y
2
cos
?
?1
(0?< br>?
?
?
)
表示焦点在
y
轴上的椭圆，求
?< br>的
取值范围．
16. 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过
A(3,?2 )
和
B(?23,1)
两
点的椭圆方程．

《导数及其应用》知识点总结
一、导数的概念和几何意义
1. 函数的平 均变化率：函数
f(x)
在区间
[x
1
,x
2
]< br>上的平均变化率为：
f(x
2
)?f(x
1
)
。
x
2
?x
1
2. 导数的定义：设函数
y?f(x )
在区间
(a,b)
上有定义，
x
0
?(a,b)
，若
?x
无限趋近于
0时，比值
?y
f(x
0
?? x)?f(x
0
)
无限趋近于一个常数
A
，则称函数
f(x )
在
x?x
0
处可导，
?
?x?x
并称该常数A
为函数
f(x)
在
x?x
0
处的导数，记作
f
?
(x
0
)
。函数
f(x)
在
x?x< br>0
处的导数的实
质是在该点的瞬时变化率。
3. 求函数导数的基本 步骤：（1）求函数的增量
?y?f(x
0
??x)?f(x
0
)< br>；（2）求平均变
化率：
f(x
0
??x)?f(x
0
)f(x
0
??x)?f(x
0
)
；（3）取极限，当
? x
无限趋近与0时，无限趋
?x?x
近与一个常数
A
，则
f
?
(x
0
)?A
.
4. 导数的几何意义：
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函数
f(x)
在
x?x
0
处的导数就是曲线
y?f(x)
在点
(x
0
,f(x
0
))
处的切线的斜率。由此，
可以利用导数求曲线的切 线方程，具体求法分两步：
（1）求出
y?f(x)
在
x
0
处的导数，即为曲线
y?f(x)
在点
(x
0
,f(x0
))
处的切线的斜率；
（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求 得切线方程为
y?y
0
?f
?
(x
0
)(x?x< br>0
)
。
当点
P(x
0
,y
0)
不在
y?f(x)
上时，求经过点
P
的
y?f(x)
的切线方程，可设切点坐标，
由切点坐标得到切线方程，再将
P
点的坐标代入 确定切点。特别地，如果曲线
y?f(x)
在点
(x
0
,f(x0
))
处的切线平行与
y
轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线 方程为
x?x
0
。
5. 导数的物理意义：
质点做直线 运动的位移
S
是时间
t
的函数
S(t)
，则
V?S
?
(t)
表示瞬时速度，
a?v
?
(t)
表
示瞬时加速度。
二、导数的运算
1. 常见函数的导数：
（1）
(kx?b)
?
?k
(
k
,
b
为常数)；
（3）
(x)
?
?1
；
（5）
(x
3
)
?
?3x
2
；











（2）
C
?
?0
(
C
为常数)；
（4）
(x
2
)
?
?2x
；
（6）
(
1
)
?
??
1
2
； < br>x
x
（8）
(x
α
)
?
?αx
α< br>?1
（
α
为常数）； （7）
(x)
?
?
1
；
2x
（9）
( a
x
)
?
?a
x
lna(a?0,a?1)
；
（11）
(e
x
)
?
?e
x
；



（10）
(log
a
x)
?
?
1
log
a
e?
1
(a?0,a?1)
；
xxlna


（12）
(lnx)
?
?
1
；
x
（14）
(cosx)
?
??sinx
。 （13）
(sinx)
?
?cosx
；
2. 函数的和、差、积、商的导数：
（1）
[f(x)?g(x)]
?
? f
?
(x)?g
?
(x)
； （2）
[Cf(x)]
?
?Cf
?
(x)
（C为常数）；
f(x)f
?
(x)g(x)?f(x)g
?
(x)
[]< br>?
?(g(x)?0)
。
[f(x)g(x)]
?
?f
?
(x)g(x)?f(x)g
?
(x)
; （3）（4）
g(x)
g
2
(x)
3. 简单复合函数的导数：
?
?y
u
?
?u
x
?
，即
y
x
?
?y
u
?
?a
。 若
y?f(u),u?ax?b
，则
y
x
三、导数的应用
1. 求函数的单调性：
利用导数求函数单调性的基本方法：设函数
y?f(x)< br>在区间
(a,b)
内可导，
（1）如果恒
f
?
(x)?0
，则函数
y?f(x)
在区间
(a,b)
上为增函数；
（2）如果恒
f
?
(x)?0
，则函数
y?f(x)
在区间
(a,b)
上为减函数；
（3）如果恒
f
?
(x)?0
，则函数
y?f(x)
在区间
(a,b)
上为常 数函数。
利用导数求函数单调性的基本步骤：①求函数
y?f(x)
的定义域；②求 导数
f
?
(x)
；
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③解不等式
f
?
(x)?0
，解集在定义域内的不间断区间为增区间；④解不等式
f
?
(x)?0
，解集
在定义域内的不间断区间为减区间。
反过来, 也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题（如确定参数的取值范围）：
设函数
y?f(x)
在区间
(a,b)
内可导，
(1)如 果函数
y?f(x)
在区间
(a,b)
上为增函数,则
f
?
(x)?0
(其中使
f
?
(x)?0
的
x
值不
构成区间)；
(2) 如果函数
y?f(x)
在区间
(a,b )
上为减函数,则
f
?
(x)?0
(其中使
f
?< br>(x)?0
的
x
值不
构成区间)；
(3) 如果函数
y?f(x)
在区间
(a,b)
上为常数函数,则
f
?
( x)?0
恒成立。
2. 求函数的极值：
设函数
y?f (x)
在
x
0
及其附近有定义，如果对
x
0
附近的 所有的点都有
f(x)?f(x
0
)
（或
f(x)?f(x
0
)
），则称
f(x
0
)
是函数
f(x)
的极小值（或极大值）。
可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是：
（ 1）确定函数
f(x)
的定义域；（2）求导数
f
?
(x)
；（3）求方程
f
?
(x)?0
的全部实根，
x
1
?x
2
??x
n
，顺次将定义域分成若干个小区间，并列表：
x变化时，
f
?
(x)
和
f(x)
值的
变化情况 ：
x
f
?
(x)

f(x)

(??,x
1
)

x
1

(x
1
,x
2
)

…


x
n

(x
n
,??)

正负
单调性
0

正负
单调性
0

正负
单调性
（4）检查
f
?
(x)
的符号并由表格判断极值。
3. 求函数的最大值与最小值：
如果函数
f(x)
在定义域
I
内存在
x
0
，使得对任意的
x?I
，总有
f(x)?f(x
0
)
，则称
f(x
0
)
为函数在定义域上的最大值 。函数在定义域内的极值不一定唯一，但在定义域内的最值是唯
一的。
求函数
f(x)
在区间
[a,b]
上的最大值和最小值的步骤：
（1）求
f(x)
在区间
(a,b)
上的极值；
（2）将第一步中求得的极值与
f(a),f(b)
比较，得到
f(x)
在区 间
[a,b]
上的最大值与最
小值。
4. 解决不等式的有关问题：
（1）不等式恒成立问题（绝对不等式问题）可考虑值域。
f(x )(x?A)
的值域是
[a,b]
时，不等式
f(x)?0
恒成立的 充要条件是
f(x)
max
?0
，即
b?0
；不等式
f(x)?0
恒成立的充要条件是
f(x)
min
?0
，即
a?0
。
f(x)(x?A)
的值域是
(a,b)
时，不等式< br>f(x)?0
恒成立的充要条件是
b?0
；不等式
f(x)?0
恒成立的充要条件是
a?0
。
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（2）证明不等式
f(x)?0
可转化为证明
f(x)
max
?0
，或利用函数
f(x)
的单调性，转化为
证明
f(x) ?f(x
0
)?0
。
5. 导数在实际生活中的应用：
实际生活求解最大（小）值问题，通常都可转化为函数的最值. 在利用导数来求函数最
值时，一定要注 意，极值点唯一的单峰函数，极值点就是最值点，在解题时要加以说明。
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