高中数学导数在研究函数中的应用知识点题型总结

导数在研究函数中的应用
知识点一、导数的几何意义
函数
y?f< br>?
x
?
在
x?x
0
处导数
f
??
x
0
?
是曲线
y?f
?
x
?
在点
Px
0
,f
?
x
0
?
处切线的，即
_______________;相应地，曲线
y?f
?
x
?在点
Px
0
,f
?
x
0
?
处的切线方 程是
例1.(1)曲线
y?sinx?e
在点
(0,1)
处的切线 方程为（ ）
A.
x?3y?3?0
B.
x?2y?2?0
C.
2x?y?1?0
D.
3x?y?1?0

（2）若曲线
y?xlnx
上点P
处的切线平行于直线
2x?y?1?0
，则点
P
的坐标是（ ）
A.
(e,e)
B.
(2,2ln2)
C.
(1,0)
D.
(0,e)

【变式】
（1）曲线
y?xe
x
?2x?1
在点
(0,1)
处的切线方程为（ ）
A.
y?3x?1
B.
y?2x?1
C.
y?3x?1
D.
y?2x?1

x
??
??
2
（2）若曲线
y?ax?lnx< br>在点
(1,a)
处的切线平行于
x
轴，则
a
的值为（ ）
A.
1
B.
2
C.
知识点二、导数与函数的单调性
11
D.
?

22
'
（1）如果函数
y?f(x)
在定 义域内的某个区间
(a,b)
内，使得
f(x)?0
，那么函数
y? f(x)
在这个区
间内为且该区间为函数
f(x)
的单调_______区间 ；
'
(2)如果函数
y?f(x)
在定义域内的某个区间
(a,b )
内，使得
f(x)?0
，那么函数
y?f(x)
在这个区间
内为，且该区间为函数
f(x)
的单调_______区间.
例1.（1）函数
f(x)?(3?x)e
的单调递增区间为（ ）
A.
(??,0)
B.
(0,??)
C.
(?3,1)
D.
(??,?3)和(1,??)

（2）函数
y?
2x
1
2
x?lnx
的单调递减区间为（ ）
2
A.
?
?1,1
?
B.
?
0,1
?
C.
?
1,??
?
D.
(0,??)

例2.求下列函数的单调区间，并画出函数
y?f(x)
的大致图像.
（1）
f(x)?x
（2）
f(x)?x?3x

(3)
f(x)?



33
1
3
1
x?x
2
?3x?1
（4）
f(x)??x
3
?x
2
?3x

3
3

知识点三、导数与函数的极值
函数
y?f(x )
在定义域内的某个区间
(a,b)
内,若
x
0
满足
f
?
(x
0
)?0
，且在
x
0
的两侧< br>f(x)
的导数
f
?
(x)
异号，则
x
0< br>是
f(x)
的极值点，
f(x
0
)
是极值，并且如果
f
?
(x)
在
x
0
两侧满足“左正右负”，则x
0
是
f(x)
的，
f(x
0
)
是极 大值；如果
f
?
(x)
在
x
0
两侧满足“左负右正 ”，则
x
0
是
f(x)
的极小值点，
f(x
0)
是极小值
例1.（1）求函数
f(x)?
2
1
3< br>x?x
2
?3x?1
的极值
3
（2）求函数
f(x)?x?2lnx
的极值




例2.（1）已知函数
f(x)?xlnx
，则下列关于
f(x)
说法正确的是（ ）
A.有极大值，无极小值 B.有极小值，无极大值
C.既有极大值，又有极小值 D.既无极大值，有无极小值
（2）已知函数
f(x)?ax?bx
在
x? 1
处有极值
?2
，则
a,b
的值分别为（ ）
A.
1
,
?3
B.
1
,
3
C.
?1
,
3
D.
?1
,
?3

（3）函数
f(x)?x(x?m)< br>在
x?1
处取得极小值，则
m
的值为（ ）
A.
1
B.
3
C.
1或3
D.
0

知识点四、导数与函数的最值
例1.（1）求函数
f(x)?
2
3
1
3
x?x
2
?3x?1
在
[?2,4]
的最大值和最小值
3
（2）求
f(x)?x
3
?3x
2< br>?2
在区间
?
?1,1
?
上的最大值和最小值
（3）求函数
f(x)?x?2lnx
的最小值



知识点五、有关参数的取值范围问题
（1）在区间
(a,b)
内
f
?
(x)?0(f
?
(x)?0)
是函数
f(x)
在此区间上为增函数（减函数）的充分不必要条件.
（2）函数在
(a,b)
上是增 函数的充要条件是对任意的
x?(a,b)
，
f
?
(x)?0
恒成立
（3）函数在
(a,b)
上是减函数的充要条件是对任意的
x?( a,b)
，
f
?
(x)?0
恒成立
2

（4）
f
?
(x
0
)?0
是可导函数
y?f( x)
在点
x?x
0
处有极值的必要不充分条件（即导数值为
0
的点
x
0
不一
定是极值点，但极值点处的导函数值一定等于
0）
32
例：（1）已知函数
f(x)?x?x?mx?1
是
R
上的单调函数，则实数
m
的取值范围是（ ）
A.
(,??)
B.
(??,)
C.
[,??)
D.
(??,]

（2）若< br>f
?
x
?
?x
3
?ax
2
?
?
a?6
?
x?1
有极大值和极小值，则
a
的取值范围为 （ ）
A.
?
?1,2
?


(3)若函数< br>f(x)?x?ax?4
在
(0,2)
内单调递减，则实数
a
的取值范围是（ ）
A.
?
0,3
?
B.
?
0,1
?
C.
?
3,??
?

D.
(0,??)

(4)若函数
32
1
3
13
1
3
1
3
B.
?
?3,2
?
C.
?
??,?1
?
U
?
2,??
?
D.
?
??,?3
?
U
?
6,??
?
< br>f
?
x
?
?kx?lnx
在区间
?
1,??
?
单调递增，则
k
的取值范围是（ ）
C.
?
2,??
?
D.
?
1,??
?





A.
?
??,?2
?
B.
?
??,?1
?
导数经典解答题
典例1.已知函数
f(x)?





典例2.求函数
f(x)
的单调区间（或讨论单调性）
（1）已知函数
f(x)?





x
（2）已知函数
f(x)?e?ax?1
，
求
f(x)
的单 调增区间；
1
3
x?x
2
?3x?1
，求函数
f (x)
在区间
[?2,6]
上的最大值和最小值.
3
1
3
x?x
2
?ax
，讨论
f(x)
的单调性；
3




（3）已知函数
f(x)?lnx?a (1?x)
，讨论
f(x)
的单调性；

题型二、利用导数求函数的极值和最大（小）值
典例3.已知函数
f (x)?2x?3(a?1)x?1
，其中
a?1

（1）求
f(x)
的单调区间
（2）讨论
f(x)
的极值





典例4.已知函数
f(x)?x?alnx(a?R)

（1）当
a ?2
时，求曲线
y?f(x)
在点
A(1,f(1))
处的切线方程 ；
（2）求函数
f(x)
的极值.





典例5.已知函数
f(x)?lnx?ax
.
32
（1 ，f(1)）
（1）当
a?1
时，求曲线
f(x)
在点处的切线方程 ；
（2）若
a?0
，且函数
f(x)
在区间
[1,e]< br>上的最大值为2，求
a
的值.