怎样做合格的高中数学教师-微课在高中数学教学中的意义
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高中文科数学平面向量知识点整理
1、概念
向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量.
有向线段的三要素:起点、方向、长度. 单位向量:长度等于
1
个单位的向量.
平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.
相等向量:长度相等且方向相同的向量.
相反向量:
a
=-
b?
b
=-
a
?
a+b
=
0
向量表示
:几何表示法
AB
;字母
a
表示;坐标表示:
a
=
xi
+
yj
=(
x
,
y
).
uuuruuur
r
r
r
向量的模:设
OA?a
,则有向线段<
br>OA
的长度叫做向量
a
的长度或模,记作:
|a|
.
rr
2
r
2222
(
|a|?x?y,a?|a|?x?y
2
。)
零向量:长度为<
br>0
的向量。
a
=O
?
|
a
|=O.
rr
rr
【例题】1.下列命题:(1)若
a?b
,则<
br>a?b
。(2)两个向量相等的充要条
uuuruuur
件是它们的起点相同,
终点相同。(3)若
AB?DC
,则
ABCD
是平行四边形。(4)
rrrrrrrr
uuuruuur
rr
若
ABCD
是平行四边形,
则
AB?DC
。(5)若
a?b,b?c
,则
a?c
。(6
)若
ab,bc
,
rr
则
ac
。其中正确的是______
_
(答:(4)(5))
uurr
rr
2.已知
a,b
均为单位向量,它们的夹角为
60
o
,那么
|a?3b|
=____
_
(答:
13
);
2、向量加法运算:
⑴三角形法则的特点:首尾相连.
⑵平行四边形法则的特点:共起点.
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C
r
a
ruuuruuur
r
r
uuu
a?b??C?????C
?
r
b
?
实用标准文案
⑶三角形不等式:
r
r
r
r
r
r
a?b?
a?b?a?b
.
r
r
r
rr
r
r
r<
br>rr
⑷运算性质:①交换律:
a?b?b?a
;②结合律:
a?b?c
?a?b?c
;
????
r
rr
rr
③
a?0?0?a?a
.
r
r
r
r
⑸坐标运算:
设
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?<
br>?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?
?<
br>x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
.
3、向量减法运算:
⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. <
br>r
r
r
r
⑵坐标运算:设
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y<
br>2
?
,则
a?b?
?
x
1
?x
2<
br>,y
1
?y
2
?
.
uuur
设
?
、
?
两点的坐标分别为
?
x
1
,y
1?
,
?
x
2
,y
2
?
,则
?
??
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
.
【例题】
uuuruuuruuuruuuruuuru
uur
(1)①
AB?BC?CD?
___;②
AB?AD?DC?
____;
uuur
uuur
r
uuuruuuruuuruuur
③
(AB?CD)?(AC?BD)?
_____
(答:①
AD
;②
CB
;③
0
);
uuurru
uurruuurr
rrr
(2)若正方形
ABCD
的边长为1,
A
B?a,BC?b,AC?c
,则
|a?b?c|
=_____
(答:
22
);
uuruuruur
(3)已知作用在
点
A(1,1)
的三个力
F
1
?(3,4),F
2
?(2,?5),F
3
?(3,1)
,则合力
uruuruuruur
F?F
1
?F
2
?F
3
的终点坐标是
(答:(9,1))
4、向量数乘运算:
r
r
⑴实数
?
与向量
a
的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作
?
a
.
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实用标准文案
rr
①
?
a?
?
a
;
r
r②当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方
向相同;
r
r
r
r
当
?
?0
时,<
br>?
a
的方向与
a
的方向相反;当
?
?0
时,
?
a?0
.
r
r
r
r
rrrrr
⑵运算律:①
?
?
?
a
?
?
?
???
a
;②
?
?
?
?
?
a?
?
a?
?
a
;③
?
a?b?
?
a?
?
b
.
??
r
r
⑶坐标运算:设
a?
?
x,y
?
,则
?
a?
?
?
x,y
?
?
?
?
x,
?
y
?
.
1
???
【例题】(1)若M(-3,-2),N(6,-1),且
MP??MN
,则点P的坐标为
3
_______
7
(答:
(?6,?)
);
3
r
rr
r
5、向量共线定理:向量
aa?0
与
b
共线,当且仅当有唯一一个实
数
?
,使
???
??
rr
r
r
rr
2
rr
2
r
r
b?
?
a
.设
a
?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?x
2
,y
2
?
,(
b?0
)
?(a?
b)?(|a||b|)
。
rr
rr
【例题】 (1)若向
量
a?(x,1),b?(4,x)
,当
x
=_____时
a
与
b
共线且方向相同
rr
rrrrrr
rr
(2)已知
a?(1,1),b?(4,x)
,
u?a?2b
,
v?2a?b<
br>,且
uv
,则
x=______
(答:2);
(答:4);
rrrrrrrr
6、向量垂直:
a?b?a?b?0?|a
?b|?|a?b|
?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
.
uuuruuur
uuuruuur
【例题】
(1)已知
OA?(?1,2),OB?(3,m)
,若
OA?OB
,则m?
3
);
2
(2)以原点O和A(4
,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB,
?B?90?
,
(答:
则点B的
坐标是________
(3)已知
n?(a,b),
向量
n?m<
br>,且
n?m
,则
m
的坐标是________
(答:
(b,?a)或(?b,a)
)
r
rur
rur
(答:(1,3)或(3,-1));
ur
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7、平面向量的数量积: <
br>r
r
r
r
r
r
r
r
o
⑴<
br>a?b?abcos
?
a?0,b?0,0?
?
?180
o<
br>.零向量与任一向量的数量积为
0
.
??
rr
r
r
r
r
rr
bb
⑵性质:设
a
和都是非零向量,则①
a?b?a?b?0
.②当
a
与同向时,
r
r
r<
br>r
r
r
r
r
r
rrrr
2
r
rrr
a?b?ab
;当
a
与
b
反向时,a?b??ab
;
a?a?a
2
?a
或
a?a?a
.③
r
r
r
r
a?b?ab
.
r
r
rr
rr
r
rrr
r
r
r
r
r
r
r
⑶运算律:①
a?b?b?a
;②
?
?
a
?
?b?
?
a?b?a?
?
b
;③
a?b?c?a?c?b
?c
.
????
??
r
r
r
r
⑷坐标运
算:设两个非零向量
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?
b?x
1
x
2
?y
1
y
2
.
r
r
2
r
若
a?
?
x,y
?
,则<
br>a?x
2
?y
2
,或
a?x
2
?y
2
.
r
r
设
a?
?
x
1
,y<
br>1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a
⊥
b
?
a
·
b
=0?
x
1
x
2
+
y
1
y
2=0.
则
a<
br>∥
b
?
a
=
λb
(
b≠0
)
?
x
1
y
2
=
x
2
y
1
.
r
r
r
r
r
r
b
设
a
、
b
都是非零向量,
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,
?
是
a
与的夹角,则
r
r
rrrr
x
1
x
2
?y
1
y
2
a?b
cos
?
?
r
r<
br>?
;(注
|a?b|?|a||b|
)
2222
ab
x
1
?y
1
x
2
?y
2
【例题】 (1)△ABC中,
|
AB
|?3
,
|AC|?4
,<
br>|BC|?5
,则
AB?BC?
_________
(答:-9);
rur
rrurrr
1
r
1
rr
?
(2)
已知
a?(1,),b?(0,?),c?a?kb,d?a?b
,
c
与d
的夹角为,则
k
等
22
4
?????????
于____
(答:1);
rrrr
rr
(3)已知
a?2,b?5,a
g
;
b??3
,则
a?b
等于____ (答:
23)
rrr
rrrr
rr
(4)已知
a,b
是两个非零向
量,且
a?b?a?b
,则
a与a?b
的夹角为____
(答:
30
o
)
(5)已知
a
?(
?<
br>,2
?
)
,
b?(3
?
,2)
,如果
a
与
b
的夹角为锐角,则
?
的取值
4
1
范围是______ (答:
?
??<
br>或
?
?0
且
?
?
);
3
3
(6)已知向量
a
=(sinx,cosx),
b
=(sinx,sinx),
c
=(-1,0)。
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??
??
实用标准文案
(1)若x=
?
,求向量
a
、
c
的夹角;
(答:150°);
3
r
8、
b
在
a
上的投影:
即
|b|cos
?
,它是一个实数,但不一定大于0。
【例题】已知
|
a
|?3
,
|b|?5
,且
a?b?12
,则
向量
a
在向量
b
上的投影为
12
______
(答:)
5
??
??
??
平面向量高考经典试题
一、选择题
rr
rr
1.已知向量
a?(?5,6)
,
b?(6,5)
,则
a
与
b
A.垂直 B.不垂直也不平行 C.平行且同向 D.平行且反向
2、已知向量
a?(1,n),b?(?1,n)
,若
2a?b<
br>与
b
垂直,则
a?
( )
A.
1
rr
rrrr
rrrr
3、若向量a,b
满足
|a|?|b|?1
,
a,b
的夹角为60°,则<
br>a?a?a?b
=______;
B.
2
C.
2
D.4
uuuruuuruuur
1
uu
uruuur
CD?CA?
?
CB
,
4、在
△ABC
中,已知
D
是
AB
边上一点,若
AD?2DB,
则
?
?
( )
3
2
11
2
A. B.
C.
?
D.
?
33
33
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实用标准文案
5、若O、E、F是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是 ( )
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
A.
EF?OF?OE
B.
EF?OF?OE
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
EF??OF?OEEF??OF?OE
C. D.
6、已知平面向量
a?(11),,b?(1,?1)
,则向量
A.
(?2,?1)
C.
(?1,0)
二、填空题
1、已知向量
a=?2,,4?b=?11,?
.若向量
b?(a+
?
b)
,则实数
?
的值是
.
B.
(?2,1)
D.
(?1,2)
13
a?b?
( )
2
2
rr
rr
rrr
?
b
的夹角为
60
,<
br>a?b?1
,则
a
g
a?b?
.
2、若
向量
a
,
??
3、在平面直角坐标系中,正方形
OABC
的
对角线
OB
的两端点分别为
O(0,0)
,
B(11),
,
uuuruuur
AB
g
AC?
则
三、解答题:
.
1、已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3,4
)、B(0,0)、C(
c
,0).
(1)若
ABgAC?0
,求
c
的值;
(2)若
c?5
,求sin∠A的值
tanC?37
. 2、在
△ABC
中,角
A,B,C
的对
边分别为
a,b,c,
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(1)求
cosC
;
uuuruuur
5
(2)若
CB
g
CA?
,且
a?b?9
,求
c
.
2
3、在
△ABC
中,
a,b,c
分
别是三个内角
A,B,C
的对边.若
a?2,C?
π
,
4<
br>cos
B25
?
,求
△ABC
的面积
S
.
25
4、设锐角三角形
ABC
的内角
A,B,C
的对边分别为
a
,b,c
,
a?2bsinA
.
(Ⅰ)求
B
的大小;
(Ⅱ)若
a?33
,
c?5
,求
b
.
5、在
△ABC
中,
tanA?
(Ⅰ)求角<
br>C
的大小;
(Ⅱ)若
△ABC
最大边的边长为
17
,求最小边的边长.
13
,
tanB?
.
45
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答案
选择题
rrrr
rr
1、A. 已知向量
a?(?5,6),
b?(6,5)
,
a?b??30?30?0
,则
a
与
b
垂直。
2、C
2a?b=(3,n)
,由
2a?b
与
b
垂直可得:
2
(3,n)?(?1,n)??3?n?0?n??3
,
a?2
。
3、 解析:
a?a?a?b?1?1?1??
3
2
rrrr
1
2
3
,
2
4、A 在
?ABC中,已知D是AB边上一点,若
AD
=2
DB
,
CD
=
CA??CB
,则
uuuruuuruuuruuur
2
uu
uruuur
2
uuuruuur
CD?CA?AD?CA?AB?CA?(CB?C
A)
33
uuuruuuruuur
5、B
由向量的减法知
EF?OF?OE
6、
D
填空题
ur
2
uuur
1
uu
CA?CB
,∴
33
1
3
=
2
。
3
13
2).
a?b?
(?1,
22
r
rrrrrr
4?b
=
?11
,
?
.量
a?
?
b?(2?
?
,4?
?
)
,
b?(a
+
?
b)
,则2+
1、解析:已知向量
a
=
?2<
br>,,
λ+4+λ=0,实数
?
=
-
3.
rrrr
2
rrr
2
rr
1
11
【解析】
a
g
a?b?a?a?b?a?a?bcos60??1??
。
??
22
2
uuuruuur
3、解析:
AB
g
AC?(0,
1)?(?1,1)?0?(?1)?1?1?1.
2、
解答题
uuuruuur
1、解: (1)
AB?(?3,?4)
AC?(c?3,?4)
uuuruuur
25
由
AB
g
AC??3(c?3)?16?25?3c?0
得
c?
3
uuuruuur
(2)
AB?(?3,?4)
AC?(2,?4)
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uuuruuur
25
AB
g
AC?6?161
2
?
cos?A?
uuu
sin?A?1?cos?A?
ruuur
?
5
5205
AB
g
AC
2、解:(1)
QtanC?37,?
22
sinC
?37
cosC
1
.
8
1
QtanC?0
,
?C
是锐角.
?cosC?
.
8
uuuruuur
55
(2)
Q
CB
g
CA?
,
?abcosC?
,
?ab?20
.
22
又
QsinC?cosC?1
解得
cosC??
又
Qa?b?9
?a
2
?2ab?b
2
?81
.
?a
2
?b
2
?41
.
?c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC?36
.
?c?6
.
4
3
3、解:
由题意,得
cosB?,B
为锐角,
sinB?
,
5
5
sinA?sin(π?B?C)?sin
?
由正弦定理得
c?
4、解:(Ⅰ)由
a?2bsinA
,根据正
弦定理得
sinA?2sinBsinA
,所以
sinB?
由
△AB
C
为锐角三角形得
B?
2
?
3π
?
72
,
?B
?
?
410
??
10
111048
,
?
S?acgsinB??2???
.
22757
7
1
,
2
π
.
6
22
(Ⅱ)根据余弦定理,得
b?a?c?2accosB
?27?25?45
?7
.
所以,
b?
5、本小题主要考查两角和差公式,用同角
三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理
和运算能力,满分12分.
7
.
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实用标准文案
13
?
解:(Ⅰ)
QC?π?(A?B)
,
?tanC??tan(A?B)??
45
??1
.
13
1??
45
3
又
Q0?C?π
,
?C?
π
.
4
3
(Ⅱ
)
QC??
,
?AB
边最大,即
AB?17
.
4
又
Q
tanA
?
tanB
,
A
,
B
?
?
0
,
?
,
?
角
A
最小,
BC
边为最小边.
?
?
?
?
?
?
sinA1
?
tanA??,
?
?
π
?
由
?
cosA4
且
A?
?
0,
?
,
?
2
?
?
sin
2
A?cos
2
A?1
,
?
得
sinA?
17
ABBCsinA
.由得:
BC?ABg??2
.
17
sinCsinAsinC
所以,最小边
BC?
2
.
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