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高中的文科数学平面向量的知识点整理

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-22 10:02
tags:高中数学的知识点

怎样做合格的高中数学教师-微课在高中数学教学中的意义

2020年9月22日发(作者:欧信)


实用标准文案
高中文科数学平面向量知识点整理
1、概念
向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量.
有向线段的三要素:起点、方向、长度. 单位向量:长度等于
1
个单位的向量.
平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.
相等向量:长度相等且方向相同的向量.
相反向量:
a
=-
b?
b
=-
a
?
a+b
=
0
向量表示 :几何表示法
AB
;字母
a
表示;坐标表示:
a

xi

yj
=(



).
uuuruuur
r
r
r
向量的模:设
OA?a
,则有向线段< br>OA
的长度叫做向量
a
的长度或模,记作:
|a|
.
rr
2
r
2222

|a|?x?y,a?|a|?x?y
2
。)

零向量:长度为< br>0
的向量。
a
=O
?

a
|=O.

rr
rr
【例题】1.下列命题:(1)若
a?b
,则< br>a?b
。(2)两个向量相等的充要条
uuuruuur
件是它们的起点相同, 终点相同。(3)若
AB?DC
,则
ABCD
是平行四边形。(4)
rrrrrrrr
uuuruuur
rr

ABCD
是平行四边形, 则
AB?DC
。(5)若
a?b,b?c
,则
a?c
。(6 )若
ab,bc

rr

ac
。其中正确的是______ _
(答:(4)(5))
uurr
rr
2.已知
a,b
均为单位向量,它们的夹角为
60
o
,那么
|a?3b|
=____ _
(答:
13
);

2、向量加法运算:
⑴三角形法则的特点:首尾相连.
⑵平行四边形法则的特点:共起点.

精彩文档
C

r
a

ruuuruuur

r

r
uuu
a?b??C?????C

?
r
b
?


实用标准文案

⑶三角形不等式:
r
r
r
r
r
r
a?b? a?b?a?b

r
r
r
rr
r
r
r< br>rr
⑷运算性质:①交换律:
a?b?b?a
;②结合律:
a?b?c ?a?b?c

????
r
rr
rr

a?0?0?a?a

r
r
r
r
⑸坐标运算: 设
a?
?
x
1
,y
1
?

b?< br>?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?
?< br>x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?

3、向量减法运算:
⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. < br>r
r
r
r
⑵坐标运算:设
a?
?
x
1
,y
1
?

b?
?
x
2
,y< br>2
?
,则
a?b?
?
x
1
?x
2< br>,y
1
?y
2
?

uuur

?

?
两点的坐标分别为
?
x
1
,y
1?

?
x
2
,y
2
?
,则
? ??
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?


【例题】
uuuruuuruuuruuuruuuru uur
(1)①
AB?BC?CD?
___;②
AB?AD?DC?
____;

uuur
uuur
r
uuuruuuruuuruuur

(AB?CD)?(AC?BD)?
_____ (答:①
AD
;②
CB
;③
0
);
uuurru uurruuurr
rrr
(2)若正方形
ABCD
的边长为1,
A B?a,BC?b,AC?c
,则
|a?b?c|
=_____
(答:
22
);

uuruuruur
(3)已知作用在 点
A(1,1)
的三个力
F
1
?(3,4),F
2
?(2,?5),F
3
?(3,1)
,则合力
uruuruuruur
F?F
1
?F
2
?F
3
的终点坐标是
(答:(9,1))

4、向量数乘运算:
r
r
⑴实数
?
与向量
a
的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作
?
a

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实用标准文案
rr

?
a?
?
a

r
r②当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方 向相同;
r
r
r
r

?
?0
时,< br>?
a
的方向与
a
的方向相反;当
?
?0
时,
?
a?0

r
r
r
r
rrrrr
⑵运算律:①
?
?
?
a
?
?
?
???
a
;②
?
?
?
?
?
a?
?
a?
?
a
;③
?
a?b?
?
a?
?
b

??
r
r
⑶坐标运算:设
a?
?
x,y
?
,则
?
a?
?
?
x,y
?
?
?
?
x,
?
y
?

1
???
【例题】(1)若M(-3,-2),N(6,-1),且
MP??MN
,则点P的坐标为
3
_______
7
(答:
(?6,?)
);
3
r
rr
r
5、向量共线定理:向量
aa?0

b
共线,当且仅当有唯一一个实 数
?
,使
???
??
rr
r
r
rr
2
rr
2
r
r
b?
?
a
.设
a ?
?
x
1
,y
1
?

b?
?x
2
,y
2
?
,(
b?0

?(a? b)?(|a||b|)


rr
rr
【例题】 (1)若向 量
a?(x,1),b?(4,x)
,当
x
=_____时
a

b
共线且方向相同
rr
rrrrrr
rr
(2)已知
a?(1,1),b?(4,x)

u?a?2b

v?2a?b< br>,且
uv
,则
x=______
(答:2);
(答:4);
rrrrrrrr
6、向量垂直:
a?b?a?b?0?|a ?b|?|a?b|
?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
.

uuuruuur
uuuruuur
【例题】 (1)已知
OA?(?1,2),OB?(3,m)
,若
OA?OB
,则m?

3
);
2
(2)以原点O和A(4 ,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB,
?B?90?

(答:
则点B的 坐标是________
(3)已知
n?(a,b),
向量
n?m< br>,且
n?m
,则
m
的坐标是________
(答:
(b,?a)或(?b,a)



r
rur
rur
(答:(1,3)或(3,-1));
ur
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实用标准文案
7、平面向量的数量积: < br>r
r
r
r
r
r
r
r
o
⑴< br>a?b?abcos
?
a?0,b?0,0?
?
?180
o< br>.零向量与任一向量的数量积为
0

??
rr
r
r
r
r
rr
bb
⑵性质:设
a
和都是非零向量,则①
a?b?a?b?0
.②当
a
与同向时,
r
r
r< br>r
r
r
r
r
r
rrrr
2
r
rrr
a?b?ab
;当
a

b
反向时,a?b??ab ;
a?a?a
2
?a

a?a?a
.③
r
r
r
r
a?b?ab

r
r
rr
rr
r
rrr
r
r
r
r
r
r
r
⑶运算律:①
a?b?b?a
;②
?
?
a
?
?b?
?
a?b?a?
?
b
;③
a?b?c?a?c?b ?c

????
??
r
r
r
r
⑷坐标运 算:设两个非零向量
a?
?
x
1
,y
1
?

b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a? b?x
1
x
2
?y
1
y
2

r
r
2
r

a?
?
x,y
?
,则< br>a?x
2
?y
2
,或
a?x
2
?y
2

r
r

a?
?
x
1
,y< br>1
?

b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a

b
?
a
·
b
=0?
x
1
x
2

y
1
y
2=0.


a< br>∥
b
?
a

λb
(
b≠0
)
?
x
1
y
2


x
2
y
1
.

r
r
r
r
r
r
b

a

b
都是非零向量,
a?
?
x
1
,y
1
?

b?
?
x
2
,y
2
?

?

a
与的夹角,则
r
r
rrrr
x
1
x
2
?y
1
y
2
a?b
cos
?
?
r
r< br>?
;(注
|a?b|?|a||b|

2222
ab
x
1
?y
1
x
2
?y
2
【例题】 (1)△ABC中,
|
AB
|?3

|AC|?4
,< br>|BC|?5
,则
AB?BC?
_________
(答:-9);
rur
rrurrr
1
r
1
rr
?
(2) 已知
a?(1,),b?(0,?),c?a?kb,d?a?b

c
d
的夹角为,则
k

22
4
?????????
于____ (答:1);
rrrr
rr
(3)已知
a?2,b?5,a
g

b??3
,则
a?b
等于____ (答:
23
rrr
rrrr
rr
(4)已知
a,b
是两个非零向 量,且
a?b?a?b
,则
a与a?b
的夹角为____
(答:
30
o

(5)已知
a
?(
?< br>,2
?
)

b?(3
?
,2)
,如果
a

b
的夹角为锐角,则
?
的取值
4
1
范围是______ (答:
?
??< br>或
?
?0

?
?
);
3
3
(6)已知向量
a
=(sinx,cosx),
b
=(sinx,sinx),
c
=(-1,0)。
精彩文档
??
??


实用标准文案
(1)若x=



?
,求向量
a

c
的夹角; (答:150°);
3
r
8、
b

a
上的投影: 即
|b|cos
?
,它是一个实数,但不一定大于0。
【例题】已知
|
a
|?3

|b|?5
,且
a?b?12
,则 向量
a
在向量
b
上的投影为
12
______ (答:)

5
??
??
??



平面向量高考经典试题
一、选择题
rr
rr
1.已知向量
a?(?5,6)

b?(6,5)
,则
a

b

A.垂直 B.不垂直也不平行 C.平行且同向 D.平行且反向

2、已知向量
a?(1,n),b?(?1,n)
,若
2a?b< br>与
b
垂直,则
a?
( )
A.
1


rr
rrrr
rrrr
3、若向量a,b
满足
|a|?|b|?1

a,b
的夹角为60°,则< br>a?a?a?b
=______;
B.
2
C.
2
D.4

uuuruuuruuur
1
uu uruuur
CD?CA?
?
CB

4、在
△ABC
中,已知
D

AB
边上一点,若
AD?2DB,

?
?
( )
3
2
11
2
A. B. C.
?
D.
?

33
33

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实用标准文案
5、若O、E、F是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是 ( )
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
A.
EF?OF?OE
B.
EF?OF?OE

uuuruuuruuuruuuruuuruuur
EF??OF?OEEF??OF?OE
C. D.
6、已知平面向量
a?(11),,b?(1,?1)
,则向量
A.
(?2,?1)

C.
(?1,0)


二、填空题
1、已知向量
a=?2,,4?b=?11,?
.若向量
b?(a+
?
b)
,则实数
?
的值是





B.
(?2,1)

D.
(?1,2)


13
a?b?
( )
2 2
rr
rr
rrr
?
b
的夹角为
60
,< br>a?b?1
,则
a
g
a?b?

2、若 向量
a

??
3、在平面直角坐标系中,正方形
OABC
的 对角线
OB
的两端点分别为
O(0,0)

B(11),

uuuruuur
AB
g
AC?




三、解答题:

1、已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3,4 )、B(0,0)、C(
c
,0).
(1)若
ABgAC?0
,求
c
的值;
(2)若
c?5
,求sin∠A的值


tanC?37
. 2、在
△ABC
中,角
A,B,C
的对 边分别为
a,b,c,
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实用标准文案
(1)求
cosC

uuuruuur
5
(2)若
CB
g
CA?
,且
a?b?9
,求
c


2


3、在
△ABC
中,
a,b,c
分 别是三个内角
A,B,C
的对边.若
a?2,C?
π

4< br>cos


B25
?
,求
△ABC
的面积
S

25
4、设锐角三角形
ABC
的内角
A,B,C
的对边分别为
a ,b,c

a?2bsinA

(Ⅰ)求
B
的大小;
(Ⅱ)若
a?33

c?5
,求
b




5、在
△ABC
中,
tanA?
(Ⅰ)求角< br>C
的大小;
(Ⅱ)若
△ABC
最大边的边长为
17
,求最小边的边长.
13

tanB?

45





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实用标准文案
答案
选择题
rrrr
rr
1、A. 已知向量
a?(?5,6)
b?(6,5)

a?b??30?30?0
,则
a

b
垂直。
2、C
2a?b=(3,n)
,由
2a?b

b
垂直可得:
2

(3,n)?(?1,n)??3?n?0?n??3

a?2

3、 解析:
a?a?a?b?1?1?1??
3
2
rrrr
1
2
3

2
4、A 在 ?ABC中,已知D是AB边上一点,若
AD
=2
DB

CD
=
CA??CB
,则
uuuruuuruuuruuur
2
uu uruuur
2
uuuruuur
CD?CA?AD?CA?AB?CA?(CB?C A)
33
uuuruuuruuur
5、B 由向量的减法知
EF?OF?OE

6、
D

填空题
ur
2
uuur
1
uu
CA?CB
,∴
33
1
3
=
2

3
13
2).

a?b?
(?1,
22
r rrrrrr
4?b
=
?11

?
.量
a?
?
b?(2?
?
,4?
?
)

b?(a
+
?
b)
,则2+
1、解析:已知向量
a
=
?2< br>,,
λ+4+λ=0,实数
?
=

3.

rrrr
2
rrr
2
rr
1
11
【解析】
a
g
a?b?a?a?b?a?a?bcos60??1??

??
22
2
uuuruuur
3、解析:
AB
g
AC?(0, 1)?(?1,1)?0?(?1)?1?1?1.

2、

解答题
uuuruuur
1、解: (1)
AB?(?3,?4)

AC?(c?3,?4)

uuuruuur
25

AB
g
AC??3(c?3)?16?25?3c?0

c?

3
uuuruuur
(2)
AB?(?3,?4)

AC?(2,?4)

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实用标准文案
uuuruuur
25
AB
g
AC?6?161
2
?

cos?A?
uuu

sin?A?1?cos?A?

ruuur
?
5
5205
AB
g
AC

2、解:(1)
QtanC?37,?

22
sinC
?37

cosC
1

8
1

QtanC?0

?C
是锐角.
?cosC?

8
uuuruuur
55
(2)
Q
CB
g
CA?

?abcosC?

?ab?20

22

QsinC?cosC?1
解得
cosC??




Qa?b?9

?a
2
?2ab?b
2
?81

?a
2
?b
2
?41

?c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC?36

?c?6

4
3
3、解: 由题意,得
cosB?,B
为锐角,
sinB?

5
5

sinA?sin(π?B?C)?sin
?
由正弦定理得
c?

4、解:(Ⅰ)由
a?2bsinA
,根据正 弦定理得
sinA?2sinBsinA
,所以
sinB?

△AB C
为锐角三角形得
B?
2
?

?
72

?B
?
?
410
??
10
111048

?

S?acgsinB??2???

22757
7
1

2
π

6
22
(Ⅱ)根据余弦定理,得
b?a?c?2accosB
?27?25?45
?7

所以,
b?

5、本小题主要考查两角和差公式,用同角 三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理
和运算能力,满分12分.
7

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实用标准文案
13
?
解:(Ⅰ)
QC?π?(A?B)

?tanC??tan(A?B)??
45
??1

13
1??
45
3

Q0?C?π

?C?
π

4
3
(Ⅱ )
QC??

?AB
边最大,即
AB?17

4

Q
tanA
?
tanB

A

B
?
?
0

?

?

A
最小,
BC
边为最小边.
?
?
?
?
?
?
sinA1
?
tanA??,
?
?
π
?

?
cosA4

A?
?
0,
?

?
2
?
?
sin
2
A?cos
2
A?1 ,
?

sinA?
17
ABBCsinA
.由得:
BC?ABg??2

17
sinCsinAsinC
所以,最小边
BC?











2


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