高中数学试卷打分-江苏高中数学零点问题
高中数学一类应用题的统一解法
有关应用题中最值问题,在实际条件的约
束下,不能仅靠使用重要不等式求
出最值,需要借助比较法,把问题转化为与端点值的大小关系问题。
例1 某种印刷品,单面印刷,其版面(如图中阴影部分)排成矩形,版面
面积为A,它的
左右两边都要留宽为a的空白,上下两边都要留有宽为b的空白,
且印刷品左右长度不超过定值l。问:
如何选择尺寸(纸张也是矩形),才能使
印刷品所用纸张面积最小?从而使印刷的总用纸量最小。
b
a
b
图1
a
解:设版面左、右长为x,上、下宽为y
则有
A?xy
(x>0,y>0)
设每张印刷品所用纸张面积为S
则
S?(x?2a)(y?2b)?(A?4ab)
?(2bx?2a?
(1)当
2a?
2bx?2a?
A
)(0?x?
l?2a)
x
aA
?l
时,
b
A
?4abA
,
x
A
当且仅当
2bx
?2a?
时取“=”号,解得
x?
x
aAbA
,y?ba
即此时左右长为
2a?
(2)当
2a?
aAbA
,
上下宽为
2b?
ba
aA
?l
时
b
aA
因为
0?x?l?2a?
b
所以
(l?2a)?x?0
aAaA
??aA
bb
2AaA
]?(bx?)
所以
[b(l?2a)?
l?2ax
b(l?2a)x?aA
?0
?[(l?2a)?x]?
(l?2a)x
且
bx?(l?2a)?b?当
x?l?2a
时取等号,即选择左、右尺寸为l,上、下尺寸为
2b?
A
用
l?2a
纸量最小。
2b+
综上所述,当
2a?
aAaA
时,上、下尺寸为
?l
时,选择左
右尺寸为
2a?
bb
bA
;
a
当
2a?
A
aA
所用纸量
?l
时,选择左、右尺寸为l,上、下尺寸为
2b?
l?2a
b
最小。
例2 一船由甲地逆水匀速行驶至乙地,甲、乙两地
相距s(千米),水速
为常量p(千米时),船在静水中的最大速度为q(千米时)(q>p)。已知船
每小时燃料费用(以元为单位)与船在静水中速度v(千米时)的平方成正比,
比例系数为k。
(I)把全程燃料费用y(元)表示为静水中速度v(千米时)的函数,并指
出这个函数的定义域;
(II)为了使全程燃料费用最小,船的实际前进速度应为多少?
s
解:(I)
依题意知船由甲地匀速行驶至乙地所用的时间为,全程燃料
v?p
s
费用为:
y?kv
2
?
,故所求函数及其定义域为:
v?p
sv
2
y?kv??ks?,v?(p,q]
v?pv?p
2
(II)由题意知k、s、v、p、q均为正数,且v>p,故有
p
2
y?ks[(v?p)??2p]
v?p
?ks(2p?2p)?4ksp
p
2
当且仅当
v?p?
,即
v?2p
时上式取等号
v?p
若
2p?q
,则当
v?2p
时,全程燃料费用y最小
。
若2p>q,当
v?(p,q]
时,有
v
2
q
2
ks??ks?
v?pq?p
(q?v)(pq?pv?qv)
?ks?
(v?p)(q?p)
因
p?v?
q?2p,故v?p?0,q?p?0,q?v?0
又
pq?pv?qv?pv?pv?qv?(2p?q)v?0
v
2
q
2
所以
ks?
?ks?
v?pq?p
当且仅当v=q时等号成立,即当v=q时,全程燃料费用最小。
综上知,为使
全程燃料费用最小,当
2p?q
时,船的实际前进速度为p;当
2p>
q时,船的实际前进速度应为
q?p
。
例3 甲、乙两地相距s千米,汽车从甲
地匀速行驶到乙地,速度不得超过
c千米时。已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固
定部分组
成:可变部分与速度v(千米时)的平方成正比,比例系数为b;固定部分为a
元。
(I)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米时)的函数,并指出这个
函数的定义域;
(II)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?
s
解:(I)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为,全程运输成本
v
为
ssa
y?a??bv
2
??s(?bv)
vvv
故所求函数及其定义域为:
a
y?s?(?bv),v?(0,v]
v
a
(II)依题意知s,a,b,v都为正数,故有
s(?bv)?2sab
v
aa
当且仅当
?bv,即v?
时上式中等号成立
vb
aa
若时上式中等号成立
?c,则当v?
bb
a
若
?c,当v?(0,c]
时,有
b
aa
s(?bv)?s(?bc)
vc
aa
?s[(?)?(bv?bc)]
vc
s
?(c?v)(a?bcv)
vc
因为
c?v?0,且a?bc
2
,故有
a?bcv?a?bc
2
?0
aa
所以
s(?bv)?s(?bc)
,且仅当v=c时等号成立。也即当
v=c时,全程运
vc
输成本y最小。
abab
综上知,为使全程运输成
本y最小,当;
?c
时行驶速度应为
v?
bb
ab
当
?c
时行驶速度应为v=c。
b
哈尔滨师范大学(150080)