高中数学一类应用题的统一解法知识点分析

高中数学一类应用题的统一解法

有关应用题中最值问题，在实际条件的约 束下，不能仅靠使用重要不等式求
出最值，需要借助比较法，把问题转化为与端点值的大小关系问题。
例1 某种印刷品，单面印刷，其版面（如图中阴影部分）排成矩形，版面
面积为A，它的 左右两边都要留宽为a的空白，上下两边都要留有宽为b的空白，
且印刷品左右长度不超过定值l。问： 如何选择尺寸（纸张也是矩形），才能使
印刷品所用纸张面积最小？从而使印刷的总用纸量最小。






b
a
b
图1
a
















解：设版面左、右长为x，上、下宽为y
则有
A?xy
（x>0，y>0）
设每张印刷品所用纸张面积为S
则
S?(x?2a)(y?2b)?(A?4ab) ?(2bx?2a?
（1）当
2a?
2bx?2a?
A
)（0?x? l?2a）

x
aA
?l
时，
b
A
?4abA
，
x
A
当且仅当
2bx ?2a?
时取“=”号，解得
x?
x
aAbA

，y?ba
即此时左右长为
2a?
（2）当
2a?
aAbA
， 上下宽为
2b?

ba
aA
?l
时
b
aA
因为
0?x?l?2a?

b
所以
(l?2a)?x?0

aAaA
??aA

bb
2AaA
]?(bx?)
所以
[b(l?2a)?
l?2ax
b(l?2a)x?aA
?0

?[(l?2a)?x]?
(l?2a)x
且
bx?(l?2a)?b?当
x?l?2a
时取等号，即选择左、右尺寸为l，上、下尺寸为
2b?
A
用
l?2a

纸量最小。

2b+
综上所述，当
2a?
aAaA
时，上、下尺寸为
?l
时，选择左 右尺寸为
2a?
bb
bA
;
a
当
2a?
A
aA
所用纸量
?l
时，选择左、右尺寸为l，上、下尺寸为
2b?
l?2a
b
最小。
例2 一船由甲地逆水匀速行驶至乙地，甲、乙两地 相距s（千米），水速
为常量p（千米时），船在静水中的最大速度为q（千米时）（q>p）。已知船
每小时燃料费用（以元为单位）与船在静水中速度v（千米时）的平方成正比，
比例系数为k。
（I）把全程燃料费用y（元）表示为静水中速度v（千米时）的函数，并指
出这个函数的定义域；
（II）为了使全程燃料费用最小，船的实际前进速度应为多少？
s
解：（I） 依题意知船由甲地匀速行驶至乙地所用的时间为，全程燃料
v?p
s
费用为：
y?kv
2
?
，故所求函数及其定义域为：
v?p



sv
2
y?kv??ks?，v?(p，q]

v?pv?p
2
（II）由题意知k、s、v、p、q均为正数，且v>p，故有
p
2
y?ks[(v?p)??2p]

v?p
?ks(2p?2p)?4ksp



p
2
当且仅当
v?p?
，即
v?2p
时上式取等号
v?p
若
2p?q
，则当
v?2p
时，全程燃料费用y最小 。
若2p>q，当
v?(p，q]
时，有






v
2
q
2
ks??ks?
v?pq?p

(q?v)(pq?pv?qv)
?ks?
(v?p)(q?p)
因
p?v? q?2p，故v?p?0，q?p?0，q?v?0

又
pq?pv?qv?pv?pv?qv?(2p?q)v?0

v
2
q
2
所以
ks?

?ks?
v?pq?p
当且仅当v=q时等号成立，即当v=q时，全程燃料费用最小。
综上知，为使 全程燃料费用最小，当
2p?q
时，船的实际前进速度为p；当

2p> q时，船的实际前进速度应为
q?p
。
例3 甲、乙两地相距s千米，汽车从甲 地匀速行驶到乙地，速度不得超过
c千米时。已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固 定部分组
成：可变部分与速度v（千米时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a
元。
（I）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米时）的函数，并指出这个
函数的定义域；
（II）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
s
解：（I）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本
v
为
ssa
y?a??bv
2
??s(?bv)

vvv
故所求函数及其定义域为：
a
y?s?(?bv)，v?(0，v]

v
a
（II）依题意知s，a，b，v都为正数，故有
s(?bv)?2sab

v
aa
当且仅当
?bv，即v?
时上式中等号成立
vb
aa
若时上式中等号成立
?c，则当v?
bb
a
若
?c，当v?(0，c]
时，有
b
aa

s(?bv)?s(?bc)

vc
aa
?s[(?)?(bv?bc)]
vc

s
?(c?v)(a?bcv)
vc
因为
c?v?0，且a?bc
2
，故有
a?bcv?a?bc
2
?0

aa
所以
s(?bv)?s(?bc)
，且仅当v=c时等号成立。也即当 v=c时，全程运
vc
输成本y最小。
abab
综上知，为使全程运输成 本y最小，当；
?c
时行驶速度应为
v?
bb
ab
当
?c
时行驶速度应为v=c。
b
哈尔滨师范大学（150080）