高中数学 知识点考点解析含答案 知识讲解_二倍角的正弦、余弦、正切公式_基础

二倍角的正弦、余弦和正切公式

【学习目标】
1． 能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了解它们之间的内
在联系 .
2．能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式．但不要 求
记忆），能灵活地将公式变形并运用．
3．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高 运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉
性，体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作 用.
【要点梳理】
要点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin2
?
?2sin
??cos
?
(S
2
?
)

cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
(C
2
?
)
?2cos
2
?
?1
?1?2sin
2?

tan2
?
?
2tan
?
(T
2
?
)

2
1?tan
?

要点诠释： < br>(1)公式成立的条件是：在公式
S
2
?
,C
2
?< br>中，角
?
可以为任意角，但公式
T
2
?
中，只有当< br>?
?
?
2
?k
?
及
?
?
?
4
?
k
?
(k?Z)
时才成立；
2
3< br>?
??
是的二倍、
3
?
是的
2
24
(2)倍角公式不仅限于
2
?
是
?
的二倍形式，其它如
4< br>?
是
2
?
的二倍、
二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两 个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运
用公式的关键. 如：
sin?
?2sin
?
2
cos
?
2
；
si n
?
2
n
?2sin
?
2
cos
n?1< br>?
2
n?1
(n?Z)

2．和角公式、倍角公式之间的内在联系
在两角和的三角函数公式
S
?< br>?
?
,C
?
?
?
,T
?
?
?
中，当
?
?
?
时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们
的内在联系如下：

要点二：二倍角公式的逆用及变形
1．公式的逆用
1
2sin
?
cos
?
?sin2
?
；
sin
?
cos
?
?sin2
?
．
2
cos
2
?
?sin
2
?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
?cos2
?
．
2tan
?
?tan2
?
．
1?tan
2
?
2．公式的变形
1?sin2
?
?(sin
?
?cos
?
)
2
；
降幂公式：cos
2
?
?
1?cos2
?
1?cos2
?

,sin
2
?
?
22
22
升幂公式：< br>1?cos2
?
?2cos
?
,1?cos2
?
?2 sin
?

要点三：两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型
求值题、化简题、证明题
1．对公式会“正着用”，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用 方法：因式分解、配方、凑项、添项、
换元等；
2．掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如
?
? (
?
?
?
)?
?
,2
?
?(
?< br>?
?
)?(
?
?
?
)
等等，把握式子的变形 方向，准确运用公式，也要抓住角之
间的规律(如互余、互补、和倍关系等等)；
3．将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一章与第三章的紧密衔接.
【典型例题】
类型一：二倍角公式的简单应用
例1．化简下列各式：
（1）
4sin< br>?
2
cos
?
2
；（2）
sin
2
?
8
?cos
2
?
8
；（3）
tan37.5?< br>．
1?tan
2
37.5?
【思路点拨】逆用二倍角的正弦、余弦和正切公式．
【答案】（1）
2sin
?
（2）
?
【解析】 （1）
4sin
22?3
（3）
22
?
2
cos
?
2
?2?2sin
?
2
cos
?
2?2sin
?
．
（2）
sin
2
?
8
?cos
2
???
?
?
2
?
．
??< br>?
cos
2
?sin
2
?
??cos??
8 8842
??
（3）
tan37.5?12sin37.5?12?3
??? tan75??
．
1?tan
2
37.5?21?tan
2
37.5?22
【总结升华】本题的解答没有去就单个角求其函数值，而是将所给式子作为一个整体变 形，逐步向二
倍角公式的展开形式靠近，然后逆用倍角公式，要仔细体会本题中的解题思路．
举一反三：

2tan75
o
??
??
??
??
2
?
?sin
??
cos? sin
?
；【变式1】求值：（1）
?
cos
（2）
2co s
（3）．
?1
；
2
o
12121212
1?t an75
8
????
【答案】（1）
3
2
；（2）；（3）
?3

2
2
2
【解析】（1）原式=
cos
?
12
?sin
2
?
12
?cos
?
6
?
3
；
2
（2）原式=
cos(2?
?
8
)?cos
?
4
o
?
2
；
2
oo
（3）原式=
tan150?tan(180?30)??tan30??
类型二 ：利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值
例2． 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值．
【思路点拨】解这类题型有两种方法：
方法一：适用
sin
?
?
o
3
．
3
sin2
?
，不断地使用二倍角的正弦公式．
2cos
?
sin2
?
进行化简．
2sin
?< br>方法二：将正弦题目中的正弦形式全部转化为余弦形式，利用
cos
?
?
【答案】
1

16
sin20?sin50?sin70?
2cos10?
sin20?cos20?sin50?sin40?sin50?sin40?c os40?sin80?1
?????
．
2cos10?4cos10?4cos1 0?8cos10?8
1
∴
sin10?sin30?sin50?sin70??< br>
16
12sin20?cos20?cos40?cos80?
方法二：原式
?cos20?cos40?cos80??

24sin20?
sin40 ?cos40?cos80?sin80?cos80?1sin160?1
?????
．
4sin20?2sin20?16sin20?16
【解析】方法一：
sin10 ?sin50?sin70??
【总结升华】本题是二倍角公式应用的经典试题．方法一和方法二通过观 察角度间的关系，发现其特
征（二倍角形式），逆用二倍角的正弦公式，使得问题出现连用二倍角的正弦 公式的形式．在此过程中还
应该看到化简以后的分子分母中的角是互余（补）的关系，从而使最终的结果 为实数．利用上述思想，我
sin2
n?1
?
们还可以把问题推广到一般的情 形：一般地，若
sin
?
?0
，则
cos
?
cos 2
?
cos4
?
Lcos2
?
?
n?1
．
2sin
?
n
举一反三：
【变式1】求值：sin10°cos40°sin70°．
【解析】原式
?cos 20?cos40?cos80??
2sin20?cos20?cos40?cos80?

2sin20?

2sin40?cos40?cos80?2sin80?cos80?

?
4sin20?8sin20?
sin160?sin20?1
???
．
8sin20?8sin20?8
?
类型三：利用二倍角公式化简三角函数式
例3．化简下列各式：
(1)
sin
?
?sin2
?1?cos
?
?cos2
?
(2)1?sin4

【思 路点拨】（1）观察式子分析，利用二倍角公式把倍角展开成单角，再进行化简．（2）观察式子分
析， 利用二倍角公式把倍角展开成单角，利用平方差公式进行化简．
【答案】（1）
tan
?
（2）
sin2?cos2
【解析】(1)
sin
?
?sin2
?
sin
?
?2sin
?
?cos
?
sin
?
(1?2cos
?
)
???tan
?
.

1?cos
?
?cos2
?
cos
?
(1?2cos
?
)
cos
?
?2cos
2
?
(2)
1?sin4

?sin
2
2?2sin2?cos2?cos
2
2?(sin2?cos2 )
2
?|sin2?cos2|?sin2?cos2.

22
【总 结升华】①余弦的二倍角公式的变形形式：
1?cos2
?
?2cos
?,1?cos2
?
?2sin
?
．经常起
2
到消除式子 中1的作用．②由于
sin2
?
?2sin
?
?cos
?< br>，从而1?sin2
?
?(sin
?
?cos
?
)< br>，可进行无理
式的化简和运算．
例4．（2015秋 安徽阜阳期末）已知
0 ?
?
?
?
2
，且
sin
?
?
3< br>
5
2sin
2
?
?sin2
?
（1）求的值； < br>cos2
?
（2）求
tan(
?
?
5
?)
的值．
4
2sin
2
?
?sin2
?【思路点拨】（1）根据角的范围求出cos
?
，tan
?
，然后通过二 倍角公式转化，分
cos2
?
子分母同除cos2
?
，代入tan< br>?
，即可求出值．
（2）直接利用两角和的正切函数，展开代入tan
?
的值求解即可．
【答案】（1）6；（2）7
【解析】（1）由
sin
?
?
3
?
43
又
0?
?
?
，∴
cos
?
?
，
tan
?
?

5254
2sin
2
?
?sin2
?
2sin
2
?
?2si n
?
?cos
?
?
∴
22
cos2
?
cos
?
?sin
?

3
2sin
?
2tan
?
4
?6

???
cos
?
?sin
?
1?tan
?
1?(
3
)
4
53
tan
?
?tan
?
?1
5tan
?
?1
44
（2）
tan(
?
?
?
)????7

53
41?tan
?
1?t an
?
?tan
?
1?
44
2?
举一反三：
【变式1】（1）
1?sin6
的化简结果是
．

3sin2
?
?
（2）
已知
sin
?
?
，且
α
∈( ，
π
)，则 的值为 ．
5cos
2
?< br>2
3
【答案】（1）
sin3?cos3
（2）
?

2
【解析】
（1）原式=
1?sin3cos3

=
(sin3?cos3)
2

=
|sin3?cos3|

=
sin3?cos3

（2）因为
sin
?
?
342sin
?
cos?
353
?
，且
α
∈( ，
π
)，所以
cos
?
??
，原式=．
?2?? (?)??
2
55cos
?
542
2
类型四：二倍角公式在 三角函数式给值求值题目中的应用
【高清课堂：倍角、半角公式370633 例2】
例5．求值：
（1）已知
sin(
?
3
?
?)?
，求
cos(
?
?)
．
6
1225
?
)?m
，求
sin2
?
．
?
（2）已知
sin(
?
?
4
【思路点拨】观察所 求的角与已知角的关系，发现它们是二倍的关系，所以用二倍角公式去求解．
【答案】（1）
【解析】
（1）
cos(
?
?
7
2
（2）
2m?1

25
?
?
?
??
??
?
)?cos
?
?
?
?
?cos 2
?
?
?

6
?
6
??
122
?
2
=
1?2sin
?
=
1?2?
?
??
?
?
?

?
122
?
9

25

=
7

25
（2）
sin 2
?
??cos(
?
?
?
?
?
?
?2
?
)
=
?
?
1?2sin
2
?
?
?
?
?

2
?
4
?
??
2
=
?1?2sin
?
=
2m?1

2
?
?
?
?
?
?

?
4
?
【总结升华】给值求值是求值问题中常见的题型，求解的要点是利用公式沟通已知条件和所求 式子之间
的联系，考查公式运用和变换的技巧．
举一反三：
【变式1】 已知sin
?
?cos
?
?
1
，且
0?
?
?
?
，求
sin2
?
，
cos2
?
，
tan2
?
的值．
3
【答案】
?

?
8
9
17817

917
【解析】由
sin
?
?cos
?
?
即
1?2sin
?
cos
?
?
11
2
，得
(sin
?
?c os
?
)?
，
39
18
，∴
sin2
?
?2sin
?
cos
?
??

99
11< br>由
sin
?
?cos
?
?
，得
cos
?
??sin
?
，
33
?
1
?
∴cos
?
?
?
?sin
?
?
．
?< br>3
?
2
2
即
1?sin
2
?
??s in
?
?sin
2
?
．
2
1
9
2
3
整理得
9sin
?
?3sin
?
?4?0．
解得
sin
?
?
1?171?17
或
si n
?
?
（舍去）．
66
2
?
1?17
?
17
2
??
∴
cos2
?
?1?2sin
?
?1?2?
?
．
?
?
6
?
9
??
∴
tan2
?
?
sin2
?
817
?
．
cos2
?
17
【总结升华】解题过程中注意角
?的范围的判定．

【变式2】（2016 天津红桥区模拟）已知
?
是第二象限角，且
sin
?
?

15
，
4

（1）求cos2
?
的值；
（2）求
sin(
?
?
?
6
)
的值．
【答案】（1）
?
35?1
7
；（2）
8
815
【解析】（1）因为
?
是第二象限角，
sin
?
?
4
，
所以，
cos2
?
?1?2sin
2
?
?1?2?
15
16
??
7
8
．
（ 2）又
?
是第二象限角，故
cos
?
??1?
15
16
??
1
4
．
所以
sin(
?
??
6
)?
153
42
?(?
1135?1
4< br>)
2
?
8
．
类型五：二倍角公式的综合应用
【高清课堂：倍角、半角公式370633 例3】
例6．已知
f(x)?sin
2
x?2sinxcosx?3cos
2
x
，求：
（1）f (x)的最大值以及取得最大值的自变量的集合；
（2）f (x)的单调区间．
【思路点 拨】用降幂公式把原式降幂，然后用辅助角公式化成
Asin(
?
x?
?)?k
的形式．
【答案】（1）
2?2

?
?< br>x|x?k
?
?
?
??
3
??
?
?
8
,k?z
?
?
（2）单增区间
?
?
k
?
?
8
,k
?
?
8
?
?
,k?z
?
?
?
k
?
?
?
8
,k
?
?
5
?
?
8
?
?
,k?z
【解析】
（1）原式=
1?sin2x?cos2x?1

=
sin2x?cos2x?2

=
2sin(2x?
?
4
)?2

则当
2x??
4
?2k
?
?
?
2
,
即
?
?
?
x|x?k
?
?
?
?
8
,k ?z
?
?
时，

f
max
(x)?2?2

（2）f (x)的单调递增区间为：< br>2k
?
?
?
2
?2x?
?
4
?2k
?
?
?
2
，则

x?
??
k
?
?
3
?
8
,k
?
?< br>?
?
?
8
?
?
,k?z

f (x )的单调递减区间为：
2k
?
?
?
3
?
2
?2x?
?
4
?2k
?
?
2
，则

单减区间

x?
?
k
?
?
?
?
?
8
,k
?
?
5
?
?
,k?z

?
8
?
【总结升华】本 题主要考查特殊角的三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦公式及
（1）缩角升幂公式
y?Asin(
?
x?
?
)
的性质等知识．要记住倍角公式两类重 要变形并能熟练应用：
?
??
?
1?sin
?
?
?
sin?cos
?
22
??
1?cos
?
?2si n
2
2
，
?
??
?
1?sin
?
?
?
sin?cos
?
22
??
2
2
．< br>1?cos
?
?2cos
2
?
2
，
?
2
．（2）扩角降幂公式
cos
?
?
1?cos2
?1?cos2
?
2
，
sin
?
?
．
22
例7．已知向量
a?(1?sin2x,sinx?cosx)
，
b?( 1,sinx?cosx)
，求函数
f(x)?a?b
．
（1）求
f(x)
的最大值及相应的x值；
（2）若
f(
?
)?
8
?
?
?
，求
cos2
?
?2
?
?
的值．
5
?
4
?
【思路点拨】 利用向量数量积公式的坐标形式，将题设条件中所涉及的向量数量积转化为三角函数中
的“数量关系”， 从而建立函数f(x)关系式．
【答案】（1）
2?1

x?k
?
?
3
?
16
(k?Z)
（2）
8
25
【解析】（1）因为
a?(1?sin2x,sinx?cosx)< br>，
b?(1,sinx?cosx)
，
22
所以
f(x)? 1?sin2x?sinx?cosx?1?sin2x?cos2x?
?
??
2si n
?
2x?
?
?1
．
4
??
3
?
(k?Z)
时，
f(x)
取得最大值
2?1
．
428
839
（2）由
f(
?
)?1?sin2
?
?cos2
?
及
f(
?
)?
得
sin2
?
?cos2
?
?
，两边平方得
1?sin4
?
?< br>，
5525
因此，当
2x?
?
?2k
?
?< br>?
，即
x?k
?
?
即
sin4
?
?
16
16
?
?
??
?
?
．因此，
cos2
?
?2
?
?
?cos
?
?4
?< br>?
?sin4
?
?
．
4225
25
????

举一反三：
【变式1】（2015秋 朝阳区期中）已知函数
f(x)?23sin
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调递减区间．
【答案】（1）2π；（2）
[2k
?
?
xxx
cos?2cos
2
．
222
?
3
,2k
?
?
4
?
]
，k∈Z．
3< br>【解析】（1）由已知可得：
f(x)?3sinx?cosx?1?2sin(x?
?
6
)?1
．

所以f（x）的最小正周期为2π．
（2）由
2k
?
?
?
26
?
4
?
得
2k
?
??x?2k
??
，k∈Z．
33
?x?
?
?2k
?
?3
?
，k∈Z，
2
因此函数f（x）的单调递减区间为
[2k
?
?
?
3
,2k
?
?
4
?
]
，k∈Z．
3
【变式2】已知向量m=（sinA，cosA），
n? (3,?1)
，m·n=1，且A为锐角．
（1）求角A的大小；
（2）求函数
f(x)?cos2x?4cosAsinx
（x∈R）的值域． 【答案】（1）
3
?
?
?
（2）
?
?3,?

2
?
3
?
【解析】（1）由题意，得
m? n?3sinA?cosA?1
，
?
?
?
?
1
? ?
2sin
?
A?
?
?1
，
sin
?A?
?
?
．
6
?
6
?
2
? ?
由A为锐角得
A?
?
66
1
（2）由（1）知
c osA?
，
2
?
?
，
A?
?
3
．
1
?
3
?
所以
f(x)?cos2x?2sinx?1?2sinx?2si nx??2?
?
sinx?
?
?
．因为x∈R，所以sinx∈[－
2
?
2
?
2
2
1,1]．
因此，当
sinx?
的值域是
?
?3,
?
．
2
1
3
时，
f(x)
有最大值，当sin x=－1时，< br>f(x)
有最小值－3，所以所求函数
f(x)
2
2
?
?
3
?
?