高中数学 函数的对称性和周期性知识点精析 新人教B版必修1

函数的对称性和周期性知识点精析
1．周期函数的定义

周期函数的定义：对于
f(x)
定义域内的每一个
x
，都存在非零常数
T
，使得
f(x?T)?f(x)
恒成立，则称函数
f(x)
具 有周期性，
T
叫做
f(x)
的一个周期，
则
kT
（
k?Z,k?0
）也是
f(x)
的周期，所有周期中的最小正数叫
f(x)
的最小正
周期.

2．
函数的轴对称：
定理1： 如果函数
y?f(x)
满足
f(a?x)?f(a?x)
，则函数
y ?f(x)
的图象
关于直线
x?a
对称.
定理2：如果函数
y?f(x)
满足
f
?
x
?
?f
?
2a ?x
?
，则函数
y?f(x)
的图象
关于直线
x?a
对称.
定理3：如果函数
y?f(x)
满足
f
?
?x
?
?f
?
2a?x
?
，则函数
y?f(x)
的图
象关于直线
x?a
对称.
定理4：如果函数
y?f(x)< br>满足
f(a?x)?f(b?x)
，则函数
y?f(x)
的图象
关于直线
x?
a?b
对称.
2
定理5：如果函数
y?f (x)
满足
f(x)?f(?x)
，则函数
y?f(x)
的图象关于
直线
x?0
（y轴）对称.
3.函数的点对称：
定理1：如果函 数
y?f(x)
满足
f(a?x)?f(a?x)?2b
，则函数
y ?f(x)
的
图象关于点
(a,b)
对称.
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1

定理2：如果函数
y?f(x)
满足< br>f
?
x
?
?f
?
2a?x
?
?2b
，则函数
y?f(x)
的
图象关于点
(a,b)
对称. < br>定理3：如果函数
y?f(x)
满足
f
?
?x
??f
?
2a?x
?
?2b
，则函数
y?f(x)
的
图象关于点
(a,b)
对称.
定理4：如果函数
y?f(x)
满足
f(a?x)?f(a?x)?0
，则函数
y?f(x)
的图象关于点
(a,0)
对称.
定理5：如果函数
y?f(x)
满足
f(x)?f(?x)?0
，则函数
y?f(x)
的图象关
于原 点
(0,0)
对称.
4．函数的对称性与周期性的联系
定理3：若函数< br>y?f(x)
在R上满足
f(a?x)?f(a?x)
，且
f(b?x )?
a?b
）
f(?b
（其中
)x
，则函数
y?f (x)
以
2(a?b)
为周期.
定理4：若函数
y?f( x)
在R上满足
f(a?x)??f(a?x)
，且
a?b
）
f(b?x)??f(b?
（其中
)x
，则函数
y?f(x)
以< br>2(a?b)
为周期.
定理5：若函数
y?f(x)
在R上 满足
f(a?x)?f(a?x)
，且
a?b
）
f(b?x)??f (b?
（其中
)x
，则函数
y?f(x)
以
4(a?b)< br>为周期.
以上几类情形具有一定的迷惑性,但读者若能区分是考查单一函数还是两个函
数,同时分析条件特征必能拨开迷雾,马到成功.下面以例题来分析.

5．几种特殊抽象函数的周期：
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2

①
f
?
x
?
?f
?< br>x?a
?
，则
y?f
?
x
?
是以
T ?a
为周期的周期函数；
②
f
?
x?a
?
? ?f
?
x
?
，则
f
?
x
?
是以< br>T?2a
为周期的周期函数；
③
f
?
x?a
???
函数
y?f
?
x
?
满足对定义域内任一实数
x
（其中
a
为常数）,
1
，则
f
?
x
?
是以
T?2a
为周期的周期函数；
f
?
x
?
④
f
?
x?a
?
?f
?
x?a
?
，则
f
?
x
?< br>是以
T?2a
为周期的周期函数；
⑤
f(x?a)?
1?f (x)
，则
f
?
x
?
是以
T?2a
为周期 的周期函数.
1?f(x)
1?f(x)
，则
f
?
x?
是以
T?4a
为周期的周期函数.
1?f(x)
⑥
f(x?a)??
⑦
f(x?a)?
1?f(x)
，则
f
?
x
?
是以
T?4a
为周期的周期函数.
1?f(x)⑧函数
y?f(x)
满足
f(a?x)?f(a?x)
（
a?0
），若
f(x)
为奇函数，则其周期
为
T?4a
，
若
f(x)
为偶函数，则其周期为
T?2a
.
⑨函数y?f(x)
?
x?R
?
的图象关于直线
x?a
和x?b
?
a?b
?
都对称，则函数
f(x)
是以
2
?
b?a
?
为周期的周期函数；
⑩函数
y?f (x)
?
x?R
?
的图象关于两点
A
?
a,y0
?
、
B
?
b,y
0
??
a?b?
都对称，则
函数
f(x)
是以
2
?
b?a< br>?
为周期的周期函数；
⑾函数
y?f(x)
?
x?R
?
的图象关于
A
?
a,y
0
?
和直线
x ?b
?
a?b
?
都对称，则函数
f(x)
是以
4< br>?
b?a
?
为周期的周期函数；
6．判断一个函数是否是周期函数的主要方法
1.
判断一个函数是否是周期函数要抓 住两点：一是对定义域中任意的
x
恒有
f(x?T)?f(x)
;
二是能找到适合这一等式的非零常数
T
，一般来说，周期函数的定义域均为无限集.
2.
解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法
的运用，还 要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值。

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