人教版高中数学【选修2-2】[知识点整理及重点题型梳理]_定积分的简单应用(提高)

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人教版高中数学选修2-2
知识点梳理
重点题型（
常考知识点
）巩固练习

定积分的简单应用
【学习目标】
1.会用定积分求平面图形的面积。
2.会用定积分求变速直线运动的路程
3.会用定积分求变力作功问题。
【要点梳理】
要点一、应用定积分求曲边梯形的面积
1. 如图，由三条直线
x?a
，< br>x?b
(a?b)
，
x
轴（即直线
y?g(x)?0
）及一条曲
线
y?f(x)
(
f(x)?0
)围成的曲边梯形的面积 ：

S?
?
f(x)dx?
?
[f(x)?g(x)]dx
< br>aa
bb
2.如图，由三条直线
x?a
，
x?b
(a ?b)
，
x
轴（即直线
y?g(x)?0
）及一条曲线
y? f(x)
(
f(x)?0
)围成的曲边梯形的面积：

S?
?
b
a
f(x)dx??
?
f(x)dx?
?
[ g(x)?f(x)]dx

aa
bb
3．由三条直线
x?a,x? b(a?c?b),x
轴及一条曲线
y?f(x)
（不妨设在区间
[a,c]
上
f(x)?0
，在区间
[c,b]
上
f(x)?0
）围成的图形的面积：
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S?
?
c
a
f(x)dx?
?
b
c
f(x)dx
＝
?
?
f(x)dx
＋
?
f(x)dx
.
ac
cb
4. 如图，由曲线
y1
?f
1
(x)y
2
?f
2
(x)
f
1
(x)?f
2
(x)
及直线
x?a
，
x ?b
(a?b)
围
成图形的面积：


S?
?< br>[f
1
(x)?f
2
(x)]dx?
?
f
1
(x)dx?
?
f
2
(x)dx

aaa
bbb
要点诠释：
研究定积分在平面几何中的应用，其实质就是全面理解定积分的几何意义：
① 当平面图形的曲边在
x
轴上方时，容易转化为定积分求其面积；
② 当平面图形的一 部分在
x
轴下方时，其在
x
轴下的部分对应的定积分为负值，应取
其 相反数（或绝对值）；

要点二、求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤
（1）画出图形；
（2）确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限；
（3）确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；
（4）写出平面图形面积的定积分表达式；
（5）运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积。

要点三、定积分在物理中的应用
① 变速直线运动的路程
作变速直线运动的物体所 经过的路程
S
，等于其速度函数
v?v(t)(v(t)?0)
在时间区间< br>[a,b]
上的定积分，即
S?
?
v(t)dt
.
a
b
②变力作功
物体在变力
F(x)
的作用下做直线运动 ，并且物体沿着与
F(x)
相同的方向从
x?a
移动
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到
x?b
(a?b )
，那么变力
F(x)
所作的功
W?
?
b
a
F(x)dx
.
要点诠释：
1. 利用定积分解决运动路程问题，分清运动过程 中的变化情
况是解决问题的关键。应注意的是加速度的定积分是速度，速度的定积分是路程。
2. 求变力作功问题，要注意找准积分变量与积分区间。
【典型例题】
类型一、求平面图形的面积
【定积分的简单应用 385155 例1】
2
例1．计算由两条抛物线
y?x
和
y?x
所围成的图形的面积.
2
【思路点拨】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积
的 差得到。
【解析】
?
?
?
y?x
?
?
y?x
2
、（1，1），
?x?0及x?1
，所以两曲线的交点为（0，0 ）
1
面积S=
?
?
所以
S?
0
xdx?< br>?
x
2
dx
，
0
1
?
21
?
211
xdx?
?
x
2
dx?
?
x? x
3
?
???

0
3
?
0
333
?
3
3
2
1
1
?
1
0
【 总结升华】1. 两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的
面积的差得到。
2. 在直角坐标系下求平面图形的面积的四个步骤：
⑴．作图象；
⑵．求交点，定积分上、下限；
⑶．用定积分表示所求的面积；
⑷．微积分基本定理求定积分。
举一反三：
22
【变式1】（2015 德州二模改编）如图阴影部分是由曲线
y?x
和圆
x?y?2
及x轴围
2
成的封闭图形，则封闭图形的面积为（ ）
A.

?
11
?
1
?
?
B.
?
C. D.
466
464
2
22
【答案】如下图，因为曲线
y?x
和圆
x?y?2
在 第一象限的交点为（1,1）
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所以阴影部分的面积为
?
4
?
?
(x?x
2
)dx?
0
1
?
11
?
1
?(x
2
?x
3
)|
1
??
。
0
42346

【变式2】求曲线
y?log
2< br>x
与曲线
y?log
2
(4?x)
以及
x
轴 所围成的图形面积。
【答案】所求图形的面积为
S＝【g(y)?f(y)dy?
0
?
1
?
1
0
(4?2?2
y
)dy
?（4y?2?2
y
log
2
e)|
1
0< br>?4?2log
2
e

例2．求抛物线
y?x
与直线
x?2y?3?0
所围成的图形的面积.
【思路点拨】画出简图，结合图形确定积分区间。
【解析】
2
?
y
2
?x,
?
x?1
?
x?9
解法一：解方程组< br>?
得
?
或
?

y??1
y?3
x? 2y?3?0,
?
?
?
即交点
A(1,?1),B(9,3)
.

由于阴影的面积不易直接由某个函数的定积分来求得，我们把它合理的划分一下，便于
进行积分计算。
过
A
点作虚线，把阴影部分分成了两部分，分别求出两部分的面积，再求和.

S?S
1
?S
2
?
＝
2
9
1
[x?(?x)]dx?[x?(x?3)]dx

?
0
?
1
2
9
1
9
3
9
xdx?
?
xdx?
?
xdx?
?
dx

1
2
1
2
1
1
?
1
0
3
2
?
4
3
???
??
9
32x
199< br> ＝
?
x
2
?
0
?
?
x
2
?
1
?
??
1
??x
1

2?
4
?
?
3
??
3
?
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＝
32
.
3
【总结升华】 从图形可以看出，所求图形的面积可以转化为一个梯形与两个曲线三角形面积的差，进而可以用定积分求出面积。为了确定出被积函数和积分的上、下限，我
们需要求 出直线与曲线的交点的横坐标。

解法二：
若选
y
为积分变量，则上限、下限分别为－1和3，所以要求的面积为：
S?
?
[(2y?3)?y
2
]dy

?1
3
＝
y
23
?1
?3y
3
?1
y
2
?
3
3
?1
?
32
.
3
【总结升华】需要指出的是，积分变量不一定是
x
，有时根据平面图形的特 点，也可选
y
作为积分变量，以简化计算。但要注意积分上限、下限的确定.
举一反三：
【定积分的简单应用 385155 例2】
【变式1】计算由直线
y?x?4
，曲线
y?




【答案】
的草图，
解方

作出直线
y?x?4< br>，曲线
y?
2x
以及x轴所围图形的面积S.
2x
所求面积为上图阴影部分的面积．
程组
?
?
?
y?2x,

?
?
y ?x?4
得直线
y?x?4
与曲线
y?2x
的交点的坐标为（8,4 ) .
直线
y?x?4
与x轴的交点为（4,0).
因此，所求图形的面积为S=S
1
+S
2
?
?
4
0
2xdx?[
?
8
4
2xdx?
?
(x ?4)dx]

4
8
22
3
22
3
140
28
2
4
?x|
0
?x
2
|
8< br>(x?4)|?
.
44
3323
【变式2】求抛物线
y?2 x
与直线
y?4?x
围成的平面图形的面积.
【答案】
2
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?
y
2
?2x
由方程组
?
解出抛物线和直线的交点为（2 , 2）及（8, －4）
?
y?4?x
解法一:选
x
作为积分变 量，由图可看出S=
A
1
+
A
2

在A
1
部分：由于抛物线的上半支方程为
y?
22
1
2
2x
，下半支方程为
y??2x
，所以
S
A
1
?
?
[2x?(?2x)]dx?22
?
xdx

00


,
2

）
（
2


2

?22?x
2
3
3
2
0
8
16
?

S
A
2
?
?
[4?x?(?2x)]dx

2
3
3
8
1
2
22
2
x)

?(4x?x?
2 3
于是：
S?
8
2
28
?

3

（
8,-4
）
1638
??18
.
33
y
2
解法二: 选
y
作积分变量，将曲线方程写为
x?
及
x?4?y

2
S?
?
2
?4
y
2
y
3
y
2
[(4?y)?]dy?(4y??)
2
26
2
?4
?30?12?18
.
?
?
4?x
2
?2,(?2?x?0)
【变式3】（2015春 河南校级期中）函数
f(x)?
?
的图象与x
2
?
?
|x?x|,(0?x?2)
轴以及
x??2
所围成 的封闭图形的面积为（ ）
A.
1?
?
B.
5?
?
C.
?
?3
D.
1?
?

【答案】
?
?
4?x
2
?2,(?2?x?0)
函数
f(x)?
?
的图象与x轴以及x??2
所围成的封闭图形如图，
2
?
?
|x?x|,(0?x ?2)

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面积为
=
4?
?
0
?2
?
4?x?2dx ?
?
(x?x)dx?
?
(x
2
?x)dx
01
2
?
1
2
2
111
3
1
22
?4?(x
2
?x
3
)|
1
?(x?x)|< br>1

0
42332
181
=
4?
????2??5?
?

636
故选：B。
类型二、求变速直线运动的路程
例3．汽车以每小时36公里的速度行驶，到某处需要减速停 车，设汽车以匀减速度
a?2
2
米秒刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？
【思路点拨】因为距离＝速度
?
时间，所以找到该汽车从刹车开始到停车所用的时间与 速度
变化函数式成为该题的关键.
【解析】
因为距离＝速度
?
时 间，所以找到该汽车从刹车开始到停车所用的时间与速度变化函数
式成为该题的关键.
首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间，
当
t?0
时，汽车速度v
0
?36
公里小时＝
?
36?1000
米秒=10米 秒.
3600
刹车后汽车减速行驶，其速度为
V(t)?V
0
?a t?10?2t
.
当汽车停车时，速度
V(t)?0
，
故从V(t)?10
到
V(t)?0
用的时间
t?
10?0
?5
秒.
2
于是在这段时间内，汽车所走过的距离是
S?
?
V(t)dt?
?
(10?2t)dt

0 0
55
＝
(10t?2?t
2
)|
5
0
? 25
（米）
即在刹车后，汽车需走过25.

【总结升华】解决实际应用 问题，解题的关键是弄清事物变化发展的规律，再根据规律变化
找到相应的函数式.
举一反三：
【变式】 一点在直线上从时刻t=0（s）开始以速度v=t―4t+3（m／s）运动，求：
（1）在t=4 s时的位置；
（2）在t=4 s时运动的路程。
【答案】（1）在时刻t=4时该点的位置为：
2
1
2
4
?
1
3
?
22
(t?4t?3)dt?t?2t?3t?
（ m）。
??
?
0
33
??
0
4
4
即在t=4s时该点距出发点
4
m。
3
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（2）因为v (t)=t―4t+ 3=(t―1)(t―3)，所以区间[0，1]及[3，4]上的v（t）≥0，
在区间[1，3]上 ，v（t）≤0，所以在t=4 s时的路程为：
2
s?
?
(t
2
?4t?3)dt?
0
1
?
3
1
3
(t< br>2
?4t?3)dt?
?
(t
2
?4t?3)dt

3
4
3
4

?
?
1
0
(t
2
?t4?3)dt?
?
(t
2
?4t?3 )dt?
?
(t
2
?4t?3)dt?4(m)
。
1
即在t=4 s运动的路程为4 m。

类型三、求变力做功
2
例4．直径为20cm，高为80cn的圆柱体内充满压强为10Ncm的蒸气，设温度保持不变，< br>要使蒸气的体积缩小为原来的一斗，求需要做多少功？

【解析】
O
设上端为活塞，且如图所示取定
x
轴.
另设底面面积为
S
，活塞压缩至
x
位置时气体的体积为
V(x)
，压强为
，则
P(x)
，由于
PV?k
（其中
k
为常数）
kk
k
P(x)??
，
F?P(x)S?
，
V(x)S(h?x)h?x
其中
k?P(0)V(0)?80000
?
(N?cm)?800
?
(J)

故所求的功为
W?
x
F
h
?
h
2
0
Fdx?k
?
h
2
0< br>1
dx?800
?
ln2(J).

h?x
【总结升 华】求变力作功问题，一般利用定积分加以解决，但要注意寻找积分变量与积分区
间。
举一反三：
【定积分的简单应用 385155 例5】
【变式】
求证： 把质量为
m
（单位kg）的物体从地球的表面升高
h
（单位 ：m）处所做的功
W
=
G
·
其中
G
是地球引力 常数，
M
是地球的质量，
k
是地球的半径．
【答案】 根据万有 引力定律，知道对于两个距离为
r
，质量分别为
m
1
、
m< br>2
的质点，它们之
间的引力
f
为
f
=
G
·
m
1
m
2
，其中
G
为引力常数．
r
2
Mmh
，
k(k?h)
Mm
则当质量 为
m
物体距离地面高度为
x
（0≤
x
≤
h
）时，地心对它有引力
f
(
x
) =
G
·
(k ?x)
2
故该物体从地面升到
h
处所做的功为

W?
?
f(x)
d
x
=
?
G?
0
h
h
0
h
1
Mm1
h
(?)|
0
·d
x
=
GMm
dx =
GMm
22
?
0
(k?x)
k?x
(k?x)

=
GMm(?
11Mnh
．
?)?G?
k?hkk(k?h)
类型四、定积分的综合应用
例5．已知抛 物线
y?px
2
?qx
（其中
p?0,q?0
）在第一象限 内与
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直线
x?y?5
相切，且此抛物线与
x
轴所围成的平面图形的面积为S.问
p
和
q
为何值时，
S达到最大值？求出此最大值.
【思路点拨】切线的斜率即是函数在切点处的导数值,再由积分式算出S。
【解析】依题意知，抛物线如图所示，求得它与
x
轴的交点横坐标为
x1
?0,
3
?
q
q
2
.

x
2
???
面积
S?
?
0
p
(px?qx) dx
?
2
6p
p
q
因直线与抛物线相切，故它们有唯一公共 点.由方程组
?
x?y?5,
得
?
2
?
y?px? qx,
px
2
?(q?1)x?5?0
，其判别式必等于零，因而有
p??
1
(1?q)
2
.
20
200q
3
200q
3
(3?q)
从而得到
S(q)?
解得
q?3.

?S
?
(q)?
22
2(q?1)3(q?1)
当
0?q?3
时，
S
?
(q)?0;
当
q?3时，
S
?
(q)?0.

于是当
q?3
时，
S(q)
取得极大值，即最大值.
此时
p??
225
4
，从而最大值为
S?.
5
32
【总结升华】这是一道综合了导数与定积分等概念的题目.利用定积分求出S的面积
S(p,q)
，再利用抛物线与直线相切的条件，确定
p
和
q
的关系，从而将求
S(p,q)
的极
值化为一元函数极值问题.
举一反三：
【变式】已知抛物线
y?ax(a?0)
，将以（0，0），（ b，0），（b，h），（0，h）为顶点的
矩形分成两部分，其面积之比为1：2，试求抛物线方程中 的系数a

【答案】如图分两种情况讨论：
2
（1）如图一：
S
1
?
h
a
b
?
0
?
h
?
??
a
h
?
a
?
h
??
2
a
(h?ax)dx?h?
a3
3
，
S
2
??

?
0
ax
2
dx?
?
h
hdx

a
3
?
S
1
1
?
h
?
h
?
?
?h
?
b?
?
，由已知
1
?
，解得
a?
4h
a
?
.
2
???
S2
3
?
aa
b
2
????

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（2）如图二：

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b
1
3
1

S
1
?
?
(h?ax)dx?hb?ab
，
S
2
?
?
ax
2
dx?ab
3

00
33
b
2
由题意知：
S
1
2
h
?
，解得
a?
2。
S
2
1
b
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