数系的扩充与复数的引入知识点总结

数系的扩充与复数的引入知识点总结
一．数系的扩充和复数的概念
１．复数的概念
(1) 复数:形如
a?bi(a?R,b?R)
的数叫做 复数，
a
和
b
分别叫它的实部和虚部.
(2) 分类:复数
a?bi(a?R,b?R)
中,当
b?0
,就是实数;
b?0
,叫做虚数;当
a?0,b?0
时,叫做
纯虚数.
(3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.
即：如果：a,b,c,d?R
，那么：
a+bi=c+di?
?
?
a=c
，特别地:
?
b=d
.
(4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.
即：
z=a+bi的共轭复数是z=a-bi(a,b?R)

２．复数的几何意义
（１）数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的
轴叫做实轴，轴叫做虚轴. 平面叫做复平面，也叫高斯平面，

实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
复数集C和复平面内所有的 点所成的集合是一一对应关系，即复数
平面内的点
复
每一个复数有复平面内唯一的一个 点和它对应；反过来，复平面内的每
一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义， 也就是复数的另一种表
示方法，即几何表示方法.
（２）复数的几何意义
坐标表 示:在复平面内以点
向量表示:以原点
向量的长度叫做复数
表示复数（
为终点 的向量
.即
）；
表示复数
.
. 为起点，点
的模，记作
３．复数的运算
（１）复数的加，减，乘，除按以下法则进行
设
z
1
?a?bi,z
2
?c?di(a,b,c,d?R )
则
z
1
?z
2
?(a?c)?(b?d)i

z
1
?z
2
?(ac?bd)?(ad?bc)i< br>
z
1
(ac?bd)?(ad?bc)i
?(z< br>2
?0)

22
z
2
c?d
（２）几个重要的结论

|z
1
?z
2
|
2
?|z
1
?z
2< br>|
2
?2(|z
1
|
2
?|z
2
|
2
)


z?z?|z|
2
?|z|
2

若
z
为虚数,则
|z|
2
?z
2

（３）运算律
z
m
?z
n
?z
m?n

(z
m
)
n
?z
mn

(z
1< br>?z
2
)
n
?z
1
n
?z
2
n
(m,n?R)

（４）关于虚数单位i的一些固定结论：
i
2
??1

i
3
??i

i
4
?1

i
n
?i
n?2
?i
n?3
?i
n?4
?0

注：（１）两个复数不能比较大小，但是两个复数的模可以比较大小
（２）在实数范围内的求根公式在复数范围内照样能运用
二．同步检测
１．复数ａ＋ｂ
i
与ｃ＋ｄ
i
的积是实数的充要条件是
Ａ．ａｄ＋ｂｃ＝０ Ｂ．ａｃ＋ｂｄ＝０
Ｃ．ａｃ＝ｂｄ Ｄ．ａｄ＝ｂｃ
5
的共轭复数是
i-2
Ａ．
i
＋２ Ｂ．
i
－２ Ｃ．－２－
i
Ｄ．２－
i

2
３．当
时，复数ｍ（３＋
i
）－（２＋
i
）在复平面内对应的点位于
3
２．复数
Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限
?
13
?
４．复数
?
+?
22
i
?
?
＝
??
５．已知复 数ｚ与
?
z+2
?
-8i
都是纯虚数，求ｚ


2
3

６．已知
(1+2i）z=4+3i
，求ｚ及
z
z







７．已知
z
111
1
＝５＋１０
i
，
z
2
＝３－４
i
，
z
=
z
+
，求ｚ
1
z
2







８．已知２
i
－３ 是关于
x
的方程２
x
2
＋ｐ
x
＋ｑ＝０的一个根， 求实数ｐ，ｑ的值