高一数学空间几何体的表面积和体积知识点及题型例题

1-9页
空间几何体的表面积和体积例题解析
一．课标要求
了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆，理解为主）。
二．命题走向----
用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；

三．要点精讲
1．多面体的面积和体积公式
名称
棱
柱
棱
锥
棱
台
棱柱
直棱柱
棱锥
正棱锥
棱台
正棱台
侧面积(S
侧
)
直截面周长×l
ch
各侧面积之和
全面积(S
全
) 体 积(V)
S
侧
+2S
底

S
底
·h=S
直截面
·h
S
底
·h
1
S
3
1
h(S
3
底
·h
1
ch′
2
各侧面面积之和
S
侧
+S
底

S
侧
+S
上底
+S
下底

上底
+S
下底
1
(c+c′)h′
2
+
S
下底
?S
下底
)
表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长。
2．旋转体的面积和体积公式
名称 圆柱
2πrl
2πr(l+r)
πr
2
h(即πr
2
l)
圆锥
πrl
πr(l+r)
圆台
π(r
1
+r
2
)l < br>π(r
1
+r
2
)l+π(r
2
1
+r2
2
)
球

4πR
2

S
侧

S
全

V
1
2
πr
h
3
1
πh(r
2
1
+r
1
r
2
+r
2
2
)
3
4
πR
3

3
表中l、h分别表示母线、高，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r
1
、r
2
分别表示圆台 上、
下底面半径，R表示半径。

四．典例解析
题型1：柱体的体积和表面积

- 1 -

1-9页 < br>例1．一个长方体全面积是20cm
2
，所有棱长的和是24cm，求长方体的对角线长 .
解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、lcm
(1)
?
2(xy?yz?zx)?20
依题意得：
?

(2)
4(x?y?z)?24
?
由（2）
2
得：x
2
+y
2
+z
2
+2xy+2yz+2xz=36（3）
由（3）－（1）得x
2
+y
2
+z
2
=16
即
l
2
=16所以
l
=4(cm)。
点评：涉及 棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表
面积多被考察。我们平常的学 习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、
体积之间的关系。
例2．如图1 所示，在平行六面体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，已知AB=5，AD=4，AA
1
=3，
AB⊥AD，∠A
1< br>AB=∠A
1
AD=
?
。
3
（1）求证：顶点A
1
在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分线上；
（2）求这个平行六面体的体积。

图1 图2
解析：（1）如图2，连结A
1
O，则A
1
O⊥底面ABCD 。作OM⊥AB交AB于M，作ON⊥AD
交AD于N，连结A
1
M，A
1< br>N。由三垂线定得得A
1
M⊥AB，A
1
N⊥AD。∵∠A
1
AM=∠A
1
AN，
∴Rt△A
1
NA≌Rt△A
1
MA,∴A
1
M=A
1
N，从而OM=ON。∴点O在∠BAD 的平分线上。

- 2 -

1-9页
?
133
AM
2
。 =3×=∴AO==
?
232 2
cos
4
99
又在Rt△AOA
1
中，A
1O
2
=AA
1
2
– AO
2
=9－=， < br>22
（2）∵AM=AA
1
cos
∴A
1
O=
32
32
，平行六面体的体积为
V?5?4?
?302
。
2
2
题型2：柱体的表面积、体积综合问题
例3．一个长方体共一顶点的三 个面的面积分别是
2,3,6
，这个长方体对角线的长是
A．2
3
B．3
2
C．6 D．
6

解析： 设长方体共一顶点的三边长分别为
a
=1，
b
＝
2
，
c
＝
3
，则对角线
l
的长为
l
=
a2
?b
2
?c
2
?
6
；答案D。
点评：解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素—棱长。
例4．如图， 三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
中，若E、F分别为AB、A C 的中
点，平面EB
1
C
1
将三棱柱分成体积为V
1、V
2
的两部分，那么V
1
∶V
2
= ____
_。
解：设三棱柱的高为h，上下底的面积为S，体积为V，则V=V
1
+ V
2
＝Sh。
∵E、F分别为AB、AC的中点，∴S
△AEF
=
V
1
=
1
S,
4
1
175
1
h(S+S+
S?
)=
Sh V
2
=Sh-V
1
=Sh，
3
412
4
12
∴V
1
∶V
2
=7∶5。
点评：解题的关键是棱柱、 棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应
关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可 。
题型3：锥体的体积和表面积
例5．在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB
E
A

- 3 -
P
D
O
C
B

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＝60，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB 与平面ABCD所成的角为60，
??
求四棱锥P－ABCD的体积？
解：（1）在四棱锥P- ABCD中，由PO⊥平面ABCD,得∠PBO是PB与平面ABCD所成
的角，∠PBO=60°。
在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1, 由PO⊥BO，
于是PO=BOtan60°=
3
，而底面菱形的面积为2
3
。 < br>∴四棱锥P－ABCD的体积V=
1
×2
3
×
3
=2 。
3
点评：本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。在能力< br>方面主要考查空间想象能力。
例6．在三棱锥
S
—
ABC
中 ，∠
SAB
=∠
SAC
=∠
ACB
=90°，且
A C
=
BC
=5，
SB
=5
5
。（如图所示）（Ⅰ） 证明：
SC
⊥
BC
；
（Ⅱ）求侧面
SBC
与底面
ABC
所成二面角的大小；
（Ⅲ）求三棱锥的体积
V
S
－
AB
C
。
解析：（Ⅰ）证明：∵∠
SAB
=∠
SAC
=90°，
∴
SA
⊥
AB
，
SA
⊥
A
C。
又
AB
∩
AC
=
A
，
∴
SA
⊥平面
AB
C。
由于∠
ACB
= 90°，即
BC
⊥
AC
，由三垂线定理，得
SC
⊥
BC
。
（Ⅱ）解：∵
BC
⊥
AC
，
SC
⊥
BC
。
∴∠
SCA
是侧面
SCB
与底面
ABC
所成二面角的平面角。
在Rt△
SCB
中，
BC
=5，
SB
=5

5
，得
SC
=
SB
2
?BC
2
= 10。
AC51
??
，
SC102
在Rt△
SAC中
AC
=5，
SC
=10，cos
SCA
=

- 4 -

1-9页
∴∠
SCA
=60°，即侧 面
SBC
与底面
ABC
所成的二面角的大小为60°。
（Ⅲ）解：在Rt△
SAC
中，
∵
SA
=
SC< br>2
?AC
2
?
10
2
?
5
2
?
75
，
S
△
ABC
=
25
11·
AC
·
BC
=×5×5=，
22
2
11251253
·
S
△
ACB
·
SA
=
?
。
?75?
3
326
∴
V
S
－ABC
=
点评：本题比较全面地考查了空间点、线、面的位置关系。要求对图形必须具备一 定的
洞察力，并进行一定的逻辑推理。
题型4：锥体体积、表面积综合问题
例7． ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GB垂直于正方形ABCD
所在的平面 ，且GC＝2，求点B到平面EFC的距离？
解：如图，取EF的中点O，连接GB、GO、CD、FB构造三棱锥B－EFG。

设点B到平面EFG的距离为h，BD＝
42
，EF
?22
，CO＝

G
。
O?CO?GC?
(322)
???
18 42
?
2
2222
3
×42?32
。
4
而GC⊥平面ABCD，且GC＝2。
?
V
由
V
，得
B?EFGG?EFB
1
1
EF·GO·h?
S
△E FB
·
6
3
点评：该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问 题来求解。构造以点B
为顶点，△EFG为底面的三棱锥是解此题的关键，利用同一
A
O
D
F

- 5 -
B
E
C

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个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法，从而简化了运算。
例8．如图，在四面体 ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球
心O，且与BC，DC分别截于 E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A
－BEFD与三棱锥A－EFC的表面积 分别是S
1
，S
2
，则必有（ ）
A．S
1
?S
2
B．S
1
?S
2

C．S
1
=S
2
D．S
1
，S
2
的大小关系不能确定
解：连OA、OB、OC、OD，
则V
A－BEFD
＝V
O－AB D
＋V
O－ABE
＋V
O－BEFD

V
A－EF C
＝V
O－ADC
＋V
O－AEC
＋V
O－EFC
又V
A－BEFD
＝V
A－EFC
，
而每个三棱锥的高都是原四面 体的内切球的半径，故S
ABD
＋S
ABE
＋S
BEFD
＝ S
ADC
＋S
AEC
＋
S
EFC
又面AEF公共， 故选C
点评：该题通过复合平面图形的分割过程，增加了题目处理的难度，求解棱锥的体积、
表面积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系。
题型5：棱台的体积、面积及其综合问题
例9．如图9—24，在多面体
ABCD< br>—
A
1
B
1
C
1
D
1
中， 上、下底面平行且均为矩形，相对
的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于
E
，
F
两点，上、下底面矩形的
长、宽分别为
c
，
d
与
a
，
b
，且
a
＞
c
，
b
＞
d
，两底面间的距离为
h
。
（Ⅰ）求侧面
ABB
1
A
1
与底面
ABCD
所成二面角的大小；（Ⅱ）证 明：
EF
∥面
ABCD
；
（Ⅲ）在估测该多面体的体积时，经常运 用近似公式
V
估
=
S
中截面
·
h
来计算. 已知它的体积
公式是
V
=
h
（
S
上底面
+ 4
S
中截面
+
S
下底面
），试判断
V
估< br>与
V
的大小关系，并加以证明。
6
（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面）

- 6 -

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（Ⅰ）解：过
B
1
C
1
作底面
ABCD
的垂直平面，交底面于
PQ
，过
B
1
作
B
1
G
⊥
PQ
，垂足为
G
。
如图所示：∵平面
ABCD
∥平面
A
1
B< br>1
C
1
D
1
，∠
A
1
B
1
C
1
=90°，
图
∴
AB
⊥
PQ，
AB
⊥
B
1
P
.
∴∠
B
1
PG
为所求二面角的平面角.过
C
1
作
C
1H
⊥
PQ
，垂足为
H
.由于相对侧面与底面所成
二面角 的大小相等，故四边形
B
1
PQC
1
为等腰梯形。
∴PG
=
2h
1
（
b
－
d
），又
B
1
G
=
h
，∴tan
B
1
PG
=（
b
＞
d
），
2
b?d
2h2h
，即所求二面角的大小为arctan.
b?d b?d
∴∠
B
1
PG
=arctan
（Ⅱ）证明：∵
AB
，
CD
是矩形
ABCD
的一组对边，有
AB
∥
CD
，
又
CD
是面
ABCD
与面
CD EF
的交线，∴
AB
∥面
CDEF
。
∵
EF是面
ABFE
与面
CDEF
的交线，∴
AB
∥
EF
。
∵
AB
是平面
ABCD
内的一条直线，
E F
在平面
ABCD
外，∴
EF
∥面
ABC
D。
（Ⅲ）
V
估
＜
V
。
ha?cb?da?cb?d
?)??
h

证明：∵
a＞
c
，
b
＞
d
，∴
V
－
V< br>估
=
(cd?ab?4?
62222
=
hh
［2cd
+2
ab
+2（
a
+
c
）（
b< br>+
d
）－3（
a
+
c
）（
b
+d
）］=（
a
－
c
）（
b
－
d
）＞0。
1212
∴
V
估
＜
V
。
点 评：该题背景较新颖，把求二面角的大小与证明线、面平行这一常规运算置于非规则
几何体（拟柱体）中 ，能考查考生的应变能力和适应能力，而第三步研究拟柱体的近似计算
公式与可精确计算体积的辛普生公 式之间计算误差的问题，是极具实际意义的问题。考查了
考生继续学习的潜能。

- 7 -

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例10．（1）如果棱台的两底面积分别是
S、
S
′，中截面的面积是
S
0
，那么（ ）
A．
2
S
0
?S?S
?
B．
S
0
?S
?
S
C．2
S
0
＝
S
＋
S
′ D．
S
0
2
＝2
S
′
S
（2）已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（ ）
A．32
3
B．28
3
C．24
3
D．20
3

解析：（1）解析：设该棱台为正棱台来解即可，答案为A；
（2）正六棱台上下底面面积分 别为：
S
上
＝6·
3
2
3
2
·2＝63
，
S
下
＝6··4＝24
3
，
44
V
台
＝
h
(
S
上
?S
上
?S下
?S
下
)
?
283
，答案B。
点评：本题 考查棱台的中截面问题。根据选择题的特点本题选用“特例法”来解，此种
解法在解选择题时很普遍，如 选用特殊值、特殊点、特殊曲线、特殊图形等等。
题型6：圆柱的体积、表面积及其综合问题
例11．一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）
A．
1
3
1?2
?

2
?
B．
1?4
?
1?2
?
C．
4
??
D．
1?4
?

2
?
解 析：设圆柱的底面半径为
r
，高为
h
，则由题设知
h
=2π
r
.
∴
S
全
=2π
r
2
+（2 π
r
）
2
=2π
r
2
（1+2π）.
S< br>侧
=
h
2
=4π
2
r
2
，∴
S
全
1?2
?
。答案为A。
?
S
侧
2
?
点评：本题考查圆柱的侧面展开图、侧面积和全面积等知识。
例12．如图9—9 ，一个底面半径为
R
的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为
R
r< br>的实心铁球，水面高度恰好升高
r
，则= 。
r


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解析：水面高度升高
r< br>，则圆柱体积增加π
R
2
·
r
。恰好是半径为
r的实心铁球的体积，因
此有
4
3
R23
23
π
r
=π
R
2
r
。故
?
。答案为。
33
r3
点评：本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。
题型7：圆锥的体积、表面积及综合问题
例13．（1）在△
ABC
中，< br>AB
=2，
BC
=1.5，∠
ABC
=120°（如图所示） ，若将
△
ABC
绕直线
BC
旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（ ）
A．

9
π
2
B．
7
π

2

C．
5
π
2
D．
3
π
2
（2）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为
A．3π B．3
3
，则这个圆锥的全面积是
D．9π
3
π C．6π
解析：（1）如图所示，该旋转体的体积为圆锥
C
—
A DE
与圆锥
B
—
ADE
体积之差，又∵求得
AB
= 1。
∴
V?V
C?ADE
?V
B?ADE
?
（2 ）∵
S
＝
1513
?
?
?
?3???
?< br>?3?1?
，答案D。
3232

11
ab
sin θ，∴
a
2
sin60°＝
3
，
22
∴
a
2
＝4，
a
＝2，
a
=2
r
，∴
r
＝1，
S
全
＝2π
r
＋π
r
2
＝2π＋π＝3π，答案A。
点评：通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。而对空间图 形的处理能力是
空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向。
例1 4．如图所示，
OA
是圆锥底面中心
O
到母线的垂线，
OA
绕轴旋转一周所得曲面将
圆锥分成相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为（ ）
1
11
A． B． C．
3
2
22
D．
1

4
2

- 9 -

1-9页
解析：如图所示，由题意知，1
1
2
π
r
h
＝
π
R
2h
，
3
6
2
rOA
R
RR
?
∴
r
＝． 又△
ABO
∽△
CAO
，∴
，∴< br>OA
2
＝
r
·
R
＝
,OA?
4，∴cosθ
OAR
2
22
＝
OA1
?
4，答案为D。
R
2
点评：本题重点考查柱体、锥体的体积公式及灵活的运算能力。
题型8：球的体积、表面积
例15．已知过球面上
A,B,C
三点的截面和 球心的距离为球半径的一半，且
AB?BC?CA?2
，求球的表面积。
解：设截面 圆心为
O
?
，连结
O
?
A
，设球半径为
R
，
则
O
?
A?
2323
，
??2?< br>323
222
在
Rt?O
?
OA
中，
OA? O
?
A?O
?
O
，
∴
R?(
2
4
64
23
2
1
2
)?R
，∴
R?
，∴
S?4
?
R
2
?
?
。
3
9
34
点评： 正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系。
例16．如图所示，球面上有四个点P 、A、B、C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且
PA=PB=PC=
a
，求这 个球的表面积。

解析：如图，设过A、B、C三点的球的截面圆半径为r，圆心为O′，球 心到该圆面的距
离为d。
在三棱锥P—ABC中，∵PA，PB，PC两两互相垂直，且PA =PB=PC=
a
,

- 10 -

1-9页
∴AB=BC=CA=
2
a
,且P在△ABC内的射影即是△ABC的中心O ′。
由正弦定理，得
2a6
=2r,∴r=
a
。
s in60?
3
又根据球的截面的性质，有OO′⊥平面ABC，而PO′⊥平面ABC， ∴P、O、O′共线，球的半径R=
r
2
?d
2
。又PO′=< br>PA
2
?r
2
=
a?
2
3
2
2
a
，
a
=
3
3
∴OO′=R －
3
3
a
=d=
R
2
?r
2
,(R－
3
3
a
)
2
=R
2
– (
6
2
3
a
)，解得R=
a
,
32
∴S
球
=4πR
2
=3πa
2
。 < br>点评：本题也可用补形法求解。将P—ABC补成一个正方体，由对称性可知，正方体内
接于球， 则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径R=
题型9：球的面积、体积综合问题
例17． 如图，正四棱锥
P?ABCD
底面的四个顶点
A,B,C,D
在球
O
的同一个大圆上，
点
P
在球面上，如果
V
P?ABCD?
3
a
,下略。
2
16
，则球
O
的表面积是（ ）
3
A．
4
?
B．
8
?
C．
12
?
D．
16
?

（2）半 球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为
6
，
求球 的表面积和体积。
解析：（1）如图，正四棱锥
P?ABCD
底面的四个顶点
A,B,C,D
在球
O
的同一个大圆上，点
P
在球面上，PO⊥底 面
ABCD，PO=R，
S
ABCD
?2R
2
，
V
P?ABCD
?
16
，所以
3
116
?2R
2
?R?
，R=2，球
O
的表面积是
16
?
，选 D。
33
（2）作轴截面如图所示，

- 11 -

1-9页

CC
?
?6
，
AC?2?6?23
，
设球半径为
R
，则
R?OC?CC
?
?(6)
2
?(3)2
?9

222
∴
R?3
，∴
S
球< br>?4
?
R
2
?36
?
，
V
球
?
4
?
R
3
?36
?
。
3
点 评：本题重点考查球截面的性质以及球面积公式，解题的关键是将多面体的几何要素
转化成球的几何要素 。
例18．（1）表面积为
324
?
的球，其内接正四棱柱的高是
14
，求这个正四棱柱的表面积。
（2）正四面体
ABCD
的棱长为
a
，球
O
是内切球，球
O
1
是与正四面体
的三个 面和球
O
都相切的一个小球，求球
O
1
的体积。
解：（1）设球半径为
R
，正四棱柱底面边长为
a
，

则作轴截面如图，
AA
?
?14
，
AC?2a
，
2
又∵
4
?
R?324
?
，∴
R?9，∴
AC?AC
?
2
?CC
?
2
?82
，∴
a?8
，
∴
S
表
?64?2?32?14?576

（2）如图，设 球
O
半径为
R
，球
O
1
的半径为
r
，
E
为
CD
中点，球
O
与平面
ACD
、
BCD
切于点
F
、
G
，球
O
1
与 平面
ACD
切于点
H


- 12 -

1-9页

由题设
AG
?
AE
2
?
GE
2
?
6
a

3
∵ △
AOF
∽△
AEG
∴
6
a?R
R
6
?
3
，得
R?a

12
33
aa
62
6
a?2R?r
r
6< br>?
，得
r
?
∵ △
AO
1
H
∽△
AOF
∴
3
a

R
24
6
a?R
3
∴ < br>V
球O
1
4
3
4
?
6
?
6
3
?
??
?
r?
?
?
aa

?
33
?
241728
??
3

点评：正四面体的内切球与各面的切点是面的中心，球心到各面的距离相等。
题型10：球的经纬度、球面距离问题
例19．（1）我国首都靠近北纬
40
纬线，求北纬
40
纬线的长度等于多少
km
？（地球半
径大约为< br>6370km
）
（2）在半径为
13cm
的球面上有
A,B ,C
三点，
AB?BC?AC?12cm
，求球心到经过这
三点的截面的距离 。
解：（1）如图，
A
是北纬
40
上一点，
AK
是它的半径，
∴
OK?AK
，
设
C
是北纬
40
的纬线长，
∵
?AOB??OAK?40
，
∴
C?2
?
?A K?2
?
?OA?cos?OAK?2
?
?OA?cos40

?2?3.14?6370?0.7660?3.066?10
4
(km)


- 13 -

1-9页
答：北纬
40
纬线长约等于
3.066?10km
．
4< br>（2）解：设经过
A,B,C
三点的截面为⊙
O
?
，
设球心为
O
，连结
OO
?
，则
OO
?
?
平面
ABC
，
∵
AO
?
?
32
?12??43
，
23
∴
OO
?
?OA
2
?OA
?
2
? 11
，
所以，球心到截面距离为
11cm
．
例20．在北纬45
圈上有
A,B
两点，设该纬度圈上
A,B
点的劣弧长为面距离。
解：设北纬
45
圈的半径为
r
，则
r?纬
45
圈的圆心，
?AO'B?
?
，
∴
?< br>r?
两
2
?
R
（
R
为地球半径），求
A,B
两点间的
4
球
2
R
，设
O
?为
4
北
?
222
?
R
，∴
R
?
?
?
R
，∴
?
?
，∴
AB?2r?R< br>，
2
424
∴
?ABC
中，
?AOB?
?
3
，所以，
A,B
两点的球面距离等于
?
3
R．
点评：要求两点的球面距离，必须先求出两点的直线距离，再求出这两点的球心角，进
而求出这两点的球面距离。
五．思维总结

1．正四面体的性质 设正四面体的棱长为a，则这个正四面体的
(1)全面积：S
全
=
3
a
2
； (2)体积：V=
2
3
2
a； (3)对棱中点连线段的长：d=a；
122
(4)内切球半径：r=
66
a； (5)外接球半径 R=a；
124

- 14 -

1-9页
(6)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)。
2．直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.直角四
面 体有下列性质：
如图 ，在直角四面体AOCB中，
∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a,OB=b,OC=c 。
则：①不含直角的底面ABC是锐角三角形；
②直角顶点O在底面上的射影H是△ABC的垂心；
③体积 V=
④底面△
ABC
=
1
abc；
6
1
2
a
2
b
2
?b
2
c
2
?c2
a
2
；
⑤S
2
△ABC
=S
△B HC
·S
△ABC
；
⑥S
2
△BOC
=S
2
△AOB
+S
2
△AOC
=S
2
△ABC
1111
=++;
222
2
OHab
c
1
⑧外切球半径 R=
a
2
?b
2
?c
2
；
2
⑦
⑨内切球半径 r=
S
?AOB
?S
?BOC
-S
?ABC

a?b?c
3．圆锥轴截面两腰的夹角叫圆锥的顶角.
①如图，圆锥的顶角为β，母线与下底面所成角为α，母线为l，高为h，底面半径为r，
则
sinα=cos
α+
?
h
= ，
l
2
?
=90°
?

2
r
?
= .
l
2
cosα=sin
②圆台 如图，圆台母线与下底面所成角为α，母线为l，高为h，上、下底面半径分别
为r ′、r，则h=lsinα，r-r′=lcosα。

- 15 -

1-9页
③球的截面
用一个平面去截一个球，截面是圆面.
(1)过球心的截面截得的圆叫做球的大圆；不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆；
(2)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面；
(3)球心和截面距离d,球半径R，截面半径 r有关
r=
R
2
-d
2
.

4．经度、纬度：
经线：球面上从北极到南极的半个大圆；

纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆；
系：

经度：某地的经 度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与
0
经线及轴确定的半平面
所成的二面角的 度数。
纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数。


- 16 -

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5. 两点的球面距离：
球面上 两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们
把这个弧长叫做两点的球 面距离
两点的球面距离公式：（其中R为球半径，
?
为A,B所对应的球心角的弧度数）




- 17 -