人教版高中数学【选修2-1】[知识点整理及重点题型梳理]_抛物线的方程与性质_基础

精品文档 用心整理
人教版高中数学选修2-1
知识点梳理
重点题型（
常考知识点
）巩固练习

抛物线的方程与性质
【学习目标】
1．掌握抛物线的定义 、几何图形和标准方程.
2．理解抛物线的简单性质（范围、对称性、顶点、离心率）.
3．能用抛物线的方程与性质解决与抛物线有关的简单问题.
4. 进一步体会数形结合的思想方法.
【要点梳理】
要点一、抛物线的定义
定义：平 面内与一个定点
F
和一条定直线
l
（
l
不经过点
F
）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点
F
叫做抛物线的焦点，定直线
l< br>叫做抛物线的准线．
要点二、抛物线的标准方程
标准方程的推导
如图，以过F且垂直于 l 的直线为x轴,垂足为K.以F,K的中点O为坐标原点建立直角坐标系xoy.
设|KF|=p(p ＞0)，那么焦点F的坐标为
(
pp
,0)
，准线l的方程为
x??
.
22
设点M（x,y）是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d.由抛物线的定 义，抛物线就是集合
P?{M||MF|?d}
.
?|MF|?(x?
? (x?
p
2
p
)?y
2
,d?|x?|,
22
p
2
p
)?y
2
?|x?|.
22
2
将上式两边平方并化简，得
y?2px(p?0)
. ①
方程①叫抛 物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是
(
是
x??
p
,0)
它的准线方程
2
p
.
2
抛物线标准方程的四种形式：
根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式
y
2
?2px
，
y
2
??2px
，
x
2
?2py
，
x
2
??2py
(p?0)
。
资料来源于网络 仅供免费交流使用

精品文档 用心整理
要点诠释：
①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程；
②抛物线的 焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛
物线
x??20y
的一次项为
?20y
，故其焦点在
y
轴上，且开口向负 方向（向下）
③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍，比如抛物线
x?? 20y
的一次项
?20y
的
系数为
?20
，故其焦点坐标是
(0,?5)
。
一般情况归纳：
方程 图象的开口方向 焦点 准线
2
2
y?kx

2
k?0
时开口向右
k?0
时开口向左
k
(,0)

4
k
x??

4
x?ky

2
k?0
时开口向上
k?0
时开口向下
k
(0,)

4
k
y??

4

④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数。用待定系数法求抛物线的标准方程时，首< br>先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求
一次项的系数，否则，应展开相应的讨论.
⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式， 易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的
形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准 方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种
情况。

要点三、抛物线的简单几何性质：
抛物线标准方程
y?2px(p?0)
的几何性质
范围：
{xx?0}
，
{yy?R}
，
抛物线y
2
=2px（p＞0）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标（x，y）的横坐< br>标满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线 是无
界曲线。
对称性：关于x轴对称
抛物线y
2
=2px（p＞ 0）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称
轴。
顶点：坐标原点
抛物线y
2
=2px（p＞0）和它的轴的交点叫做抛物线 的顶点。抛物线的顶点坐标是（0，0）。
资料来源于网络 仅供免费交流使用
2

精品文档 用心整理
离心率：
e?1
.
抛物线y
2
=2px（p＞0）上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的 离心率。用e 表
示，e=1。
抛物线的通径
通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径。
因为通过 抛物线y
2
=2px（p＞0）的焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为
?
?
p
?
,p
?
，
2
??
?< br>p
?
,?p
??
，所以抛物线的通径长为2p。这就是抛物线标准方程 中2p的一种几何意义。另一方面，由通径
?
2
?
的定义我们还可以看出，P 刻画了抛物线开口的大小，P值越大，开口越宽；P值越小，开口越窄．
抛物线标准方程几何性质的对比
图形

标准方程
顶点
范围
对称轴
焦点
离心率
准线方程
焦半径
要点诠释：
（1）与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线；
（2 ）标准方程中的参数p的几何意义是指焦点到准线的距离；p＞0恰恰说明定义中的焦点F不在准线
x≥ 0，
y?R



y
2
=2px（p＞0） y
2
=－2px（p＞0） x
2
=2py（p＞0） x
2
=－2py（p＞0）
O（0，0）
x≤0，
y?R

y≥0，
x?R
y≤0，
x?R

x轴 y轴
?
p
?
F
?
,0
?

?
2
?
?
p
?
F
?
?,0
?

?
2
?
e=1
?
p
?
F
?
0,
?

?
2
?
p
??
F
?
0,?
?

2
??
p
pp

y??

y?

2
22
pppp
|MF|?x
0
?

|MF|??x
0

|MF|?y
0
?

|MF|??y
0

2222
x??
x?
p

2
l
上这一隐含 条件；参数p的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p的值，
才易于确定 焦点坐标和准线方程.

【典型例题】
类型一：抛物线的定义
资料来源于网络 仅供免费交流使用

精品文档 用心整理
例1.已知抛物线的焦点为（3，3），准线为x轴，求抛物线的方程。
【解析】设M（x，y）为抛物线上的任意一点，
则由抛物线的定义，得
(x?3)
2
?(y?3)
2
?|y|

1
2
x?x?3

6
1
2
∴所求抛物线的方程为
y?x?x?3

6
两边平方，整理得
y?
【总结升华】当抛物线的顶点不在原点，对称轴不是坐标轴时， 我们只能根据定义求抛物线的方程.
举一反三：
【变式】求适合下列条件的抛物线的标准方程：
（1）过点(-2，3)；
【答案】：
x
2
?
2
4
y

3< br>y
2
9
9
设y=2px，以(-2，3)代入，得
2p?，∴
y
2
??x
；
?
x?2
2
x< br>2
4
4
?
，∴
x
2
?y
。 设x= 2py，以(-2，3)代入，得
2p?
y3
3
2
（2）焦点在直线 3x-4y-12=0上；
【答案】：若焦点为（4，0），则y
2
=16x
若焦点为（0，-3），则x
2
=-12y

（3）准线过点(2，3)；
【答案】：准线为x=2，则y
2
= -8x
2
准线为
y
=3，则
x
= -12
y
< br>（4）焦点在
y
轴上，抛物线上一点
M(m,?3)
到焦点的距离等于 5。
【答案】：设抛物线方程为x
2
=-2py（p>0），则点M(m,-3)到 准线的距离为5，即
∴p=4，x
2
=-8y
p
?(?3)?5
，
2
（x?3)?y?1
相外切，例2. 若动圆
P
与定圆
C
:且与直线
l:x?2
相切，求动圆圆心
P
的轨迹方程.
【解析】
解法一：设
P(x,y)
,动圆半径
r
，动圆与 直线
l
切于点
N
，圆心
C(?3,0)
，
则
|PC|?r?1
,即
|PC|?|PN|?1

依题意点
P
在直线
l
的左侧，故
|PN|?2?x

∴
(x?3)?y?(2?x)?1
.
22
22
资料来源于网络 仅供免费交流使用

精品文档 用心整理
化简得
y??12x
,即为所求.
解法二：设
P(x, y)
,作
l
?
:x?3
，过
P
作
PN?l
于
N
，延长
PN
交
l
?
于
N?
，
依题意有
|PC|?|PN|?1
, ∴
|PC|?|PN|?1?|PN
?
|
,
由抛物线定义可知，
2
P
点轨迹是以
O(0,0)
为顶点，
C(?3,0)为焦点，
l
?
:x?3
为准线的抛物线，
故
y??12x
为所求.
【总结升华】求动点的轨迹方程时，可用定义法列 等量关系，化简求解；也可判断后，用类似于公式法
的待定系数法求解，但要判断准确，注意挖掘题目中 的隐含条件，防止重、漏解。
举一反三：
【变式1】平面上动点P到定点F（1，0）的距离比P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程。
解法一：设P点的坐标为（x，y），则有
(x?1)?y?|x|?1
，
两边平方并化简得y
2
=2x+2|x|。
∴
y?
22
22
?
4x,
0,
x?0,

x?0,
即点P的轨迹方程为y
2
=4x（x≥0）或y=0（x＜0）。
解法二：由题意，动点P到定点F（1，0）的距离比到y轴的距离大1，
由于点F（1，0）到y轴的距离为1，
故当x＜0时，直线y=0上的点适合条件；
当x≥0时，原命题等价于点P到点F（1，0）与到直线x=―1的距离相等，
故点P在以F为焦点，x=―1为准线的抛线物上，其轨迹方程为y
2
=4x。
故所求动点P的轨迹方程为y
2
=4x（x≥0）或y=1（x＜0）。
【变式2】若点P到定点F（4，0）的距离比它到直线x+5=0的距离小1，求点P的轨迹方程。
【答案】动点P的轨迹方程为y
2
=16x
类型二：抛物线的标准方程 < br>例3．已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点
M(3,?23)
， 求它的标准方程。
【解析】∵抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点
M(3 ,?23)
，
∴可设它的标准方程为x
2
=－2py（p＞0）。
∵点M在抛物线上，
2
∴
(3)??2p(?23)
，即
p?
3
。
4
资料来源于网络 仅供免费交流使用

精品文档 用心整理
因此所求方程是
x??
2
3
y

2
【总结 升华】求抛物线的标准方程关键是根据图象确定抛物线开口方向，选择适当的方程形式，准确求
出焦参数 P.
举一反三：
【变式】求过点
(?3,2)
的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：
【答案】∵点
(?3,2)
在第二象限，∴抛物线开口方向上或者向左
当抛物线开口方向左时，
设所求的抛物线方程为
y??2px
（
p?0
），
∵过点
(?3,2)
，∴
2??2p?(?3)
，
∴p?
2
2
24
2
，∴
y??x
，
33
2
当抛物线开口方向上时，
设所求的抛物线方程为
x?2py
（
p?0
），
∵过点
(?3,2)
，∴
3?2p?2
，
∴
p?
2
99
2
，∴
x?y
，
42
2
∴所求的抛物线的方程为
y??
49
x
或
x
2
?y
，
32
19
对应的准线方程分别是
x?
，
y??
。
38
类型三：抛物线的几何性质
【双曲线的方程 358821例1】
1
2
x
的焦点坐标、准线方程；
4
（2）已知抛物线的焦点为
F(0,?2),
写出其标准方程；
例4. （1）写出抛物线
y?
（3）已知抛物线的焦点在x轴的正半轴上，且焦点到 准线的距离为3，求抛物线的标准方程、焦点坐
标和准线方程.
【解析】（1）抛物线
y?
为
y??1
.
1
2< br>，准线方程
x
的标准方程为
x
2
?4y
，因为2p= 4，所以焦点坐标为（0，1）
4
p
=2，所以
p?4
，从而所求抛 物线的标准方程为
x
2
??8y
.
2
3
3
（3）由已知得
p?3
，所以所求抛物线标准方程为
y
2
?6x< br>，焦点坐标为
(,0)
，准线方程为
x??
.
2
2
（2）因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上，且
资料来源于网络 仅供免费交流使用

精品文档 用心整理
【总结升华】讨论抛物线的方程和几何性质时要注意抛物线的焦点轴和几何量
p,
系.
举一反三：
【变式1】（2016 四川文） 抛物线y=4x的焦点坐标是
(A)(0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0)
【答案】由题意，
y?4x
的焦点坐标为
(1,0)
，故选D.
2
2
p
,2p
的 区别与联
2
x
2
y
2
??1
的右焦点重合，则该抛物线的准线方程
【变式2】
若抛 物线y＝2px的焦点与椭圆
95
2
为 ．

【答案】x＝－2
x
2
y
2
??1
，故它的右焦点坐标是(2，0)， 【解 析】由题意椭圆
95
x
2
y
2
??1
的右焦点重合 ， 又y＝2px(p＞0)的焦点与椭圆
95
2
故p＝4，
∴抛物线的准线方程为x＝－2．
故答案为：x＝－2

例5．已知抛物 线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M（m，－3）到焦点的距离为5，求m
的值、抛物线的 方程和准线方程。
【解析】解法一：因为顶点在原点，对称轴是y轴，点M（m，－3）位于第三或第四象限
故 设抛物线方程为x
2
=－2py（p＞0），则焦点
F(0,?
∵M（m，－ 3）在抛物线上且|MF|=5，
p
)
；
2
?
m
2
?6p
?
p?4
?
故
?
，解得，
p
2
?
2
?
m??26
?
m?(?3?
2< br>)?5
?
∴
m??26
，
抛物线方程为x
2
=－8y，
准线方程为y=2。
解法二：如图所示：
设抛物方程为x
2
=－2py（p＞0），则焦点F(0,?
p
)
，准线
2
资料来源于网络 仅供免费交流使用

精品文档 用心整理
l:y?
p
，作MN⊥
l
，垂足为N，
2
则|M N|=|MF|=5，而
|MN|?3?
∴
3?
p
，
2
p
?5
，∴p=4，
2
由m
2
=－8 (－3)，得
m??26
。
∴
m??26
，
抛物线方程为x
2
=－8y，
准线方程为y=2.
【总结升华】抛物线的定义与方程的形式是解决抛物线几何性质问题时必须要考虑的两个重要因素
举一反三：
【变式1】设抛物线的顶点在原点，其焦点F在y轴上，又抛物线上的点(k，－ 2)与F点的距离为4，
则k的值是( )
A．4
C．－2
【答案】B
【变式2】(2014 新课标Ⅰ)已知抛物线C：y
2
＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C
的一个交点，若< br>FP
＝4
FQ
，则|QF|＝( )
A．
?
?
B．4或－4
D．2或－2
7

2
B． 3 C．
5

2
D．2
【答案】B．
【解析】设Q到l的距离为d，则|QF|＝d，
∵
FP
＝4
FQ
，
∴|PQ|＝3d，
∴直线PF的斜率为－2
2
，
∵F(2，0)，
∴直线PF的方 程为y＝－2
2
(x－2)，与y
2
＝8x联立可得x＝1，
∴|QF|＝d＝1+2＝3，
故选：B．


?
?
资料来源于网络 仅供免费交流使用