人教版高中数学【必修五】[知识点整理及重点题型梳理]_数列的概念与简单表示法_提高

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人教版高中数学必修五
知识点梳理
重点题型（
常考知识点
）巩固练习
【巩固练习】

【学习目标】
1.掌握数列的概念与简单表示方法，能处理简单的数列问题.
2.掌握数列及通项公式的概念，理解数列的表示方法与函数表示方法之间的关系.
3.了解数列的通项公式的意义并能根据通项公式写出数列的任一项.
4.理解数列的顺序性、感受数列是刻画自然规律的数学模型，体会数列之间的变量依赖关系.
【学习策略】
数列是自变量为正整数的一类特殊的离散函数，因此，学习数列，可类比函数来 理解。关于数列的一
些问题也常通过函数的相关知识和方法来解决.
【要点梳理】
要点一、数列的概念
数列概念：
按照一定顺序排列着的一列数称为数列.
要点诠释：
⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不 同，那么它们就是
不同的数列；
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.
数列的项：
数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项，第2项， …；排在第
n
位的
数称为这个数列的第
n
项.其中数列的第1项也叫 作首项.
要点诠释：数列的项与项数是两个不同的概念。数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项 数是指
这个数在数列中的位置序号.
类比集合中元素的三要素，数列中的项也有相应的三个性质：
（1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的；
（2）可重复性：数列中的数可以重复；
（3）有序性：数列中的数的排列是有次序的.
数列的一般形式：
数列的一般形式 可以写成：
a
1
,a
2
,a
3
,?,a
n
,?
，或简记为
{a
n
}
.其中
a
n是数列的第
n
项.
要点诠释：
{a
n
}
与< br>a
n
的含义完全不同，
{a
n
}
表示一个数列，a
n
表示数列的第
n
项.
要点二、数列的分类
根据数列项数的多少分：
有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列
无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列
数列的概念与简单表示法

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根据数列项的大小分：
递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。
递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。
常数数列：各项相等的数列。
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.
要点三、数列的通项公式与前n项和
数列的通项公式
如果数列
?
a
n
?
的第
n
项
a
n
与
n之间的关系可以用一个公式
a
n
?f(n)
来表示，那么这个公式就叫做 这
个数列的通项公式.
*
如数列：
0,1,2,3,...
的通 项公式为
a
n
?n?1
（
n?N
）；
1,1,1 ,1,...
的通项公式为
a
n
?1
（
n?N
*< br>）；
1
111

1,,,,...
的 通项公式为
a
n
?
（
n?N
*
）；
n
234

要点诠释：
⑴并不是所有数列都能写出其通项公式；
⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的。
如数列：1，0，1，0，1，0，…
1?(?1)
n?1
n?1
它的通项公式可以是
a
n
?
，也可以是
a
n
?|c os
?
|
.
2
2
⑶数列通项公式的作用：
①求数列中任意一项；
②检验某数是否是该数列中的一项.
（4）数列的通项公 式具有双重身份，它表示了数列的第
n
项，又是这个数列中所有各项的一般表示．
数列
{a
n
}
的前n项和
数列
{a
n
}
的前
n
项和：指数列
{a
n
}
的前n
项逐个相加之和，通常用
S
n
表示，即
S
n
?a
1
?a
2
?...?a
n
；
a
n
与
S
n
的关系
当
n?1
时
a
1
?S
1
；
当< br>n?2
时，
a
n
?(a
1
?a
2
? ...??a
n?1
?a
n
)?(a
1
?a
2?...?a
n?1
)?S
n
?S
n?1

n ?1
?
S
1
,
故
a
n
?
?
.
*
S?S,n?2且n?N
n?1
?
n
要点四、数列 的表示方法
通项公式法（解析式法）：
数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系。 给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列的
每一项．反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数 列中的项。
列表法
相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用
a
1
表示第一项，用
a
2
表示第二项，……，用
a
n
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表示第
n
项，……，依次写出得数列
{a
n
}
．
1 2 …
n

…
…
a
1

a
2

a
n

…
图象法：
数列是一种特殊的函数，可以用函数图象的画法画数列的图形．
具体方法：以项数
n
为横坐标，相应的项
a
n
为纵坐标，即以
(n,a
n
)
为坐标在平面直角坐标系中做出
点。所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整 数，所以这些点都在
y
轴的右侧，而点的个数
取决于数列的项数．从图象中可以直观地 看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．
递推公式法
递推公式：如果已知数列?
a
n
?
的第1项（或前几项），且任一项
a
n
与它的前一项
a
n?1
（或前几项）间
的关系可以用一个公式来表示，那么 这个公式就叫做这个数列的递推公式。
递推公式也是给出数列的一种方法。如：
数列：-3，1，5，9，13，…，
可用递推公式：
a
1
??3 ,a
n
?a
n?1
?4(n?2)
表示。

数列：3，5，8，13，21，34，55，89，…，
可用递推公式：
a
1
?3,a
2
?5,a
n
?a
n?1
?a
n?2
(n?3)
表示。

要点五、数列与函数
（1）数列是一个特殊的函数，其特殊性主要体现在定义域上。
?
数列可以看成以正 整数集
N
（或它的有限子集
{1,2,3,...,n}
）为定义域的函数< br>a
n
?f(n)
，当自变量
从小到大依次取值时对应的一列函数值。反 过来，对于函数
y?f(x)
,如果
f(i)
（
i?1,2,3,. ..,n,...
）有
意义，那么我们可以得到一个数列
f(1)
，
f(2)
，
f(3)
，…，
f(n)
，…；
（2）数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式。
数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式就是相应函数的解析式。
数列通项公式反 映了一个数列项与项数的函数关系。给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列的
每一项．反之，根据 通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项。
（3）数列的图象是落在
y
轴右侧的一群孤立的点
数列
a
n
?f(n)
的图象是以项数
n
为横坐标，相应的项
a
n< br>为纵坐标的一系列孤立的点
(n,a
n
)
，这些点
都落在函数
y?f(x)
的图象上。因为横坐标为正整数，所以这些点都在
y
轴的右侧， 从图象中可以直观
地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．
（4）跟不是所有的函数都有解析式一样，不是所有的数列都有通项公式.
【典型例题】
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类型一：根据数列的前几项写出数列的一个通项公式
例1．写出下列各数列的一个通项公式，使其前四项分别是:
3
8
15
,,,…；
2
3
4
?3
5
?7
(2) 1, ,,,…；
4
9
16
(1) 0,
(3) 9, 99,999, 9999,…；
(4) 6, 1, 6,1,….
【解析】
1
2?1
2
2
?1
3
2
?1
4
2
?1
（1）将数列改写为，，，，…，
24
13
n
2
?1
故
a
n
?
.
n
（2）此数列奇数项为正，偶数项 为负，可用
(?1)
n?1
来表示；
其绝对值中分子为奇数数列，分母是自然数的平方数列，
故
a
n
?(?1)
n?1
?
2n?1
.
2
n
1234
（3）将数列改写为
10?1
,
10?1
,
10?1
,
10?1
，…，
n
故
a
n
?10?1
.
（4）将数列每一项减去 6与1的平均值
故
a
n
?
75555
得新数列, -,, -,…，
22222
7575
?(?1)
n?1
?
或a
n
??cos(n?1)
?
.

2222
【总结升华】写通项时注意以下常用思路：
①若数列中的项均为分数，则先 观察分母的规律再观察分子的规律，如(1)；特别注意有时分数是约
分后的结果，要根据观察还原分数 ；
nn
②注意(－1)在系数中的作用是让数列中的项正、负交替出现，如(2)；(-1) 作指数，让数列中隔项
出现倒数；
③（4）可视为周期数列，故想到找一个周期为2的函数为背景。
④归纳猜想的关键是从特殊 中去寻找一般规律，很多情况下是将已写出的项进行适当的变形，使规律
明朗化.
⑤熟练掌握一些基本数列的通项公式，例如：
n
数列-1，1，-1，1，…的通项 公式为
a
n
?(?1)
；
数列1，2，3，4，…的通项公式为
a
n
?n
；
数列1，3，5，7，…的通项公式为
a
n
?2n?1
；
数列2，4，6，8，…的通项公式为
a
n
?2n
；
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2
数列1，4，9，16，…的通项公式为
a
n
?n
； < br>数列1，
1
1
1
1
，，，…的通项公式为
a
n
?
。
n
2
3
4
举一反三：
【数列的概念与简单表示法379271 数列知识的讲解及配套练习】
【变式】根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1) 1, 1, 1, 1,…；
(2) -1, 1, -1, 1, …；
(3) 1, -1, 1, -1, …；
(4)
1，-，，-
, …；
(5) 2，0，2，0，….
【答案】
(1)
a
n
?1
；
n?2
(2)
a
n
?(?1)
；
n?1
(3)
a
n
?(?1)
；
11
23
1
4
(4)
a
n
?(?1)
n?1
1
；
n
(5)
a
n
?1?(?1)
n?1
；
类型二：通项公式的应用
例2．已知数列
{a
n
}
的通项 公式
a
n
?3n?2
, 试问下列各数是否为数列
{a
n
}
的项，若是，是第几项？
(1) 94；(2) 71.
【思路点拨】
先假设是数列中的项，可以列方程求解，若求解得到的 脚标
n?N
?
，那么是数列中的项，否则，不是.
【解析】
（1）设
94?3n?2
, 解得
n?32
.
故94是数列
{a
n
}
的第32项.
（2）设
71?3n?2
，解得
n?24?N
.
故71不是数列
{a
n
}
的项.
【总结升华】方程思想是 解决数列中未知量的主要方法，
n,a
n
,d,S
n
,a
1
中知三求二，就是采用了方程
的思想.
举一反三：
1
3
*
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?
1
(n是奇数）
?
【变式1】数列
{a
n
}
的通项公式为
a
n
??
n
它的前8项依次为
?
2n?1（n是偶数）
?
【答案】
1,3,,7,,11,,15

【变式2】已知数列
{ a
n
}
的通项公式
a
n
?(n?1)(n?2)
,
（1）若
a
n
?9900
，试问
a
n
是第 几项？
（2）56和28是否为数列
{a
n
}
的项？
【答案】（1）98项；（2）56是，28不是.
类型三：递推公式的应用
【数列的概念与简单表示法379271 例2】
例3. 设数列
{a
n< br>}
满足：
a
1
?1
，
a
n
?1?< br>【思路点拨】
题中已给出
{a
n
}
的第1项
a1
?1
和递推公式：
a
n
?1?
1
3
1
5
1
7
1
(n?2)
，写出这个数列的前五项。
a
n?1
1
a
n?1
，故可以依次写出下列各项.
【解析】据题意可知：
a
1
?1
，
a
2
?1?< br>11315
8
?2
，
a
3
?1??
，
a
4
?1??
，
a
5
?

a
1
a
2
2a
3
3
5
故数列的前5项为:1，2，3
58
，，.
2
35
【总结升华】递推公式也是给出数列的一 种方法，根据数列的递推公式，可以逐次写出数列的所有项。
举一反三：
【变式1】已知数 列
{a
n
}
满足：
a
1
?2
，
a
n?1
?2a
n
，写出前5项，并猜想
a
n
．
【答案】
23n
2
法一：
a
1
?2
，< br>a
2
?2?2?2
，
a
3
?2?2?2
，观 察可得
a
n
?2

法二：由
a
n?1
?2 a
n
，∴
a
n
?2a
n?1
即
a
n
?2

a
n?1
∴
a
n
aa
a
?
n?1
?
n?2
?
??
?
2
?2
n?1

a
n?1
a
n?2
a
n?3
a
1
n?1n
∴
a
n
?a
1?2?2

b
1
?a
1
?1
，
b2
?a
2
?2
，
b
3
?a
3
?3
. 【变式2】已知两个等比数列
?
a
n
?
，满足a
1
?a
(a?0)
，
?
b
n
?，
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若
a?1
，求数列
?
a
n
?
的通项公式；
【答案】
解：（1）设
?
a
n
?
的公比为q,则 b
1
?1?a?2,b
2
?2?aq?2?q,
b
3
?3?aq?3?q,由b
1
，b
2
，b
3
成等比数列得 ：
(2+q)?2(3?q)
即q?4q?2?0,解得q
1
?2?
所以
?
a
n
?
的通项公式为a
n
=（2?
【数列的概念与简单表示法379271 例3】
例4.（1）已知数列
{a
n}
满足
a
1
?1,a
n
?a
n?1
? 1(n?2),
写出这个数列的通项公式.
（2）已知数列
{a
n
}
满足
a
1
?1,
2
22
22

2,q
2
?2?
n?1
2
2）.
n?1
2）或a< br>n
=（2-
a
n
n
?(n?2),
写出这个数列的通 项公式.
a
n?1
n?1
【解析】（1）由递推式可得，
a
2
?a
1
?1,a
3
?a
2
?1,……,an
?a
n?1
?1,

把以上n-1个式子相加得，
a
n
?a
1
?n?1,

∴
a
n
?n
，显然n=1，也适用，
∴数列的通项为
a
n
?n

（2）由递推式可得
a
a
2
2
a
3
3
a
4
4n

?,?,?,……，
n
?
a
1
3a
2
4a
3
5a
n?1
n?1
把以上n-1个式子相乘得，
a
n
2
；
?
a
1
n?1
2，
n?1时，a
1
?1,

n?1
2
∴数列的通项为
a
n
?

n?1
∴
a
n
?
【总结升华】一般递推关系为
a
n?1< br>?f(n)?a
n
时，可用累乘法求通项公式；递推关系为
a
n?1< br>?f(n)?a
n
时可考虑累加法，有时需要将递推关系化简，再灵活求通项.
举一反三：
【变式1】（2014 新课标Ⅱ）数列{a
n
}满足a
n
＋
1
＝
1
，a
8
＝2，则a
1
＝ ．
1?a
n
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【答案】由题意得，a
n
＋
1
＝
1
，a
8
＝2，
1?a
n
令n＝7代 入上式得，a
8
＝
1
1
，解得a
7
＝；
1?a
7
2
令n＝6代入得，a
7
＝
1
，解得a< br>6
＝－1；
1?a
6
令n＝5代入得，a
6
＝
…
1
，解得a
5
＝2；
1?a
5
根据以上结果发现 ，求得结果按2，
∵8÷3＝2…2，故a
1
＝
1
，－1循环， < br>2
【变式2】已知数列{a
n
}满足：a
4n
－
3< br>＝1，a
4n
－
1
＝0，a
2n
＝a
n，n∈N
*
，则a
2 009
＝________；a
2 014
＝________.
【答案】1 0
【解析】
依题意得a
2 009
＝a
4
×
503
－
3
＝1，a
2 014
＝a
2
×
1 007
＝a
1 007
＝a< br>4
×
252
－
1
＝0.故分别填1,0.
类型四： 前
n
项和公式
S
n
与通项
a
n
的关系
【例5】（2015秋 通渭县校级期末）已知数列{a
n
}的前n项和，求a
n
．
1

2
【思路点拨】利用公式
【解析】a
1
=S< br>1
=3+2=5，
﹣﹣
a
n
=S
n
﹣S< br>n
﹣
1
=（3+2
n
）﹣（3+2
n1
）= 2
n1
，
﹣
当n=1时，2
n1
=1≠a
1
，
∴．
可求出数列{a
n
}的通项a
n
．
【思路点拨】已知S< br>n
，求a
n
的类型，解答本题的关键是利用a
n
=S
n
﹣S
n
﹣
1
求出数列的通项公式，要特别注
意n=1的检 验．
举一反三：
【变式1】（2015春 迪庆州校级月考）数列的前n项的和 S
n
=2n
2
+n+1，求数列的通项公式．
【解析】当n≥2时 ，有a
n
=S
n
﹣S
n
﹣
1
=2n
2
+n+1﹣[2（n﹣1）
2+
（n﹣1）+1]=4n﹣1；，
而a
1
=S
1
=4不适合上式，
所以．
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【变式2 】已知数列
{a
n
}
的前
n
项积
S
n?n?2
，求通项
a
n

【答案】当
n?2
时 ，
a
n
?S
n
?S
n?1
?
当
n ?1
时，
a
1
?S
1
?1?2?3?
n?2
，
n?1
1?2
，
1?1
?
3,(n?1)
?
∴
a
n
?
?
n?2
.
*
,(n?2且n?N)
?
?
n?1
类型五：数列与函数
例6.已知函数
f(x)?2
x
?2
?x
,
数列< br>{a
n
}
满足
f(log
2
a
n
) ??2n
，
（1） 求数列
{a
n
}
的通项公式；
（2） 证明数列
{a
n
}
是递减数列.
【思路点拨】证 明一个数列
{a
n
}
是递减数列，或者证
a
n?1
?a
n
?0
或者证
【解析】（1）
a
n?1
?1
。
a
n
f(x)?2
x< br>?2
?x
,f(log
2
a
n
)??2n
? 2
log
2
a
n
?2
?log
2
a
n
??2n,a
n
?
1
??2n,
a
n

?a
n
2
?2na
n
?1?0,解得a
n
??n?n
2
?1.
a
n
?0,?a
n
?n
2
?1.?n
(n?1)
2
?1?(n?1)
a
n?1< br>(2)证明：
?
2
a
n
n?1?n
a
n? 1
n
2
?1?n
=
??1,

2
a
n
(n?1)?1?(n?1)
又
a
n
?0,?a
n?1
?a
n
,
∴数列
{a
n
}
是递减数列 < br>【总结升华】数列是一个特殊的函数，数列的通项公式就是相应的函数解析式，即
a
n< br>?f(n)

举一反三：
3n?2
,判断数列
{a
n
}
的单调性，并给以证明. < br>n?3
3(n?3)?1111
?3?
【答案】∵
a
n
?
，
n?3n?3
【变式1】已知数列
{a
n
}
中
a
n
?
∴
a
n?1
?a
n
? (3?
111111
)?(3?)??0
（
n?N
*
）
n?4n?3(n?3)(n?4)
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∴数列
{a
n
}
是递增数列.
【变式2】数列
{ a
n
}
中：
a
1
?1
,
a
n?1
?
2a
n
*
（
n?N
）
a
n
?2
（1）写出它的前五项，并归纳出通项公式；
（2）判断它的单调性.
【答案】
（1）
a
1
?1,
a
2
?
2122122
,
a
3
??
,
a
4
?
,
a
5
??
,∴
a
n
?
；
324536n?1
222
????0
，
n?2n?1(n?2) (n?1)
（2）方法一：∵
a
n?1
?a
n
?
∴ 数列
{a
n
}
是递减数列.
方法二：∵函数
f(x)?< br>2
在
x?[1,??)
上单调递减，
x?1
∴数列
{a
n
}
是递减数列.
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