高中数学必修一卷子-高中数学百度云吧
精品文档 用心整理
人教版高中数学必修二
知识点梳理
重点题型（
常考知识点
）巩固练习
直线、平面垂直的性质
【学习目标】
1．掌握直线与平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；
2．掌握两个平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；
3．能综合运用直线与平面、平面与平面的垂直、平行的判定和性质定理解决有关问题．
【要点梳理】
要点一、直线与平面垂直的性质
1.基本性质
文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.
符号语言：
l?
?
,m?
?
?l?m
图形语言：
2.性质定理
文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.
符号语言：
l?
?
,m?
?
?lm
图形语言：
3．直线与平面垂直的其他性质
（1）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
（2）若
l?
?
于
A
，
AP?l
，则
AP?
?<
br>．
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．
（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．
要点诠释：
线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化．
要点二、平面与平面垂直的性质
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
1．性质定理
文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
符号语言：
?
?
?
,
?
图形语言：
?
?m,l?
?
,l?m?l?
?
要点诠释：
面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的
平面角经常用到．这
种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解（证）问题的重要思想
方法．
2．平面与平面垂直性质定理的推论
如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．
要点三、垂直关系的综合转化
线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的，能够相互转化，
转化的纽带是对应的定义、判定定理
和性质定理，具体的转化关系如下图所示：
在解决问题时，可以从条件入手，分析已有的垂直关系，早从结论探求所需的关系，从而架起条
件与
结论的桥梁．
垂直间的关系可按下面的口诀记忆：
线面垂直的关键，定义来证最常见，
判定定理也常用，它的意义要记清．
平面之内两直线，两线交于一个点，
面外还有一条线，垂直两线是条件．
面面垂直要证好，原有图中去寻找，
若是这样还不好，辅助线面是个宝．
先作交线的垂线，面面转为线和面，
再证一步线和线，面面垂直即可见．
借助辅助线和面，加的时候不能乱，
以某性质为基础，不能主观凭臆断，
判断线和面垂直，线垂面中两交线．
两线垂直同一面，相互平行共伸展，
两面垂直同一线，一面平行另一面．
要让面和面垂直，面过另面一垂线，
面面垂直成直角，线面垂直记心间．
【典型例题】
类型一：直线与平面垂直的性质
例1．设a，b为异面直线，AB是它们的公垂线（与两异面直线都垂直且相交的直线）．
（1）若a，b都平行于平面
?
，求证：AB⊥
?
；
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
（2）若
a，b分别垂直于平面
?
，
?
，且
??
?c
，求证
：AB∥c．
【思路点拨】（1）依据直线和平面垂直的判定定理证明AB⊥
?
，可
先证明线与线的平行．（2）由于
此时垂直的关系较多，因此可以考虑利用线面垂直的性质证明AB∥c
．
证明：（1）如图（1），在
?
内任取一点P，设直线a与点P确定的平面与平面
?
的交线为a＇，设直线
b与点P确定的平面与平面
?
的交线为b＇
．
∵a∥
?
，b∥
?
，∴a∥a＇，b∥b＇．
又∵AB⊥
?
，AB⊥b，∴AB⊥a＇，AB⊥b＇，
∴AB⊥
?
．
（2）如图，过B作BB＇⊥
?
，则AB⊥BB＇．
又∵AB⊥b，∴AB垂直于由b和BB＇确定的平面．
∵b⊥
?
，∴b⊥c，∵BB＇⊥
?
，∴BB＇⊥c．
∴c也垂直于由BB＇和b确定的平面．
故c∥AB．
【总结升华】由第（2）问
的证明可以看出，利用线面垂直的性质证明线与线的
平行，其关键是构造平面，使所证线皆与该平面垂直
．如题中，通过作出辅助线BB＇，构造出平面，即由
相交直线b与BB＇确定的平面，然后借助于题目
中的其他垂直关系证明．
举一反三：
【变式1】
设
l
，m是两条不同的直线，
?
是一个平面，则下列命题正确的是（
）
A．若
l
⊥m，m
?
?
，则
l
⊥?
B．若
l
⊥
?
，
l
∥m，则m⊥
?
C．若
l
∥
?
，m
?
?
，则
l
∥m
D．若
l
∥
?
，m∥
?
，则
l
∥m
【答案】 B
【解析】两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
：空间的线面垂直398999 例3
例2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面A
BCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，
PA=AB=BC，E是PC的中点．
（1）证明：AE⊥CD；
（2）证明：PD⊥平面ABE．
【思路点拨】（1）由PA⊥底面ABCD，可得
CD⊥PA，又CD⊥AC，故CD⊥面PAC，从而
证得CD⊥AE；
（2）由等腰三角形
的底边中线的性质可得AE⊥PC，由（Ⅰ）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，AE⊥PD，再
由
AB⊥PD 可得 PD⊥面ABE。
【解析】（1）证明：在四棱锥P-
ABCD中，PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA．
又CD⊥AC，PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC，
∵AE?面PAC，故CD⊥AE．
（2）证明：由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得PA=AC，
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，
由（1）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，故AE⊥PD．
由（1）知，AE⊥CD，且PC∩CD=C，所以AE⊥平面PCD．
而PD?平面PCD，∴AE⊥PD．
∵PA⊥底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，AB⊥AD，∴AB⊥PD．
又∵AB∩AE=A，∴PD⊥面ABE
【总结升华】直线与平面垂直的性质定理（以及补充
性质）是线线、线面垂直以及线面、面面平行相
互转化的桥梁，因此必须熟练掌握这些定理，并能灵活地
运用它们．
举一反三：
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
【变式1】如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面
AC，再过A作AE⊥SB
交SB于E，过E作EF⊥SC交SC于F．
（1）求证：AF⊥SC；
（2）若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD．
【解析】
证明：（1）∵SA⊥平面AC，BC
?
平面AC，∴SA⊥BC．
∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥BC，∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥AE．
又AE⊥SB，∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥SC．
又EF⊥SC，∴SC⊥平面AEF，∴AF⊥SC．
（2）∵SA⊥平面AC，∴SA⊥DC，
又AD⊥DC，∴DC⊥平面SAD，∴DC⊥AG．
又由（1）有SC⊥平面AEF，AG
?
平面AEF，
∴SC⊥AG，∴AG⊥平面SDC，∴AG⊥SD．
【变式2】（2015秋 葫芦岛月考
）如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE
上的点，且BF
⊥平面ACE。
（1）求三棱锥D—AEC的体积；
（2）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE。
【思路点拨】（1）转化顶点，以平面ADC为底，则AB中点O，连接O
E，因为OE⊥AB，OE⊥AD，得到
OE⊥面ADC，所以OE为底面上高，分别求得底面积和高，
再用三棱锥的体积公式求解；
（2）在△ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，在△B
EC中过G点作GN∥BC交EC于N点，
连MN，证明平面MGE∥平面ADE，可得MN∥平面AD
E，从而可得结论。
【答案】（
1
）
4
（
2
）详见证明
3
【证明】取AB中点O，连接OE，
因为AE=EB，所以OE⊥AB。
因为AD⊥面ABE，OE
?
面ABE，所以OE⊥AD，
所以OE⊥面ABD。
因为BF⊥面ACE，AE
?
面ACE，所以BF⊥AE。
因为CB⊥面ABE，AE
?
面ABE，所以AE⊥BC。
又BF∩BC=B，所以AE⊥平面BCE。
又BE
?
面BCE，所以AE⊥EB。
所以△AEB为等腰直角三角形，所
以
AB?22
，所以AB边上的高OE为
2
，
所以
VD?AEC
?V
E?ADC
?
14
?22?2?
。 <
br>33
（2）在△ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，在△BEC中过G点作GN∥BC交
EC于N点，
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
连MN，所以
CN?
1
CE
。
3
因为MG∥AE
，MG
?
平面ADE，AE
?
平面ADE，
所以MG∥平面ADE，
同理，GN∥平面ADE，且MG与GN交于G点，
所以平面MGE∥平面ADE，
又MN
?
平面MGN，所以MN∥平面ADE。
所以N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点。
类型二：平面与平面垂直的性质
：空间的面面垂直399110 例2
例3．如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．
【解析】
已知：
?
?
?
，
?
?
?
，
??<
br>?l
，求证：
l?
?
．
证法1：如图（左），在
?
内取一点P，作PA垂直于
?
与
?
的交线于A，PB垂直于
?
与
?
的交线于B，
则PA⊥
?
，PB⊥
?
，
∵
l?
??
，∴
l
⊥PA，
l
⊥PB．
∵PA
?
?
，PB
?
?
，PA∩PB=P，
∴
l?
?
．
证法2：如图（右），在
?
内作直线m垂直于
?
与
?
的交线，在
?
内作直线n垂直于
?
与
?
的交线，
∵
?
?
?
，
?
?
?
，∴
m?
?
，
n?
?
，∴m∥n．
又
n?
?
，∴m∥
?
，
∴m∥
l
，∴
l?
?
．
证法3：如图，在
l上取一点A，过A作直线m，使
m?
?
．
∵
?
??
，且
A?l?
?
，∴
m?
?
．
同
理
m
?
，∴
m?
??
?l
，即
l
与m重合．
∴
l?
?
．
【总结升华】证法1、证法2都是利用“
两平面垂直时，在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂
直于另一个平面”这一性质，添加了在一个平
面内垂直于交线的直线这样的辅助线，这是证法1、证法2
的关键．证法3利用两个平面垂直的推论，则
较为简捷．由此可见，我们必须熟练掌握这一推论．
举一反三：
资料来源于网络
仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
【变式1】如下图，已知PA⊥平面ABC，二面角A—PB—C是直二面角．求证：AB⊥BC．
证明：二面角A—PB—C为直二面角，即平面PAB⊥平面CPB，且PB为交线．
在平面PAB内，过A作AD⊥PB，D为垂足（如图），
则AD⊥平面CPB，又BC
?
平面CPB，所以AD⊥BC．
因为PA⊥平面ABC，BC
?
平面ABC，
所以PA⊥BC，又PA∩AD=A，
因此，BC⊥平面PAB，又AB
?
平面PAB，
所以AB⊥BC． 【总结升华】面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法（即若有两个平面垂直，则在一个平面
内作垂直于交线的直线，则该直线必垂直于另一个平面），利用它可以作出二面角的平面角、直线与平面
所成的角、平面的垂线等．
类型三：综合应用
例4．如图，在底面是正方形的四棱锥P—A
BCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，
G为AC上一点。
（1）求证：BD⊥FG；
（2）确定点G在线段AC上的位置，使FG∥平面PBD，并说明理由；
（3）当二面角B
—PC—D的大小为
2
?
时，求PC与底面ABCD所成角的正
3
切
值。
【思路点拨】（1）要证：BD⊥FG，先证BD⊥平面PAC即可。
（2）确定点G
在线段AC上的位置，使FG∥平面PBD，FG∥平面PBD内
的一条直线即可。
（3）当
二面角B—PC—D的大小为
2
?
时，求PC与底面ABCD所成角的正切值。
3
只要作出二面角的平面角，解三角形即可求出结果。
【证明】（1）∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，其对角线BD，AC交于点E，
∴PA⊥BD，AC⊥BD，∴BD⊥平面PAC，
∵FG
?
平面PAC，∴BD⊥FG
（2）当G为EC中点，即
AG?
3
AC
时，FG∥平面PBD，
4
理由如下：
连接PE，由F为PC中点，G为EC中点，知FG∥PE，
而FG
?
?
平面PBD，PE
?
平面PBD，
故FG∥平面PBD。
（3）作BH⊥PC于H，连接DH，
∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，∴PB=PD，
又∵BC=DC，PC=PC，∴△PCB≌△PCD，
∴DH⊥PC，且DH=BH，
∴∠BHD就是二面角B—PC—D的平面角，即
?BHD?
2
?
，
3
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角
连接EH，则EH⊥BD
，
?BHE?
∴
tan?BHE?
?
3
，EH⊥PC，
BE
?3
，而BE=EC，
EH
∴
EH32
EC
?
，∴
tan?PCA?
，
?3
，∴
sin?P
CA?
EC32
EH
∴PC与底面ABCD所成角的正切值是
举一反三：
2
。
2
【变式1】（2016 山东潍坊模拟）如图，已知等腰梯形ABC
D中，AB∥CD，
AD?AB?
1
CD
，M
2
是CD的中
点．N是AC与BM的交点，将△BCM沿BM向上的翻折成△BPM，使平面BPM⊥平面ABMD
（1）求证：AB⊥PN．
（2）若E为PA的中点．求证：EN∥平面PDM．
【证明】（1）连结AM，
∵M是CD的中点，
AB?
1
CD
，AB∥CD，
2
∴四边形ABCM是平行四边形，四边形ABMD是平行四边形，
∴N是BM的中点，BM=AD，又∵AD=BC，
∴△BCM是等边三角形，即△PBM是等边三角形，
∴PN⊥BM，∵平面PBM⊥平面A
BMD，平面PBM∩平面ABMD=BM，PN
?
平面PBM，
∴PN⊥平面ABMD，∵AB
?
平面ABMD，
∴AB⊥PN．
（2）连结PC，∵E是PA的中点，N是AC的中点，
∴EN∥PC，
∵PC
?
平面PDM，EN
?
平面PDM，
∴EN∥平面PDM．
【总结升华】证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直——线面垂
直——面面垂直来实现的．因
此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互
转化，每一垂直的判定就是从
某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的．
【变式2】 如图
，在四棱锥
P?ABCD
中，底面
ABCD
为平行四边形，
?ADC
?45
0
，
AD?AC?1
，
O
为
AC
中
点，
PO?
平面
ABCD
，
PO?2
，
M
为
PD
中点．
(Ⅰ)证明：
PB
平面
ACM
；
(Ⅱ)证明：
AD?
平面
PAC
；
(Ⅲ)求直线
AM
与平面
ABCD
所成角的正切值．
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
【解析】
(Ⅰ)连接
BD
，
MO
．在平行四边形
ABCD
中， 因为
O
为
AC
的中点，所以
O
为
BD
的中点．
又
M
为
PD
的中点，所以
PBMO
．
因为
PB?
平面
ACM
，
MO?
平面
AC
M
，
所以
PB
平面
ACM
．
(Ⅱ)因为
?ADC?45
°，且
AD?AC?1
，
所以
?DAC?90
°，即
AD?AC
，
又
PO
?
平面
ABCD
，
AD?
平面
ABCD
，
所以
PO?AD
，而
AC?PO?O
，所以
AD?
平面<
br>PAC
．
(Ⅲ)取
DO
中点
N
，连接
M
N
，
AN
．因为
M
为
PD
的中点，
所以
MNPO
，且
MN?
1
2
PO?1
，由
P
O?
平面
ABCD
，
得
MN?
平面
ABCD
．
所以
?MAN
是直线
AM
与平面
ABCD
所
成的角．
在
Rt?DAO
中，
AD?1
，
AO?
1
2
，
所以
DO?
5
2
．从而
AN?<
br>1
2
DO?
5
4
．
在
Rt?ANM
中，
tan?MAN?
MN145
AN
?
5
?
5
，
4
即直线
AM
与平面
ABCD
所成角的正切值
为
45
5
．
资料来源于网络 仅供免费交流使用