3.1.1方程的根与函数的零点知识点归纳与练习(含详细答案)

第三章 函数的应用
§3.1 函数与方程
3．1.1 方程的根与函数的零点

课时目标 1.能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在 性及根的个数，理
解二次函数的图象与x轴的交点和相应的一元二次方程根的关系.2.理解函数零点的 概
念以及函数零点与方程根的联系.3.掌握函数零点的存在性定理．


1．函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点和相应的ax
2
＋bx＋c＝0( a≠0)的根的
关系
2
函数图象

Δ＝0
____个
____个


判别式
与x轴交点个数
方程的根
Δ>0
____个
____个
Δ<0
____个
无解

2.函数的零点
对于函数y＝f(x)，我们把________________叫做函数y＝f(x)的零点．

3．方程、函数、图象之间的关系
方程f(x)＝0__________?函数 y＝f(x)的图象______________?函数y＝
f(x)__________．

4．函数零点的存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是_ _______的一条曲线，并且有____________，
那么，函数y＝f(x)在区间(a， b)内________，即存在c∈(a，b)，使得__________，这
个c也就是方程f( x)＝0的根．


归纳总结：
1．方程的根与方程所对应函数的零点的关系
(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．
(2)根据函数零点定 义可知，函数
f
(
x
)的零点就是方程
f
(
x)＝0的根，因此判断一个函
数是否有零点，有几个零点，就是判断方程
f
(x
)＝0是否有实根，有几个实根．
(3)函数
F
(
x
)＝
f
(
x
)－
g
(
x
)的零点就是方 程
f
(
x
)＝
g
(
x
)的实数根，也就是 函数
y
＝
f
(
x
)
的图象与
y
＝
g
(
x
)的图象交点的横坐标．
1
2．并不是所有的函数都有零点，如函数
y
＝.
x
3． 对于任意的一个函数，即使它的图象是连续不断的，当它通过零点时，函数值也不
2
一定变号． 如函数
y
＝
x
有零点
x
0
＝0，但显然当它通过零 点时函数值没有变号．


第1页

一、选择题
1．二次函数y＝ax
2
＋bx＋c中，a·c<0，则函数的零点个数是( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无法确定
2．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法 正确的是
( )
A．若f(a)f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
B．若f(a)f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
C．若f(a)f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
D．若f(a)f(b)<0，有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
3．若函 数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点为2，那么函数g(x)＝bx
2
－ax的零点是 ( )
11
A．0，－ B．0，
22
1
C．0,2 D．2，－
2
4．函数f(x)＝e
x
＋x－2的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
2
?
?
x＋2x－3， x≤0，
5．函数f(x)＝
?
零点的个数为( )
?
－2＋ln x， x>0
?
A．0 B．1
C．2 D．3



6．已知函数y＝ax＋bx＋cx＋d的图象如图所示，则实数b的取值范围是( )
A．(－∞，0)
B．(0,1)
C．(1,2)
D．(2，＋∞)
题 号
1 2 3 4 5 6
答 案


二、填空题
7．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0， ＋∞)上是增
函数，则该函数有______个零点，这几个零点的和等于______．

8．函数f(x)＝ln x－x＋2的零点个数为________．

9．根据 表格中的数据，可以判定方程e
x
－x－2＝0的一个实根所在的区间为(k，k＋1)(k< br>∈N)，则k的值为________．

x 0 1 2 3
－1
x
e 0.37 1 2.72 7.39 20.09
1 2 3 4 5
x＋2


32
第2页

三、解答题
10．证明：方程x
4
－4x－2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解．











11．关于x的方程mx
2
＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根， 且一个大于4，一个小于4，
求m的取值范围．






能力提升
2
?
?
x＋bx＋c，x≤0，
12 ．设函数f(x)＝
?
若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则方程f(x)＝x的
?
2， x>0，
?
解的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
1 3．若方程x
2
＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2 之
间，求k的取值范围．



























第3页

第三章 函数的应用
§3.1 函数与方程
3．1.1 方程的根与函数的零点
知识梳理
1．2 1 0 2 1 2.使f(x)＝0的实数x 3.有实数根 与x轴有交点 有零点 4.连
续不断 f(a)·f(b)<0 有零点 f(c)＝0
作业设计
1．C [方程ax
2
＋bx＋c＝0中，∵ac<0，∴a≠0，
∴Δ＝b
2
－4ac>0，
即方程ax
2
＋bx＋c＝0有2个不同实数根，
则对应函数的零点个数为2个．]
2．C [对于选项A，可能存在根；
对于选项B，必存在但不一定唯一；
选项D显然不成立．]
3．A [∵a≠0,2a＋b＝0，
a1
∴b≠0，＝－.
b2
a1
令bx
2
－ax＝0，得x＝0或x＝＝－.]
b2
x
4．C [∵f(x)＝e＋x－2，
f(0)＝e
0
－2＝－1<0，
f(1)＝e
1
＋1－2＝e－1>0，
∴f(0)·f(1)<0，
∴f(x)在区间(0,1)上存在零点．]
5．C [x≤0时，令x
2
＋2x－3＝0，解得x＝－3.
x>0时，f(x)＝ln x－2在(0，＋∞)上递增，
f(1)＝－2<0，f(e
3
)＝1>0，∵f( 1)f(e
3
)<0
∴f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．
总之，f(x)在R上有2个零点．]
6．A [设f(x)＝ax
3
＋b x
2
＋cx＋d，则由f(0)＝0可得d＝0，f(x)＝x(ax
2
＋b x＋c)＝ax(x－
1)(x－2)?b＝－3a，又由x∈(0,1)时f(x)>0，可得a>0 ，∴b<0.]
7．3 0
解析 ∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，又∵f( x)在(0，＋∞)上是增函数，由奇函数
的对称性可知，f(x)在(－∞，0)上也单调递增，由f (2)＝－f(－2)＝0.因此在(0，＋∞)上
只有一个零点，综上f(x)在R上共有3个零点， 其和为－2＋0＋2＝0.
8．2
解析 该函数零点的个数就是函数y＝ln x与y＝x－2图象的交点个数．在同一坐标系
中作出y＝ln x与y＝x－2的图象如下图：

由图象可知，两个函数图象有2个交点，即函数f(x)＝ln x－x＋2有2个零点．
9．1
解析 设f(x)＝e
2
－(x＋2)，由题意知f(－1)<0， f(0)<0，f(1)<0，f(2)>0，所以方程的一
个实根在区间(1,2)内，即k＝1.
10．证明 设f(x)＝x
4
－4x－2，其图象是连续曲线．
因为f(－1)＝3>0，f(0)＝－2<0，f(2)＝6>0.
所以在(－1,0)，(0,2)内都有实数解．
第4页

从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解．
11．解 令f(x)＝mx
2
＋2(m＋3)x＋2m＋14.
?
m>0
?
m<0
依题意得
?
或
?
，
?
f?4?< 0
?
f?4?>0
??
?
m>0
?
m<0
19
?
即或
?
，解得－13
??
?
26m＋38<0
?
26m＋38>0


??
?
16－4b＋c＝c，
?
b＝4，
12．C [由已知
?
得
?

?
4－2b＋c＝－2，
???
c＝2.
2
?
?
x＋4x＋2，x≤0，
∴f(x )＝
?

?
2， x>0.
?

当x≤0时，方程为x
2
＋4x＋2＝x，
即x
2
＋3x＋2＝0，
∴x＝－1或x＝－2；
当x>0时，方程为x＝2，
∴方程f(x)＝x有3个解．]
13．解 设f(x)＝x
2
＋(k－2)x＋2k－1.
∵方程f(x)＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，
2k－1>0< br>f?0?>0
?
?
?
?
∴
?
f?1?<0< br>，即
?
1＋k－2＋2k－1<0
?
?
?
f?2?> 0
?
4＋2k－4＋2k－1>0
12
∴23





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