高中数学必修一函数的应用知识点+练习题含答案解析(非常详细)

第一部分函数的应用知识点整理


第三章 函数的应用
方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：对于函数 ，把使成立的实数叫做函数的零点。
2、函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象与 轴交点
的横坐标。即：方程有实数根，函数的图象与坐标轴有交点，函数有零点．
3、函数零点的求法：
（1）（代数法）求方程 的实数根；
（2）（几何法）对 于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，
并利用函数的性质找出零点．
4、二次函数的零点：
（1）△＞0，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数
有两个零点．
（2）△＝0，方程 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 轴有一个交点，
二次函数有一个二重零点或二阶零点．
（3）△＜0，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点．

第二部分练习题含答案解析

第三章 函数的应用
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．二次函数f(x)＝2x
2
＋bx－3(b∈R)的零点个数是( )
A．0
C．2




B．1
D．4
解析：∵Δ＝b
2
＋4×2×3＝b
2
＋24>0，
∴函数图象与x轴有两个不同的交点，从而函数有2个零点．
答案：C
1
2．函数y＝1＋
x
的零点是( )
A．(－1,0)
C．1




B．－1
D．0
1
解析：令1＋
x
＝0，得x＝－1，即为函数零点．
答案：B
3．下列给出的四个函数f(x)的图象中能使函数y＝f(x)－1没有零点的是( )

解析：把y＝f(x)的图象向下平移1个单位后，只有C图中图象与x轴无交点．
答案：C
4．若函数y＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(－2 ,2)上仅有一个
实数根，则f(－1)·f(1)的值( )
A．大于0

B．小于0
D．等于零 C．无法判断

解析：由题意不能断定零点在区间(－1,1)内部还是外部．
答案：C
1
5．函数f(x)＝e
x
－
x
的零点所在的区间是( )
1
A．(0，
2
)
3
C．(1，
2
)




1
B．(
2
，1)
3
D．(
2
，2)
111
解析：f(
2
)＝e－2<0， f(1)＝e－1>0，∵f(2
)·f(1)<0，∴f(x)的零点在区间(
2
，1)内．
答案：B
1
6．方程log
2
x＝2
x
－1的实根个数是( )
A．0
C．2




B．1
D．无穷多个
11
x
解析：方程log
2
x＝2－1的实 根个数只有一个，可以画出f(x)＝log
2
x及g(x)＝2
x
－1的图 象，两曲
线仅一个交点，故应选B.
答案：B
7．某产品的总成本y(万元)与产 量x(台)之间的函数关系式是y＝0.1x
2
－11x＋3000，若每台产品的
售 价为25万元，则生产者的利润取最大值时，产量x等于( )
A．55台
C．150台




B．120台
D．180台
解析：设产量为x台，利润为S万元，则S＝25x－y＝25x－(0.1x
2
－11x＋3000)
＝－0.1x
2
＋36x－3000 < br>＝－0.1(x－180)
2
＋240，则当x＝180时，生产者的利润取得最大值．
答案：D
8．已知α是函数f(x)的一个零点，且x
1
<α2
，则( )
A．f(x
1
)f(x
2
)>0
C．f(x
1
)f(x
2
)≥0




B．f(x
1
)f(x
2
)<0
D．以上答案都不对
解析：定理的逆定理不成立，故f(x
1
)f(x
2
)的值不确定．

答案：D
9．某城市为保护环境，维护水资源，鼓励职工节约用水，作出了如 下规定：每月用水不超过8吨，
按每吨2元收取水费，每月超过8吨，超过部分加倍收费，某职工某月缴 费20元，则该职工这个月实
际用水( )
A．10吨
C．11吨




B．13吨
D．9吨
解析：设该职工该月实际用水为x吨，易知x>8.
则水费y＝16＋2×2(x－8)＝4x－16＝20，
∴x＝9.
答案：D
10．某工厂6年来生产甲种产品的情况是：前3年年产量的增大速度越来越快，后3年年产量保
持不变，则该厂6年来生产甲种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象为( )

答案：A
11．函数f(x)＝|x
2
－6x＋8|－k只有两个零点，则( )
A．k＝0



B．k>1
C．0≤k<1 D．k>1，或k＝0
解析：令y
1
＝|x
2
－6x＋8|，y< br>2
＝k，由题意即要求两函数图象有两交点，利用数形结合思想，作出
两函数图象可得选 D.
答案：D
12．利用计算器，算出自变量和函数值的对应值如下表：
x
y＝x
2

0.2 0.6 1.0
2.0
1.0
1.4 1.8 2.2 2.6 3.0
8.0
9.0
3.4
10.55
6
11.56
…
…
…
y＝2
x

1.149 1.516
0.04 0.36
2.639 3.482 4.595 6.063
1.96 3.24 4.84 6.76
那么方程2
x
＝x
2
的一个根所在区间为( )
A．(0.6,1.0)
C．(1.8,2.2)






B．(1.4,1.8)
D．(2.6,3.0)

解析：设f(x)＝2
x
－x
2
，由表格观察出x＝1.8 时，2
x
>x
2
，即f(1.8)>0；
在x＝2.2时，2
x
2
，即f(2.2)<0.
综 上知f(1.8)·f(2.2)<0，所以方程2
x
＝x
2
的一个根位于区 间(1.8,2.2)内．
答案：C
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．用二分法求方程x
3
－2x－ 5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x
1
＝3，则下一个有根区间是
___ _______．
解析：设f(x)＝x
3
－2x－5，则f(2)<0，f(3) >0，f(4)>0，有f(2)f(3)<0，则下一个有根区间是(2,3)．
答案：(2,3)
11
14．已知函数f(x)＝ax
2
－bx＋1的零点为－，，则a＝__ ________，b＝__________.
23
11b111
解析：由韦达定 理得－
2
＋
3
＝
a
，且－
2
×
3
＝
a
.解得a＝－6，b＝1.
答案：－6 1
15．以墙为一 边，用篱笆围成一长方形的场地，如图1.已知篱笆的总长为定值l，则这块场地面积
y与场地一边长x 的关系为________．

图1
解析：由题意知场地的另一边长为l－2x，
l
则y＝x(l－2x)，且l－2x>0，即02
.
l
答案：y＝x(l－2x)(02
)
16．某化工厂生产 一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次
1
可使杂质含 量减少
3
，至少应过滤________次才能达到市场要求？(已知lg2＝0.3010， lg3＝0.4771)
1
解析：设过滤n次才能达到市场要求，则2%(1－
3< br>)
n
≤0.1%
20.12
即(
3
)
n< br>≤
2
，∴nlg
3
≤－1－lg2，

∴n≥7.39，∴n＝8.
答案：8
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17．(10分)已知 二次函数f(x)的图象过点(0,3)，它的图象的对称轴为x＝2，且f(x)的两个零点的平
方和 为10，求f(x)的解析式．
b
解：设二次函数f(x)＝ax
2
＋bx ＋c(a≠0)．由题意知：c＝3，－
2a
＝2.
2
设x
1，x
2
是方程ax
2
＋bx＋c＝0的两根，则x
2
1
＋x
2
＝10，
b2c6
∴(x
1
＋x
2
)
2
－2x
1
x
2
＝10，∴(－
a< br>)
2
－
a
＝10，∴16－
a
＝10，
b
∴a＝1.代入－
2a
＝2中，得b＝－4.∴f(x)＝x
2
－4 x＋3.
18．(12分)求方程x
2
＋2x＝5(x>0)的近似解(精确度0.1)．
解：令f(x)＝x
2
＋2x－5(x>0)．
∵f(1)＝－2，f(2)＝3，
∴函数f(x)的正零点在区间(1,2)内．
取(1,2)中点x
1
＝1.5，f(1.5)>0.取(1,1.5)中点x
2< br>＝1.25，f(1.25)<0.
取(1.25,1.5)中点x
3
＝1.375，f(1.375)<0.
取(1.375,1.5)中点x
4
＝1.4375，f(1.4375)<0.取(1.43 75,1.5)．
∵|1.5－1.4375|＝0.0625<0.1，
∴方程x
2
＋2x＝5(x>0)的近似解为x＝1.5(或1.4375)．
19．(12分)要挖一个面积为800 m
2
的矩形鱼池，并在四周修出宽分别为1 m,2 m的小路，试求鱼
池与路的占地总面积的最小值．
800
解：设所建矩形鱼池的长为x m，则宽为
x
m，于是鱼池与路的占地面积为
8
y＝(x＋2)(
x
＋4)＝808＋4x＋
x
＝808＋4(x＋
x
)＝808＋4 [(x－)
2
＋40]．
x
当x＝
20
，即x＝20时，y取最小值为968 m
2
.
x
答：鱼池与路的占地最小面积是968 m
2
.
20．(12分)某农工贸集团开发的养殖业和养殖加工生产的年利润分别为P和Q(万元)，这两项利 润

x10
与投入的资金x(万元)的关系是P＝
3
，Q＝3
x，该集团今年计划对这两项生产共投入资金60万元，
其中投入养殖业为x万元，获得 总利润y(万元)，写出y关于x的函数关系式及其定义域．
x10
解：投入养殖加工生产业 为60－x万元．由题意可得，y＝P＋Q＝
3
＋
3
60－x，
由60－x≥0得x≤60，∴0≤x≤60，即函数的定义域是[0,60]．
21．(1 2分)已知某种产品的数量x(百件)与其成本y(千元)之间的函数关系可以近似用y＝ax
2
＋bx
＋c表示，其中a，b，c为待定常数，今有实际统计数据如下表：
产品数量x(百件)
成本合计y(千元)
(1)试确定成本函数y＝f(x)；
(2)已知每件这种产品的销售价为200元，求利润函数p＝p(x)；
(3)据利润函数 p＝p(x)确定盈亏转折时的产品数量．(即产品数量等于多少时，能扭亏为盈或由盈
转亏)
解：(1)将表格中相关数据代入y＝ax
2
＋bx＋c，
6
104
10
160
20
370
?
36a ＋6b＋c＝104
得
?
100a＋10b＋c＝160，
?
400 a＋20b＋c＝370

11
解得a＝
2
，b＝6，c＝50.所 以y＝f(x)＝
2
x
2
＋6x＋50(x≥0)．
1
2
(2)p＝p(x)＝－
2
x＋14x－50(x≥0)．
1
2
(3)令p(x)＝0，即－
2
x＋14x－50＝0，
解得x＝14±46，即x
1
＝4.2，x
2
＝23.8，
故4.20；x<4.2或x>23.8时，p(x)<0，
所以当产品数量为420件时，能扭亏为盈；
当产品数量为2380件时由盈变亏．
22．(12分)某企业常年生产一种出口产品，根据需求预测：进入21世纪以来，前8年在正常情况
下，该产品产量将平衡增长．已知2000年为第一年，头4年年产量f(x)(万件)如表所示：
x
f(x)
1
4.00
2
5.58
3
7.00
4
8.44
(1)画出2000～2003年该企业年产量的散点图；
(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量发展变化的函数模型，并求之．

(3)2006年(即x＝7)因受到某外国对我国该产品反倾销的影响，年产量应减少 30%，试根据所建立
的函数模型，确定2006年的年产量应该约为多少？
解：

图2
(1)散点图如图2：
?
a＋b＝4
(2)设f(x)＝ax＋b.由已知得
?
，
?
3a＋b＝7
35
解得a＝
2
，b＝
2
，
35
∴f(x)＝
2
x＋
2
.
检验：f(2)＝5.5，|5.58－5.5|＝0.08<0.1；
f(4)＝8.5，|8.44－8.5|＝0.06<0.1.
35
∴模型f(x)＝
2
x＋
2
能基本反映产量变化．
35
(3)f(7)＝
2
×7＋
2
＝13，
由题 意知，2006年的年产量约为13×70%＝9.1(万件)，即2006年的年产量应约为9.1万件．

全册书综合练习题及解析
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，C＝{2,3,4}，则(A∩B)∪C＝( )
A．{1,2,3} B．{1,2,4}
C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}
解析：∵A∩B＝{1,2}，∴(A∩B)∪C＝{1,2,3,4}．
答案：D
2．如图1所示，U表示全集，用A，B表示阴影部分正确的是( )

图1

A．A∪B B．(?
U
A)∪(?
U
B)
C．A∩B D．(?
U
A)∩(?
U
B)
解析：由集合之间的包含关系及补集 的定义易得阴影部分为(?
U
A)∩(?
U
B)．
答案：D 3．若f(x)＝1－2x，g(1－2x)＝
1－x
2
?
1
?
x
2
(x≠0)，则g
?
?
2
?
?
的值为( )
A．1 B．3
C．15 D．30
1－
1
解析：g(1－2x)＝
1－x
2
11
，∴g
?
?
1
?
16
x
2
，令
2
＝1－2x，则 x＝
4
?
2
?
?
＝
1
＝15，故选C.
16
答案：C
4．设函数f(x)＝
?
?
?x＋1?2
?x<1?，
?
4－x－1?x≥1?，

则使得f(－1)＋f(m－1)＝1成立的m的值为(
A．10 B．0，－2
)

C．0，－2,10 D．1，－1,11
解析：因 为x<1时，f(x)＝(x＋1)
2
，所以f(－1)＝0.当m－1<1，即m<2时，f (m－1)＝m
2
＝1，m＝±1.
当m－1≥1，即m≥2时，f(m－1)＝4－ m－2＝1，所以m＝11.
答案：D
5．若x＝6是不等式log
a
( x
2
－2x－15)>log
a
(x＋13)的一个解，则该不等式的解集为 ( )
A．(－4,7)

B．(5,7)
D．(－∞，－4)∪(5，＋∞)
x
2
－2x－15>0，
C．(－4，－3)∪(5,7)
?< br>解析：将x＝6代入不等式，得log
a
9>log
a
19，所以a∈ (0,1)．则
?
x＋13>0，
?
x
2
－2x－154，－3)∪(5,7)．
答案：C
6．若函数f(x)＝
1
，则该函数在(－∞，＋∞)上是( )
2
x
＋1




B．单调递减有最大值
D．单调递增有最大值

解得x∈(－
A．单调递减无最小值
C．单调递增无最大值
解析：2
x
＋1在(－∞，＋∞)上递增，且2
x
＋1>0，
∴
1
在(－∞，＋∞)上递减且无最小值．
2
x
＋1
答案：A
1
7．方程(
3
)< br>x
＝|log
3
x|的解的个数是( )
A．0
C．2
解析：




B．1
D．3

图2
1
在平面坐标系中，画出函数y
1
＝(
3
)
x
和y
2
＝|log
3
x|的 图象，如图2所示，可知方程有两个解．

答案：C
8．下列各式中，正确的是( )
4252
A．(－
3
)
3
<(－
4
)
3

1111
C．(
2
)
2
>(
3
)
2




4151
B．(－
5
)
3
<(－
6)
3

34
D．(－
2
)
3
>(－< br>3
)
3

2454252
解析：函数y＝x
3
在(－∞，0)上是减函数，而－
3
<－
4
，∴(－
3
)
3
>(－
4
)
3
，故A错；
1454151函数y＝x
3
在(－∞，＋∞)上是增函数，而－
5
>－
6，∴(－
5
)
3
>(－
6
)
3
，故B 错，同理D错．
答案：C
9．生物学指出：生态系统在输入一个营养级的能量中，大约10 %的能量能够流到下一个营养级，
在H
1
→H
2
→H
3这个食物链中，若能使H
3
获得10 kJ的能量，则需H
1
提供的能量为( )
A．10
5
kJ
C．10
3
kJ




B．10
4
kJ
D．10
2
kJ
?
1
?
2
解析：H
1
?
10
?
＝10，∴ H
1
＝10
3
.
??
答案：C
10．如图3( 1)所示，阴影部分的面积S是h的函数(0≤h≤H)，则该函数的图象是如图3(2)所示的
( )

图3
H
解析：当h＝
2
时，对应阴影部分的面积小 于整个图形面积的一半，且随着h的增大，S随之减小，
故排除A，B，D.
答案：C 11．函数f(x)在(－1,1)上是奇函数，且在(－1,1)上是减函数，若f(1－m)＋f(－m )<0，则m的取值
范围是( )
1
A．(0，)
2
B．(－1,1)

1
C．(－1，
2
)
1
D．(－1,0)∪(1，
2
)
解析：f(1－m)<－f(－m)，
∵f(x)在(－1,1)上是奇函数，∴f(1－m)1－m>m>－1，
11
解得02
，即m∈(0，
2
)．
答案：A
?
log
2
?1－x?，
12．定义在R上的函 数f(x)满足f(x)＝
?
?
f?x－1?－f?x－2?，
A．－1
C．1




B．0
D．2


x≤0
x>0
，则f(2009)的值为( )
解析：由题 意可得：x>0时，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，从而f(x－1)＝f(x－2)－f(x－3) ．
两式相加得f(x)＝－f(x－3)，f(x－6)＝f[(x－3)－3]＝－f(x－3)＝ f(x)，
∴f(2009)＝f(2003)＝f(1997)＝…＝f(5)＝f(－1)＝lo g
2
2＝1.
答案：C

第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(每小题5分，共20分)
log
27
16
13.
log4
的值是________．
3
2
log4
log
27
16
3
3
2
解析：
log4
＝
log4
＝
3
.
33
2
答案：
3

kx＋5
14．若函数y＝2
的定义域为R，则实数k的取值范围为__________．
kx＋4kx＋33
解析：kx
2
＋4kx＋3恒不为零．若k＝0，符合题意，k≠0，Δ<0， 也符合题意．所以0≤k<
4
.
?
?
?
3
答案：
?
k
?
0≤k<
4
?
?
?

?
?
?

?
?
15．已知全集U＝{x|x∈R} ，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|kU
A )∩B

＝?，则实数k的取值范围是________．
解析：?
U
A＝{x|1U
A)∩B＝?，
∴k＋1≤1或k≥3，
∴k≤0或k≥3.
答案：(－∞，0]∪[3，＋∞)
16．麋鹿是国家一级保护动物，位于江苏省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然保护区成立
于1986年，第一年(即1986年)只有麋鹿100头，由于科学的人工培育，这种当初快要灭绝的动物只 数
y(只)与时间x(年)的关系可近似地由关系式y＝alog
2
(x＋1)给出， 则到2016年时，预测麋鹿的只数约为
________．
解析：当x＝1时，y＝alo g
2
2＝a＝100，∴y＝100log
2
(x＋1)，
∵2016－1986＋1＝31，即2016年为第31年，
∴y＝100log
2
(31＋1)＝500，
∴2016年麋鹿的只数约为500.
答案：500
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
k
17．(1 0分)用定义证明：函数g(x)＝
x
(k<0，k为常数)在(－∞，0)上为增函数． < br>kk
k?x
2
－x
1
?
证明：设x
1
2
<0，则g(x
1
)－g(x
2
)＝
x< br>－
x
＝
xx
.
1212
∵x
1
< x
2
<0，∴x
1
x
2
>0，x
2
－x< br>1
>0，
k
又∵k<0，∴g(x
1
)－g(x
2
)<0，即g(x
1
)2
)，∴g(x)＝
x(k<0，k为常数)在(－∞，0)上为增函数．
18．(12分)已知集合P＝{x|2≤x ≤5}，Q＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，当P∩Q＝?时，求实数k的取值
范围．
?< br>2k－1<2，
?
k＋1>5，
解：当Q≠?，且P∩Q＝?时，
?< br>或
?
解得k>4；当Q＝?时，即2k
?
2k－1≥k＋1，
?
2k－1≥k＋1.
－14.
19．(12分)已知f(x)为一次函数，且满足4f(1－x)－2f(x－1 )＝3x＋18，求函数f(x)在[－1,1]上的最
大值，并比较f(2007)和f(2008) 的大小．
解：因为函数f(x)为一次函数，所以f(x)在[－1,1]上是单调函数，f(x)在 [－1,1]上的最大值为max{f(－
?
4f?1?－2f?－1?＝18，
1) ，f(1)}．分别取x＝0和x＝2，得
?
解得f(1)＝10，f(－1)＝11，所以函 数f(x)在
?
4f?－1?－2f?1?＝24，

< br>[－1,1]上的最大值为f(－1)＝11.又因为f(1)f(2008)．
20．(12分)已知函数f(x)＝ax
2< br>－2ax＋2＋b(a≠0)，若f(x)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.
(1)求a，b的值；
(2)若b<1，g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上单调，求m的取值范围．
解：(1)f(x)＝a(x－1)
2
＋2＋b－a.
①当a>0时，f(x)在[2,3]上单调递增．
?
f?2?＝2
?4a－4a＋2＋b＝2
?
a＝1
故
?
，即
?
，解得
?

?
f?3?＝5
?
9a－6a＋2＋b＝5?
b＝0
②当a<0时，f(x)在[2,3]上单调递减．
?
f?2 ?＝5
?
4a－4a＋2＋b＝5
?
a＝－1
??
故，即， 解得
?
.
?
f?3?＝2
?
9a－6a＋2＋b＝2?
b＝3
(2)∵b<1，∴a＝1，b＝0，即f(x)＝x
2
－2x ＋2，g(x)＝x
2
－2x＋2－mx＝x
2
－(2＋m)x＋2， 2＋m2＋m
由题意知
2
≤2或
2
≥4，∴m≤2或m≥6.
21．(12分)设函数y＝f(x)，且lg(lgy)＝lg3x＋lg(3－x)．
(1)求f(x)的解析式和定义域；
(2)求f(x)的值域；
(3)讨论f(x)的单调性．
解：(1)lg(lgy)＝lg[3x·(3－x)]，即 lgy＝3x(3－x)，y＝10
＝10
3x(3
－
x)
(03x(3
－
x)
．






?
3x>0，
又
?
所以0?
3－x>0，

9
?
273273
?
(2)y＝10
3x(3
－
x)
，设u＝3x(3－x)＝－3x
2
＋9x＝－3
?
x
2
－3x＋
4
?
＋＝ －3(x－)
2
＋.当x＝∈(0,3)
242
??
4
27 2727
时，u取得最大值
4
，所以u∈(0，
4
]，y∈(1,1 0
4
]．
3
?
3
?
3
?
27< br>?
(3)当02
时，u＝－3
?
x－
2
?
2
＋
4
是增函数，而y＝10
u
是增函数，所以在?
0，
2
?
上f(x)是递增的；
????
3
当
2
u
是增函数，所以f(x)是减函数 ．
22．(12分)已知函数f(x)＝lg(4－k·2
x
)(其中k为实数)，
(1)求函数f(x)的定义域；

(2)若f(x)在(－∞，2]上有意义，试求实数k的取值范围．
解：( 1)由题意可知：4－k·2
x
>0，即解不等式：k·2
x
<4，
①当k≤0时，不等式的解为R，
4
②当k>0时，不等式的解为x2
k
，所以当k≤0时，f(x)的定义域为R；
4
当k>0时，f(x)的定义域为(－∞，log
2
k
)． 44
(2)由题意可知：对任意x∈(－∞，2]，不等式4－k·2
x
>0恒成 立．得k<
2
x
，设u＝
2
x
，
4
又x ∈(－∞，2]，u＝
x
的最小值1.所以符合题意的实数k的范围是(－∞，1)．
2