人教版高中数学【选修1-2】[知识点整理及重点题型梳理] 复数的概念与运算(文)

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人教版高中数学选修1-2
知识点梳理
重点题型（
常考知识点
）巩固练习


复数的概念与运算
【学习目标】
1．理解复数的有关概念：虚数单位i、虚数、纯虚数、复数、实部、虚部等。
2．理解复数相等的充要条件。
3. 理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数。
4. 会进行复数的加、减运算，理解复数加、减运算的几何意义。
5. 会进行复数乘法和除法运算。
【要点梳理】
知识点一：复数的基本概念
1.虚数单位
i
数
i
叫做虚数单位，它的平方等于
?1
，即
i
2
??1
。
要点诠释：
①
i
是－1的一个平方根，即方程
x
2
??1
的一个根，方程
x
2
??1
的另一个 根是
?i
；
②
i
可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立。
2. 复数的概念
形如
a?bi
（
a,b?R
）的数叫复 数，记作：
z?a?bi
（
a,b?R
）；
其中：
a叫复数的实部，
b
叫复数的虚部，
i
是虚数单位。全体复数所成的集合叫 做复数集，用字母
C

表示。
要点诠释：
复数定义中，
a,b?R
容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据.
3.复数的分类
对于复数
z?a?bi
（
a,b?R
）
若b=0,则a+bi为实数，若b≠0,则a+bi为虚数，若a=0且b≠0，则a+bi为纯虚数 。
分类如下：
?
实数(b?0)
?
z?a?bi
（a,b?R
）
?
?
纯虚数（a?0）

?
虚数 (b?0)
?
非纯虚数（a?0）
?
?
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用集合表示如下图：

4.复数集与其它数集之间的关系
N
Z
Q
R
）
C
（其中
N
为自然数集，
Z
为整数集，
Q
为有理数 集，
R
为实数集，
C
为复数集。
知识点二：复数相等的充要条件
两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.即： 如果
a,b,c,d?R
，那么
a?bi?c?di?
?
特别地 ：
a?bi?0?a?b?0
.
要点诠释：
① 一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.
② 根据复数a+bi与c+di相等的定义，可知在a=c，b=d两式中，只要有一个不成立，那么就有
a+bi≠c+di（a，b，c，d∈R）．
③ 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小. 如果两个复数都是实数，就可以比较大
小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小.
④ 复数相等的充要条件提供了将复数问题化归为实数问题来解决的途径，这也是本章常用的方法， 简
称为“复数问题实数化”．
知识点三、复数的加减运算
1.复数的加法、减法运算法则：
设
z
1
?a?bi
，< br>z
2
?c?di
（
a,b,c,d?R
），我们规定：
?
a?c

b?d
?
z
1
?z
2
?(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i

z
2
?z
1
?(c?a)?(d?b)i

要点诠释：
（1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样。很明显，
两个复数的和（差）仍然是一个复数，复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形．
（2）复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，不必死记公式。
2.复数的加法运算律:
交换律：z
1
+z
2
=z
2
+z
1

结合律:：(z
1
+z
2
) +z
3
=z
1
+(z
2
+z
3
)
知识点四、复数的乘除运算
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1．共轭复数：
当两个复数的实部相等，虚部 互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共
轭复数也叫做共轭虚数。
通常记复数
z
的共轭复数为
z
。
2．乘法运算法则： < br>设
z
1
?a?bi
，
z
2
?c?di
（
a,b,c,d?R
），我们规定：
z
1
?z
2?(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i

z
1
a?bi(a?bi)(c?di)ac?bdbc?ad
????
2
?i

z
2
c?di(c?di)(c?di)c?d
2
c
2?d
2
要点诠释：
1. 两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中 把i
2
换成－1，并且把实部与虚部分别合并.
两个复数的积仍然是一个复数.
2. 在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数( 分
母实数化)，化简后写成代数形式。
3．乘法运算律：
(1)交换律：z
1
(z
2
z
3
)=(z
1
z
2
)z
3

(2)结合律：z
1
(z
2
+ z
3
)=z
1
z
2
+z
1
z
3
(3)分配律：z
1
(z
2
+z
3
)=z
1
z
2
+z
1
z
3
知识点五、复数的几何意义
1. 复平面、实轴、虚轴：
如图所示，复数
z?a?bi
（
a, b?R
）可用点
Z(a,b)
表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面
叫做复平面，也叫高斯平面，
x
轴叫做实轴，
y
轴叫做虚轴.

要点诠释：
实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
2.复数集与复平面内点的对应关系
按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一 个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，
有唯一的一个复数和它对应。
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
?
复平面内的点
Z(a,b)
复数
z?a?bi
????
这是复数的一种几何意义。
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一一对应

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3.复数集与复平面中的向量的对应关系
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个 有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对
应的，所以，我们还可以用向量来表示复数。

设复平面内的点
Z(a,b)
表示复数
z?a?bi
（< br>a,b?R
），向量
OZ
由点
Z(a,b)
唯一确定；反过来 ，点
Z(a,b)
也可以由向量
OZ
唯一确定。
复数集C和复平面内的向量
OZ
所成的集合是一一对应的，即
?
平面向量
OZ
复数
z?a?bi
????
这是复数的另一种几何意义。
4．复数加、减法的几何意义：
如果复数
z
1
、
z
2
分别对应于向量
OP
12
，对角线
1
、
OP< br>2
为两边作平行四边形
OPSP
2
，那么以
OP
1< br>、
OP
一一对应
OS
表示的向量
OS
就是
z
1
?z
2
的和所对应的向量.对角线
P
2
P
1
表示的向量
P
2
P
1
就是两个复数的差
z1
?z
2
所对应的向量.
设复数z
1
=a+bi，z
2
=c+di，在复平面上所对应的向量为
OZ
1
、
OZ< br>2
，即
OZ
1
、
OZ
2
的坐标形式为
OZ
1
=(a，b)，
OZ
2
=(c，d)以
OZ
1
、
OZ
2
为邻边作平行四边
形OZ
1
ZZ2
，则对角线OZ对应的向量是
OZ
，
由于
OZ
=
对应的向量
类似复数加法的几何意义，由于z
1
－z
2
= (a－c)+(b－d)i，而向量
Z
2
Z
1
=
OZ1
?
OZ
2
=(a，b)-(c，d)=(a-c，
b-d)， 所以
OZ
1
和
OZ
2
的差就是与复数(a－c)+(b－d)i对应的向量
要点诠释：
要会运用复数运算的几何意义去解题，它包含两个方面：
（1）利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理
（2）反过来，对于一些复数运算式也可以给以几何解释，使复数作为工具运用于几何之中。
OZ
1
+
OZ
2
=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)， 所以
OZ
1
和
OZ
2
的和就是与复数(a+c)+(b+d)i
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【典型例题】
类型一、复数的基本概念
例1．请说出复数
2?3i,?3?

11
i,?i,?3?5i
的实部和虚部，有没有纯虚数？
23
【解析】
2?3i
的实部是2，虚部是3.
?3?
1
1
i
的实部是－3，虚部是.
2
2
1
1
?i
的实部是0，虚部是－.
?3?5i
的实部是
?3
，虚部是
?5
.
3
3
纯虚数为
?i
。
【总结升华】准确理解复数的概念，明确实部、虚部的所指是关键。
举一反三：
【变式1】 复数－2i+3.14的实部和虚部是什么？
【答案】 实部是3.14，虚部是－2.
注意：易错的结果为：实部是－2，虚部是3.14 。
【 变式2】以
2i?5
的虚部为实部，以
5i?2i
的实部为虚部的新复数是_ _______．
【答案】
2i?5
的虚部为2，
5i?2i
的实 部为-2，所以新复数为2－2i 。
2
例2．设复数
z?log
2
(m?3m?3)?ilog
2
(3?m)(m?R)
，如果
z
是 纯虚数，求
m
的值.
1
3

2
2
【思路点拨】根据复数z为纯虚数的概念，判断实部与虚部取值情况.
【解析】由题意知
2
?
m?3m?3?1
?
log
2
(m
2
?3m?3)?0,
?
∴
?
3?m?1

?
?
log
2
(3?m)?0,
?
3? m?0
?
?
m
2
?3m?4?0
?
m?4或m?? 1
∴
?
∴
?
，∴
m??1
.
m?3且m?2
?
?
m?2且m?3
【总结升华】 复数包括 实数和虚数，虚数又分为纯虚数和非纯虚数，合理利用复数是实数、虚数以及
纯虚数的条件是解决本类题 目的关键．
举一反三：
【变式1】 若复数
z?(x?1)?(x?1)i
为纯虚数，则实数
x
的值为（ ）
2
A.?1B.0C.1D.?1或1

?
x
2
?1?0
【答案】由复数
z
为纯虚数，得
?
，解得
x??1
，故选A．
x?1?0
?
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【变式2】设复数
z?lg(m?2m?2)? (m?3m?2)i
，m∈R，当m为何值时，（1）z是实数；
（2）z是纯虚数．
【答案】（1）要使z是实数，
2
?
?
m?3m?2?0
则需
?
?
m=―1或m=―2，所以当m=－1或m=－2时，z是实数．
2
?
?
m?2m?2?0
22
（2）要使z是纯虚数，
2
?
?
m?2m?2?1
则需
?
?m?3
，所以m=3时，z是纯虚数．
2
?
?
m?3m?2?0
类型二、复数相等
例3. 已知
(2x?1)?i?y?(3?y)i
，其中
x,y?R
，求
x与
y
.
【思路点拨】因x∈R，y是纯虚数，所以可设y=bi（b∈R且b≠ 0），代入原式，由复数相等的充要条
件可得方程组，解之即得所求结果.

?2x?1?y,
5
【解析】根据复数相等的定义，得方程组
?
，所以x?
，
y?4

2
?
1??(3?y)
【总结 升华】两复数a+bi与c+di（a，b，c，d∈R）相等的充要条件是a=c且b=d，可得到两个实数等
式.
即两个方程组，通过解方程组求出x与y．
举一反三：
【变式1】已知x
2
―y
2
+xyi =7+12i，求x+yi的值（x，y∈R）．
?
x
2
?y
2
?7
?
x?4
【解析】 由题意知
?
，解得
?
或
y?4
xy?12
?
?
所以x+yi的值为4+3i或－4－3i．
【数系的扩充和复数的概念 401749 例题2】
?
x??4
．
?
y??3
?
【变式2】
x,y?R
，复数
(3x ?2y)?5xi
与复数
(y?2)i?18
相等，求x,y
【答案】
(y?2)i?18?18?(y?2)i
，所以
?
类型三、复数的加减运算
例4.计算：（1）(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)
（2）( 1―2i)―(2―3i)+(3―4i)―(4―5i)+…+(1999―2000i)―(2000―20 01i)
【解析】（1）(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)＝(5-2-3)+(-6-1-4) i=－11 i
?
3x?2y?18
?
x??2
，解得
?
.
?
5x?2?y
?
y?12
（2） 解法一：
原式=(1 ―2+3―4+…+1999―2000)+(―2+3―4+5+…―2000+2001)i=―1000+ 1000i。
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解法二：
(1―2i)―(2―3i)=―1+i，
(3―4i)―(4―5i)=―1+i，
……
(1999―2000i)―(2000―2001i)=―1+i。
将上列1000个式子累加，得 原式=1000(―1+i)=―1000+1000i。
【总结升华】 复数的加减法，相当于多项式加减法中的合并同类项的过程。如果根据给出复数求和< br>的特征从局部入手，抓住式子中相邻两项之差是一个常量这一特点，适当地进行组合，那么可简化运算。
举一反三：
【变式】 (1)设z
1
=3+4i，z
2
= ―2―i，求
z
1
?z
2
,
(2) 已知z
1< br>=(3x+y)+(y―4x)i，z
2
=(4y―2x)―(5x+3y)i（x，y ∈R），求z
1
―z
2
，
【答案】
(1) z< br>1
+z
2
=(3+4i)+(―2―1)i=(3-2)+(4-1)i=1+ 3i
(2) z
1
－z
1
=(3x+y)+(y－4x)i－[( 4y－2x)－(5x+3y)i]=[(3x+y)－(4y－2x)]+[(y－4x)+(5x+3y)] i =
(5x－3y)+(x+4y)i，
类型四、复数的乘除运算
例5．计算：(1) (1－i)
2
； (2) (1－2i)(3＋4i)(1＋2i)．
【思路点拨】第(1)题可以用复数的乘法法则计算，也可 以用实数系中的乘法公式计算；第(2)题可以按从
左到右的运算顺序计算，也可以结合运算律来计算．
【解析】(1)解法一：(1－i)
2
＝(1－i)(1－i)＝1－i－i＋i2
＝－2i；
解法二：(1－i)
2
＝1－2i＋i
2
＝－2i.
(2 )解法一：(1－2i)(3＋4i)(1＋2i)＝(3＋4i－6i－8i
2
)(1＋2i )
＝(11－2i)(1＋2i)＝(11＋4)＋(22－2)i＝15＋20i；
解法 二：(1－2i)(3＋4i)(1＋2i)＝[(1－2i)(1＋2i)](3＋4i)＝5(3＋4i)＝ 15＋20i.
【总结升华】此题主要是巩固复数乘法法则及运算律，以及乘法公式的推广应用．特别要提醒其中
(－2i)·4i＝8，而不是－8.
举一反三：
【变式】在复平面内，复数z=i(1+2i)对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B ∵z =i(1+2i)=i+2i
2
=－2+i，∴复数z所对应的点为（－2，1），故选B．
例6.计算
(1?2i)?(3?4i)

2
【思路点拨】在复数的 乘除法中，要时时注意
i??1
，
不能出错。
【解析】
(1?2i)?(3?4i)
?
1?2i

3?4i
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?
(1?2i)(3?4i)3?8?6i?4i?5?10i12
?????i
22
(3?4i)(3?4i)3?42555
【总结升华】1 先写成分式形式
2 然后分母实数化即可运算.(一般分子分母同时乘以分母的共轭复数)
3 化简成代数形式就得结果
举一反三：
【变式1】复数
3?i
等于（ ）．
1?i
A．1+2i B．1－2i C．2+i D．2－i
3?i(?3i)?(1i)?3?
2
2i?i
???
【解析】
1?i(1?i)(1?i)1?i22
【变式2】 计算：（1）
(i?)
3
（2）
【答案】（1）
(i?)
3
?(i?
42i
?2?i
，故选C．
1
i
1?3i
3-i

1
i
?1
3
)?(2i)
3
?8i
3
??8 i
.
i
（2）
1?3i
3-i
?
1?3i
-i(1?3i)
?
1
?i
，
-i
类型五. 复数代数形式的四则运算
例7. 计算下列各式：
（1）
(i?2)(i?1)
(1?4i)(1?i)?2?4i
；（2）。
(1?i)(i?1)?i
3?4i
【解析】
（1）
(7?i )(3?4i)
(1?4i)(1?i)?2?4i(1?4)?(?4?1)i?2?4i
7 ?i
??

?
3?4i(3?4i)(3?4i)
3?4i3?4i
?
(21?4)?(3?28)i25?25i
??1?i
。
25 25
（2）
(i?2)(i?1)(2?1)?(?1?2)i1?3i(1?3i)(?2? i)
???

(1?i)(i?1)?i(?1?1)?(?1?1)i?i?2?i (?2?i)(?2?i)
?
(?2?3)?(6?1)i?5?5i
???1?i< br>。
55
乘除，最后算加减．
【总结升华】 题中既有加、减、乘、除运算，又有括号，同实数的运算顺序一致，先算括号，再算
举一反三：
【变式1】计算：
（1）
(1?2i)(3?4i)(2?i)

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（2）
i?i
2
?i
3
??i
100

(1?i)
3
?(1?i)
3
（3） ； (1?i)
2
?(1?i)
2
【答案】（1）
(1?2i)(3 ?4i)(2?i)?(11?2i)(2?i)?24?7i

（2）
i?i?i?
23
?i
100
?i
1?2??100
?i
505 0
?(i
4
)
1262
?i
2
?i
2??1

(1?i)
3
?(1?i)
3
(1?i)2
?(1?i)?(1?i)
2
(1?i)2i(1?i)?2i(1?i)2i?2
??
（3）
??1

22
(1?i)?(1? i)2i?(?2i)4i
4i
2?3i
?
1?i
?
?【变式2】计算：
?
；
?
3?2i
?
1?i
?
【答案】方法一：
6?
(1?i)
2
?
(2?3i)(3?2i)
6
6?2 i?3i?6
原式
?
?
??i???1?i
。
?
5
(3)2?(2)2
?
2
?
方法二（技巧解法）：
6< br>6
?
(1?i)
2
?
(2?3i)i
6
(2 ?3i)i
?i???1?i
。 原式
??
?
2
2?3i< br>??
(3?2i)i
类型六、复数的几何意义
例8. 当实数m为何值时，z=lg(m
2
-2m-2)+(m
2
+3m+2)i
(1) 为纯虚数；（2）为实数；（3）对应的点在复平面内的第二象限内。
【思路点拨】根据点Z的位置确定复数z实部与虚部取值情况.
2
?
?lg(m?2m?2)?0
【解析】（1）若z为纯虚数，则
?
,
解得m =3
2
?
?
m?3m?2?0
2
?
?
l g(m?2m?2)?0
（2）若z为实数，则
?
,
解得m=-1或m=-2
2
?
?
m?3m?2?0
2
?
?
lg(m ?2m?2)?0
（3）若z的对应点在第二象限，则
?
,
解得-13
或1+
3
2
?
?
m?3m?2?0
即（1）m=3时，z为纯虚数；
（2）m=-1或m=-2时，z为实数；
（3）-13
或1+
3
【总结升华】复平面上的点与复数是一一对应的，点的坐标的特点即为复数实部、虚部的特征.
举一反三：
【变式1】在复平面内，复数
z?sin2?icos2
对应的点位于（ ）
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A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】∵< br>?
2
?2?
?
，∴
sin2?0
，
cos2 ?0
，故相应的点在第四象限，选D.
【变式2】 已知复数(2k
2
－3 k－2)+(k
2
－k)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数k的取值范围.
【答案】∵复数对应的点在第二象限，
?
1
2
?
1
?
2k?3k?2?0,
?
??k?2,
∴
?
2
即
?
2
解得：
??k?0或1?k?2

2
??
?
k?k?0,
?
k?0或k?1.
【数系的扩充和复数的概 念 401749 例题3】
【变式3】实数m取什么值时，复数(m
2
-2m-3)+( m
2
-4m+3)i在复平面上对应的点
（1）在实轴上（2）虚轴上（3）第一象限？
【答案】（1）
m?4m?3?0< br>，得
m?1
或
m?3
；
（2）
m?2m?3?0< br>，解得
m?-1
或
m?3
；
2
?
?
m?4m?3?0
（3）
?
2
，解得
m??1
或
m?3
.
?
?
m?2m?3?0
2
2
例9. 在复平面内，O是原点，向量
OA
对应的复数是2+i．
（1）如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量
OB
对应的复数；
（2）如果（1）中点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数．
【解析】
（ 1）设所求向量
OB
对应的复数z
1
=x
1
+y
1
i（x
1
，y
1
∈R），则点B的坐标为（x
1
， y
1
）．由题意可知点
A的坐标为（2，1），根据对称性可知x
1
=2，y
1
=－1，故z
1
=2－i．
（2）设所求点C 对应的复数为z
2
=x
2
+y
2
i（x
2
，y
2
∈R），则点C的坐标为（x
2
，y
2
）．由对称性 可知
x
2
=－2，y
2
=－1，故z
2
=－2－i．

【总结升华】 由复数的几何意义知，复数与复平面上的点建立起一一对应的关系，因而在解 决复数的
相关问题时，我们可以利用复平面上的点的一些数学关系来解决．
举一反三：
OP?OA?
?
OB
．【变式】 在复平面内，复数z
1
=1+i、z
2
=2+3i对应的点分别为A、B，O为坐标原点，若
点P在第四象 限内，则实数
?
的取值范围是________．
【答案】
OP?(1?2
?
,1?3
?
)

?
1?2
?
?0
11
由题意：
?
，解得：
??
?
??

23
?
1?3
?
?0
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