高中数学必修2__第二章《直线与平面的位置关系》知识点总结与练习

第三节
系
[知识能否忆起]
一、平面的基本性质
名称 图示
空间点、直线、平面间的位置关
文字表示
如果一条直线上的两
符号表示
A∈l，B∈l，且A∈α，
B∈α?l?α
公理1

点在一个平面内，那么
这条直线在此平面内
过不在一条直线上的
公理2

三点，有且只有一个平
面
如果两个不重合的平

公理3
面有一个公共点，那么

它们有且只有一条过
该点的公共直线
P∈α，且P∈β?α∩β＝
l，且P∈l
二、空间直线的位置关系
1．位置关系的分类
2．平行公理
平行于同一条直线的两条直线互相平行．
3．等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
4．异面直线所成的角(或夹角)
(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点 O作直线a′∥a，b′∥b，把a′
与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角．

π
0，
?
. (2)范围：
?
?
2
?
三、直线与平面的位置关系
位置关系
直线l在平面α内
直线l与平面α相交
直线l与平面α平行
四、平面与平面的位置关系
位置关系
两个平面平行
两个平面相交


图示 符号表示
α∥β
α∩β＝l
公共点个数
0个
无数个(这些公共点均在交线l上)



图示 符号表示
l?α
l∩α＝A
l∥α
公共点个数
无数个
一个
0个
1.三个公理的作用
(1)公理1的作用：①检验平面；②判 断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上
的点在平面内．
(2)公理2的作用：确定平面的依据，它提供了把空间问题转化为平面问题的条件．
(3)公理3的作用：①判定两平面相交；②作两相交平面的交线；③证明多点共线．
2．异面直线的有关问题
(1)判定方法：①反证法；②利用结论即过平面外一点与平
面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线，如图．
(2)所成的角的求法：平移法．

平面的基本性质及应用
典题导入
[例1] (2012·湘潭模拟)如 图所示，在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1< br>中，E为AB的中点，F
为A
1
A的中点，

求证：CE，D
1
F，DA三线共点．
[自主解答]
1
∵EF綊
CD
1
，
2
∴直线D
1
F和CE必相交．
设D
1
F∩CE＝P，
∵P∈D
1
F且D
1F?平面AA
1
D
1
D，
∴P∈平面AA
1
D
1
D.
又P∈EC且CE?平面ABCD，
∴P∈平面ABCD，
即P是平面ABCD与平面AA
1
D
1
D的公共点．
而平面ABCD∩平面AA
1
D
1
D＝AD.
∴P∈AD.
∴CE、D
1
F、DA三线共点．
本例条件不变试证明E，C，D
1
，F四点共面．
证明：∵E，F分别是AB和AA
1
的中点，
1
∴EF綊
A
1
B.又A
1
D
1
綊B
1
C
1
綊BC.
2
∴四边形A
1
D
1
CB为平行四边形．
∴A
1
B∥CD
1
，从而EF∥CD
1
.
∴EF与CD
1
确定一个平面．
∴E，C
1
，F，D四点共面．

由题悟法
1．证明线共点问题常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直
线上．
2．证明点或线共面问题一般有以下两种途径：①首先由所给条件中的部分线(或点)确
定一个 平面，然后再证其余线(或点)均在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别
确定平面，再证平 面重合．
以题试法
1．(1)(2012·江西模拟)在空间中，下列命题正确的是( )
A．对边相等的四边形一定是平面图形
B．四边相等的四边形一定是平面图形
C．有一组对边平行的四边形一定是平面图形
D．有一组对角相等的四边形一定是平面图形
(2)对于四面体ABCD，下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．
①相对棱AB与CD所在直线异面；

②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；
③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在的直线异面；
④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．
解析：(1)由“两平行直线确定一个平面”知C正确．
(2)由四面体的概念可知，AB与CD所在的直线为异面直线，故①
正确；
由顶点 A作四面体的高，只有当四面体ABCD的对棱互相垂直时，
其垂足是△BCD的三条高线的交点，故② 错误；当DA＝DB，CA＝CB时，这两条高线共面，
故③错误；设AB，BC，CD，DA的中点依 次为E，F，M，N，易证四边形EFMN为平行四
边形，所以EM与FN相交于一点，易证另一组对棱 中点的连线也过它们的交点，故④正确．
答案：(1)C (2)①④

异面直线的判定
典题导入
[例2] (2012·金华模拟)在图中，G，N，M ，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，
则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_______ _．(填上所有正确答案的序号)
[自主解答] 图①中，直线GH∥MN；
图②中，G，H，N三点共面，但M?面GHN，
因此直线GH与MN异面；
图③中，连接MG，GM∥HN，
因此GH与MN共面；

图④中，G，M，N共面，但H?面GMN，
因此GH与MN异面．
所以图②④中GH与MN异面．
[答案] ②④
由题悟法
1．异面直线 的判定常用的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行
或相交，由假设的条件出发，经 过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此
法在异面直线的判定中经常用到． 2．客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该
点的直线是异 面直线．
以题试法
2．已知m，n，l为不同的直线，α，β为不同的平面，有下面四个命题：
①m，n为异面直线，过空间任一点P，一定能作一条直线l与m，n都相交．

②m，n为异面直线，过空间任一点P，一定存在一个与直线m，n都平行的平面．
③α⊥β，α∩β＝l，m?α，n?β，m，n与l都斜交，则m与n一定不垂直；
④m，n是α内两相交直线，则α与β相交的充要条件是m，n至少有一条与β相交．
则四个结论中正确的个数为( )
A．1
C．3
B．2
D．4
解析：选B ①错误，因为过直线m存在一个与直线n平行的平面， 当点P在这个平
面内且不在直线m上时，就不满足结论；②错误，因为过直线m存在一个与直线n平行的
平面，当点P在这个平面内时， 就不满足结论；③正确，否则，若m⊥n，在直线m上取
一点 作直线a⊥l，由α⊥β，得a⊥n.从而有n⊥α，则n⊥l；④正确．

异面直线所成角
典题导入
[例3] (2012·大纲全国卷)已知正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，E，F分别为BB
1
， CC
1
的
中点，那么异面直线AE与D
1
F所成角的余弦值为___ _____．
[自主解答] 连接DF，则AE∥DF，
∴∠D
1
FD即为异面直线AE与D
1
F所成的角．
设正方体棱长为a，
则D
1
D＝a，DF＝
55
a，D
1
F＝a， < br>22
∴cos∠D
1
FD＝
?
5
a
?
2
＋
?
5
a
?
2
－a
2
?2
??
2
?
3
55
2·a·a
22
＝
.
5

3
[答案]
5
由题悟法
求异面直线所成的角一般用平移法，步骤如下：
(1)一作：即找或作平行线，作出异面直线所成的角；
(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；
(3)三求：解三角形，求出所作的角， 如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，
如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．
以题试法
3．(2012·唐山模拟)四棱锥P－ABCD的所有侧棱长都为5，底面ABC D是边长为2的
正方形，则CD与PA所成角的余弦值为( )




解析：选B 如图所示，因为四边形ABCD为正方形 ，故CD

∥AB，则CD与PA所成的角即为AB与PA所成的角∠PAB，在△PAB 内，PB＝PA＝5，
AB＝2，利用余弦定理可知：
PA
2
＋AB
2
－PB
2
5＋4－5
5
cos ∠PAB＝＝＝.
2×PA×AB
2×2×5
5
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b( )
A．异面
C．不可能平行
B．相交
D．不可能相交
解析：选C 由已知直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能 为平行直
线，若b∥c，则a∥b.与a，b是异面直线相矛盾．
2．(2012·东北三校联考)下列命题正确的个数为( )
①经过三点确定一个平面；
②梯形可以确定一个平面；
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
A．0
C．2








B．1
D．3
解析：选C ①④错误，②③正确．
3．已知空间中有三条线段AB，BC 和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的
位置关系是( )
A．AB∥CD
B．AB与CD异面
C．AB与CD相交
D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交
解析：选D 若三条线段共面，如果AB ，BC，CD构成等腰三角形，则直线AB与CD
相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线A B与CD是异面直
线．
4．(教材习题改编)如图所示，在正方体ABCD－A
1< br>B
1
C
1
D
1
中，E，
F分别是AB，AD 的中点，则异面直线B
1
C与EF所成的角的大小为
________．
解析：连接B
1
D
1
，D
1
C，
则B
1
D
1
∥EF，

故∠D
1< br>B
1
C为所求，又B
1
D
1
＝B
1
C＝D
1
C，
∴∠D
1
B
1
C＝60°.
答案：60°
5．(教材习题改编)平行六面体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中既与AB共面又与CC
1
共面的棱的 条
数为________．
解析：如图，与AB和CC
1
都相交的棱有BC ；与AB相交且与CC
1
平行的棱有AA
1
，BB
1
；与A B平行且与CC
1
相交的棱有CD，C
1
D
1
，
故 符合条件的棱共有5条．
答案：5
第四节
[知识能否忆起]
一、直线与平面平行
1．判定定理

文字语言
平面外一条直线与此平
判定定理 面内的一条直线平行，则
直线与此平面平行
2．性质定理

文字语言
一条直线与一个平面平
性质定理 行，则过这条直线的任
一平面与此平面的交线


直线、平面平行的判定及性质
图形语言 符号语言

图形语言
a?α
?
?
b?α
?
?a∥α
b∥a
?
?
符号语言

a∥α
?
?
a?β
?
?a∥b
α∩β＝b
?
?

与该直线平行
二、平面与平面平行
1．判定定理

文字语言 图形语言 符号语言
一个平面内的两条相交
判定定理 直线与另一个平面平
行，则这两个平面平行


图形语言
a?α
b?α
?
?
a∩b＝P
?α∥β
?
a∥β
?
?
b∥β
符号语言
2．两平面平行的性质定理

文字语言
如果两个平行平面同时
性质定理 和第三个平面相交，那
么它们的交线平行
1. 平行问题的转化关系：
线∥线判定
判定
性质


α∥β
?
?
α∩γ＝a
?
?a∥b
β∩γ＝b
?
?
―→
面∥面性质 线∥面
―
性质< br>判定
2．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在性质定理的应用中，其顺序恰好相反，
但也要注 意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．
3．辅助线(面)是求证平行问 题的关键，注意平面几何中位线，平行四边形及相似中有
关平行性质的应用．

线面平行、面面平行的基本问题
典题导入

[例1] (2011· 福建高考)如图，正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，AB＝2，
点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB
1
C，则线段EF的长
度等于________．
[自主解答] 因为直线EF∥平面AB1
C，EF?平面ABCD，且平面
AB
1
C∩平面ABCD＝AC，所 以EF∥AC.又因为点E是DA的中点，所以F是DC的中点，由
1
中位线定理可得EF＝< br>AC.又因为在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D< br>1
中，AB＝2，所以AC＝22.
2
所以EF＝2.
[答案] 2
本例条件变为“E是AD中点，F，G，H，N分别是AA
1
，A
1
D
1
，DD
1
与D
1
C
1
的中点，
若M在四边形EFGH及其内部运动”，则M满足什么条件时，有MN∥平面A
1
C
1
CA.
解：如图，
∵GN∥平面AA
1
C
1
C，
EG∥平面AA
1
C
1
C，
又GN ∩EG＝G，
∴平面EGN∥平面AA
1
C
1
C.
∴当M在线段EG上运动时，恒有MN∥平面AA
1
C
1
C.
由题悟法
解决有关线面平行、面面平行的基本问题要注意：
(1)判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理中条件线在面外易忽
视．

(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．
(3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．
以题试法
1．(1)(20 12·浙江高三调研)已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线l的直
线( )
A．只有一条，不在平面α内
B．有无数条，不一定在平面α内
C．只有一条，且在平面α内
D．有无数条，一定在平面α内
解析：选C 由直线 l与点P可确定一个平面β，且平面α，β有公共点，因此它们有
一条公共直线，设该公共直线为m，因 为l∥α，所以l∥m，故过点P且平行于直线l的直
线只有一条，且在平面α内．
(2)( 2012·潍坊模拟)已知m，n，l
1
，l
2
表示直线，α，β表示平面． 若m?α，n?α，l
1
?β，
l
2
?β，l
1
∩ l
2
＝M，则α∥β的一个充分条件是( )
A．m∥β且l
1
∥α
C．m∥β且n∥l
2



B．m∥β且n∥β
D．m∥l
1
且n∥l
2

解析：选D 由定理“如果一个 平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这
两个平面平行”可得，由选项D可推知α∥β.

直线与平面平行的判定与性质

典题导入
[例2] (2 012·辽宁高考)如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，
∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA ′＝1，点M，N分别为A′B
和B′C′的中点．
(1)证明：MN∥平面A′ACC′；
1
(2)求三棱锥A′－MNC的体积．(锥体体积公式V＝Sh，
3
其中S 为底面面积，h为高)
[自主解答] (1)证明：法一：连接AB′、AC′，因为点M，N
分别是A′B和B′C′的中点，
所以点M为AB′的中点．
又因为点N为B′C′的中点，
所以MN∥AC′.
又MN?平面A′ACC′，
AC′?平面A′ACC′，
因此MN∥平面A′ACC′.
法二：取A′B′的中点P.连接MP.
而点M，N分别为AB′与B′C′的中点，所以MP∥AA′，
PN∥A′C′.
所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′.又MP∩PN＝P，

因此平面MPN∥平面A′ACC′.而MN?平面MPN，
因此MN∥平面A′ACC′.
(2)法一：连接BN，由题意得A′N⊥B′C′，平面A ′B′C′∩平面B′BCC′＝
B′C′，所以A′N⊥平面NBC.
1
又A′N＝
B′C′＝1，
2
111
故V
A< br>′
－MNC
＝V
N－A
′
MC
＝V
N－A< br>′
BC
＝V
A
′
－NBC
＝.
22611
法二：V
A
′
－MNC
＝V
A
′
－NBC
－V
M－NBC
＝V
A
′
－NBC
＝.
26
由题悟法
利用判定定理证明线面平行的关键是找平面内与已知直线平行的直线， 可先直观判断平
面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或 过
已知直线作一平面找其交线．

以题试法
2．(2012·淄博模 拟)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，E，F分别是BD，BB
1
的中点．
(1)求证：EF∥平面A
1
B
1
CD；
(2)求证：EF⊥AD
1
.
解：(1)在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，连接B
1
D，
在平面BB
1
D内，E，F分别为BD，BB
1
的中点，
∴EF∥B
1
D.
又∵B
1
D?平面A
1
B
1
CD.
EF?平面A
1
B
1
CD，
∴EF∥平面A
1
B
1
CD.
(2)∵ABCD－A1
B
1
C
1
D
1
是正方体，
∴AD
1
⊥A
1
D，AD
1
⊥A
1
B
1
.
又A
1
D∩A
1
B
1
＝A
1
，
∴AD
1
⊥平面A
1
B
1
D.
∴AD
1
⊥B
1
D.
又由(1)知，EF∥B
1
D，∴EF⊥AD
1
.

平面与平面平行的判定与性质

典题导入
[例3] 如图，已知AB CD－A
1
B
1
C
1
D
1
是棱长为3的正 方体，点E
在AA
1
上，点F在CC
1
上，G在BB
1上，且AE＝FC
1
＝B
1
G＝1，H是
B
1
C
1
的中点．
(1)求证：E，B，F，D
1
四点共面；
(2)求证：平面A
1
GH∥平面BED
1
F.
[自主解答] (1)在正方形AA
1
B
1
B中，
∵AE＝B
1
G＝1，
∴BG＝A
1
E＝2，
∴BG綊A
1
E.
∴四边形A
1
GBE是平行四边形．
∴A
1
G∥BE.
又C
1
F綊B
1
G，
∴四边形C
1
FGB
1
是平行四边形．
∴FG綊C
1
B
1
綊D
1
A
1
.
∴四边形A
1
GFD
1
是平行四边形．
∴A
1
G綊D
1
F.
∴D
1
F綊EB.
故E，B，F，D
1
四点共面．

(2)∵H是B
1
C
1
的中点，∴B
1
H＝
3
2
.
又B
1
G＝1，∴
B
1
G2
B
1
H＝
3
.
又
FC
BC
＝
2
3
，且∠FCB＝∠GB
1
H＝90°，
∴△B
1
HG∽△CBF.
∴∠B
1
GH＝∠CFB＝∠FBG.
∴HG∥FB.
∵GH? 面FBED
1
，FB?面FBED
1
，∴GH∥面BED
1
F.
由(1)知A
1
G∥BE，A
1
G?面FBED
1< br>，BE?面FBED
1
，
∴A
1
G∥面BED
1F.
且HG∩A
1
G＝G，
∴平面A
1
GH∥平面BED
1
F.
常用的判断面面平行的方法
(1)利用面面平行的判定定理；
(2)面面平行的传递性(α∥β，β∥γ?α∥γ)；
(3)利用线面垂直的性质(l⊥α，l⊥β?α∥β)．

由题悟法

以题试法
3．(2012·北京东城二模)如图，矩形AMND所在的平面与 直角梯形MBCN所在的平面
互相垂直，MB∥NC，MN⊥MB.
(1)求证：平面AMB∥平面DNC；
(2)若MC⊥CB，求证：BC⊥AC.
证明：(1)因为MB∥NC，MB?平面DNC，NC?平面DNC，
所以MB∥平面DNC.
又因为四边形AMND为矩形，所以MA∥DN.
又MA?平面DNC，DN?平面DNC.
所以MA∥平面DNC.
又MA∩MB＝M，且MA，MB?平面AMB，
所以平面AMB∥平面DNC.
(2)因为四边形AMND是矩形，
所以AM⊥MN.
因为平面AMND⊥平面MBCN，且平面AMND∩平面MBCN＝MN，
所以AM⊥平面MBCN.
因为BC?平面MBCN，
所以AM⊥BC.
因为MC⊥BC，MC∩AM＝M，

所以BC⊥平面AMC.
因为AC?平面AMC，
所以BC⊥AC.
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)下列条件中，能作为两平面平行的充分条件的是( )
A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面
B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面
C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面
D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面
解析：选D 由面面平行的定义可知，一平面内所有的直线都平行于另一个平面时，两
平面才能平行，故D正确．
2．已知直线a，b，平面α，则以下三个命题：
①若a∥b，b?α，则a∥α；
②若a∥b，a∥α，则b∥α；
③若a∥α，b∥α，则a∥b.
其中真命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选A 对于命题①，若a∥b，b?α，则应有a∥α或a?α，所以①不正确；
对于命题②，若a∥b，a∥α，则应有b∥α或b?α，因此②也不正确；
对于命题③，若a∥α，b∥α，则应有a∥b或a与b相交或a与b异面，因此③也不正
确．
3．(教材习题改编)若一直线上有相异三个点A，B，C到平面α的距离相等，那么直线
l与 平面α的位置关系是( )
A．l∥α B．l⊥α
D．l∥α或l?α C．l与α相交且不垂直
解析：选D 由于l上有三个相异点到平面α的距离相等，则l与α可以平行，l?α时
也成立．
4．平面α∥平面β，a?α，b?β，则直线a，b的位置关系是________．
解析：由α∥β可知，a，b的位置关系是平行或异面．
答案：平行或异面
5．( 2012·衡阳质检)在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，E是DD
1
的中点，则BD
1
与平面ACE