初高中数学衔接的知识点分解因式讲解及练习题

初高中数学衔接的知识点分解因式讲解及练习题
因式分解的主要方法有：十字相乘法、 提取公因式法、
公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．
1．十字相乘法
例1 分解因式：
（1）x
2
－3x＋2； （2）x
2
＋4x－12；
（3）
x
2
?(a?b)xy?aby
2
； （4）
xy?1?x?y
．
解：（1）如图1．2－1，将二次项x
2
分解成图中的两个
x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对
角 线上的两个数乘积的和为－3x，就是x
2
－3x＋2中的一次
项，所以，有
x
2
－3x＋2＝(x－1)(x－2)．





说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直
接将图1 ．2－1中的两个x用1来表示（如图1．2－2所示）．
（2）由图1．2－3，得
x
2
＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．
x
x
－1
－2
1
1
－1
－2
1
1
图1．2－3
－2
6
x
x
－ay
－by
图1．2－1
图1．2－2
图1．2－4

（3）由图1．2－4，得

x
2
?(a ?b)xy?aby
2
＝
(x?ay)(x?by)

x
y
图1．2－5
－1
1
（4）
xy?1?x?y
＝xy＋(x－y)－1
＝(x－1) (y+1) （如图1．2－5所示）．
2．提取公因式法与分组分解法
例2 分解因式：
（1）
x
3
?9?3x
2
?3x
； （2）
2x
2
?xy?y
2
?4x?5y?6
．
解： （1）
x
3
?9?3x
2
?3x
=
(x
3
?3x
2
)?(3x?9)
=
x
2
(x?3)?3(x?3)

=
(x?3)(x
2
?3)
．
或
x
3
?9?3x
2
?3x
＝
(x
3
?3x< br>2
?3x?1)?8
＝
(x?1)
3
?8
＝
(x?1)
3
?2
3

＝
[(x?1 )?2][(x?1)
2
?(x?1)?2?2
2
]

＝
(x?3)(x
2
?3)
．
（2）
2x
2
?xy?y
2
?4x?5y?6
=
2x
2
?(y ?4)x?y
2
?5y?6

=
2x
2?(y?4)x?(y?2)(y?3)
=
(2x?y?2)(x?y?3)
．
或

2x
2
?xy?y
2
?4x?5y ?6
=
(2x
2
?xy?y
2
)?(4x?5y)?6
=
(2x?y)(x?y)?(4x?5y)?6

=
(2x?y?2)(x?y?3)
．
3．关于x的二次三项式ax
2
+bx+c(a≠0)的因式分解．
若关于 x的方程
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的两个实数根是
x
1
、
x
2
，
则二次三项式
ax
2
?bx ?c(a?0)
就可分解为
a(x?x
1
)(x?x
2
)< br>.
例3 把下列关于x的二次多项式分解因式：
（1）
x
2
?2x?1
； （2）
x
2
?4xy?4y
2
．
解： （1）令
x
2
?2x?1
=0，则解得
x
1
??1?
∴
x
2
?2x?1
=
?
?
x?(?1?

2
，
x
2
??1?2
，
??
2)
?
??
x?(?1?2)
?

=
(x?1?
（2）令
x
1
?(?2?22)y
，
x
2
?4xy?4y
2
2)(x?1?2)
．
x
1
?(?2?22y)
，=0，则解得
∴
x
2
?4xy?4y
2
=
[x?2(1?
练 习
1．选择题：
多项式
2x
2
?xy?15y
2
2)y][x?2(1?2)y]
．
的一个因式为
（ ）
（A）
2x?5y
（B）
x?3y
（C）
x?3y
（D）
x?5y

2．分解因式：
（1）x
2
＋6x＋8； （2）8a
3
－b
3
；
（3）x
2
－2x－1； （4）
4(x?y?1)?y(y?2x)
．
习题1．2
1．分解因式：
（1）
a
3
?1
； （2）
4x
4
?13x
2
?9
；
； （4）（3）
b
2
?c
2
?2ab?2ac?2bc
3x< br>2
?5xy?2y
2
?x?9y?4
．
2．在实数范围内因式分解：
（1）
x
2
?5x?3
； （2）
x
2
?2

3x
2
?4xy?y
2
；
(x
2
?2x)
2
?7(x
2
?2x )?12
．（3） （4）
2x?3
；
3 ．
?ABC
三边
a
，
b
，
c
满足
a
2
?b
2
?c
2
?ab?bc?ca
，试判定< br>?ABC
的
形状．
4．分解因式：x
2
＋x－(a
2
－a)．

1.2分解因式
1． B
2．（1）(x＋2)(x＋4) （2）
(2a?b)(4a
2
?2ab?b
2
)

（3）
(x?1?2)(x?1?2)
（4）
(2?y)(2x?y?2)
．

习题1．2
1．（ 1）
?
a?1
?
?
a
2
?a?1
?
（2）
?
2x?3
??
2x?3
??
x?1
??
x?1
?

（3）
?
b?c
??
b?c?2a
?
（4）
?
3y?y?4
??
x?2y?1
?

?
5?13
??
5?13
?
2．（1）
????
?< br>x?
??
x?
?
；
22
????
（2）
?
x?2?5x?2?5
??

?
；
（3）
?
2?7
??
2?7
?3
?
?
x?
3
y
??
??
x?
3
y
?
?
????
； （4）
?
x?3
?
(x?1)(x?1?5)(x?1?5)
．
3．等边三角形
4．
(x?a?1)(x?a)