高中数学评课 直线和圆的位置关系-高中数学思维导图书籍
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空
人教版高中数学必修二
知识点梳理
重点题型(
常考知识点
)巩固练习
间几何体的表面积和体积
【学习目标】
1.通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法;
2.能运用公式求解柱体、锥体和台体的体积,并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系;
3.了解球的表面积和体积公式推导的基本思想,掌握球的表面积和体积的计算公式,并会求球的表面积
和体积;
4.会用柱、锥、台体和球的表面积和体积公式求简单几何体的表面积和体积.
【要点梳理】
【空间几何体的表面积和体积 395219 空间几何体的表面积】
要点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台是多面体,它们的各个面均是
平面多边形,它们的表面积就是各个面的面积之和.计
算时要分清面的形状,准确算出每个面的面积再求
和.棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表:
项目
名称
棱柱
棱锥
棱台
底面
平面多边形
平面多边形
平面多边形
平行四边形
三角形
梯形
侧面
面积=底·高
1
·底·高
2
1
面积=·(上底+下底)·高
2
面积=
要点诠释:
求多面体的表面积时,只需将它们沿着若干条棱剪开后
展开成平面图形,利用平面图形求多面体的表
面积.
要点二、圆柱、圆锥、圆台的表面积 <
br>圆柱、圆锥、圆台是旋转体,它们的底面是圆面,易求面积,而它们的侧面是曲面,应把它们的侧面
展开为平面图形,再去求其面积.
1.圆柱的表面积
(1)圆柱的侧面积:圆柱的侧面展
开图是一个矩形,如下图,圆柱的底面半径为r,母线长
l
,那么
这个矩形的长等于圆
柱底面周长C=2πr,宽等于圆柱侧面的母线长
l
(也是高),由此可得S
圆柱侧<
br>=C
l
=2πr
l
.
2
(2)圆柱的表面积:
S
圆柱表
?2
?
r?2
?
rl?2
?
r(r?l)
.
2.圆锥的表面积
(1)圆锥的侧面
积:如下图(1)所示,圆锥的侧面展开图是一个扇形,如果圆锥的底面半径为r,
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母线长为
l
,那么
这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=πr,半径等于圆锥侧面的母线长为
l
,由此可得它的侧面积是
S
圆锥侧
?
1
Cl?
?
rl
.
2
2
(2)圆锥的表面积:S圆锥表=πr+πr
l
.
3.圆台的表面积
(1)圆台的侧面积:如上图(2)所示,圆
台的侧面展开图是一个扇环.如果圆台的上、下底面半径
分别为r'、r,母线长为
l
,那么这个扇形的面积为π(r'+r)
l
,即圆台的侧面积为S
圆台侧
=π
(r'+r)
l
.
(2)圆台的表面积:
S
圆台表
??
(r'?r?r'l?rl)
.
要点诠释:
求旋转体的表面积时,
可从旋转体的生成过程及其几何特征入手,将其展开后求表面积,但要搞清它
们的底面半径、母线长与对
应的侧面展开图中的边长之间的关系.
4.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系如下图所示.
22
【空间几何体的表面积和体积395219
空间几何体的体积】
要点三、柱体、锥体、台体的体积
1.柱体的体积公式
棱柱的体积:棱柱的体积等于它的底面积S和高h的乘积,即V
棱柱
=Sh.
2
圆柱的体积:底面半径是r,高是h的圆柱的体积是V
圆柱
=Sh=πrh.
综上,柱体的体积公式为V=Sh.
2.锥体的体积公式
棱锥的体积:如果任意棱
锥的底面积是S,高是h,那么它的体积
V
棱锥
?
圆锥的体积:如果圆锥的底
面积是S,高是h,那么它的体积
V
圆锥
?
r表示S,则
V
圆锥
?
2
1
Sh
.
3
1
Sh
;
如果底面积半径是r,用π
3
1
2
?
rh
.
3
1
Sh
.
3
综上,锥体的体积公式为
V?
3.台体的体积公式
棱台的体积:
如果棱台的上、下底面的面积分别为S'、S,高是h,那么它的体积是
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1
V
棱台
?h(S?SS'?S')
.
3
圆台的体积:如果圆台的上、下底面半径分别是r'、r,高是h,那么它的体积是
11
V
圆台
?h(S?SS'?S')?
?
h(r
2?rr'?r'
2
)
.
33
1
综上,台体的体积公式为
V?h(S?SS'?S')
.
3
4.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系如下图所示.
【空间几何体的表面积和体积395219 球的体积与表面积】
要点四、球的表面积和体积
1.球的表面积
(1)球面不能展开成平面,要用其他方法求它的面积.
(2)球的表面积
2
设球的半径为R,则球的表面积公式
S
球
=4πR.
即球面面积等于它的大圆面积的四倍.
2.球的体积
设球的半径为R,它的体积只与半径R有关,是以R为自变量的函数.
球的体积公式为
V
球
?
4
3
?
R
.
3
要点五、侧面积与体积的计算
1.多面体的侧面积与体积的计算
在掌握
直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式及其推导过程的基础上,对于一些较简单的几何组合体的
表面积与体
积,能够将其分解成柱、锥、台、球,再进一步分解为平面图形(正多边形、三角形、梯形等),
以求得
其表面积与体积.要注意对各几何体相重叠部分的面积的处理,并要注意一些性质的灵活运用.
(1)棱锥平行于底的截面的性质:
在棱锥与平行于底的截面所构成的小棱锥中,有如下比例关系:
S
小锥底
S
大锥底
?
S
小锥全
S
大锥全
?
S
小锥侧
S
大锥侧
?
对应线段(如高、斜高、底面边长等)的平方之比.
要点诠释:
这个比例关系很重要,在求锥体的侧面积、底面积比时,会大大简化计算过程.在
求台体的侧面积、
底面积比时,将台体补成锥体,也可应用这个关系式.
(2)有关棱柱直截面的补充知识.
在棱柱中,与各侧棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面,正
棱柱的直截面是其上下底面及与底面平行的
截面.棱柱的侧面积与直截面周长有如下关系式:
S
棱柱侧
=C
直截
l
(其中C
直截
、
l<
br>分别为棱柱的直截面周长与侧棱长),
V
棱柱
=S
直截
l<
br>(其中S
直截
、
l
分别为棱柱的直截面面积与侧棱长).
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2.旋转体的侧面积和体积的计算
(1)圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的
面积,因此弄清侧面展开图的形式及侧面展
开图中各线段与原旋转体的关系,是掌握它们的侧面积公式及
解决有关问题的关键.
(2)计算柱体、锥体和台体的体积,关键是根据条件找出相应的底面面积和高
,要充分运用多面体的
有关问题的关键.
【典型例题】
类型一、简单几何体的表面积
例1.如右图,有两个相同的直三棱柱,高为
2
,底面三角形的三边长分别为
3a、4a、5a(a?0)
.用它
a
们拼成
一个三棱柱或四棱柱,在所有可能的情形中,全面积最小的是一个四
棱柱,则
a
的取值
范围是 .
【答案】
0?a?
15
.
32
【解析】底面积为
6a
,侧面面积分别为6、8、10,拼成四棱柱时,有三种情况:
s
1
?(8?6)?2?4?6a
2
?24a2
?28
s
2
?24a
2
?2(10?8)
?24a
2
?36,
s
3
?24a
2
?
2(10?6)?24a
2
?32,
拼成三棱柱时也有三种情况:
表面积为
2?6a?2(10?8?6)?12a?48
,24
a
+36,
24
a
+32
22
22
由题意得
24a?28?12a?
48
,解得
0?a?
22
15
.
3
【总结升华】
(1)直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积;表面积等于它的侧面积与上、下两
个底面的面积之
和.
(2)求斜棱柱的侧面积一般有两种方法:一是定义法;二是公式法.所谓定义法就是利用侧面积
为各
侧面面积之和来求,公式法即直接用公式求解.
举一反三:
【变式1】
一个圆柱的底面面积是
S
,侧面展开图是正方形,那么该圆柱的侧面积为( )
A.
4
?
S
B.
2
?
S
C.
?
S
D.
【答案】A
【解析】由圆柱的底面面积是
S
,求出圆柱的半径为
r?
23
?
S
3
S
?
,进一步求出侧面积为
4
?
S
.
例2.在底面半径为R,高为h的圆锥内有一内接圆柱,求内接圆柱的侧面积最大时圆柱的高,并求此<
br>时侧面积的最大值.
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【思路点拨】一般要画出其轴截面来分析,利用相似三角形求解。
【答案】高为
1
h
侧面积的最大值为
?
Rh
2
2
rh?x
,
?
Rh
【解析】如右图,设圆柱
的高为x,其底面半径为r,则
∴
r?
R(h?x)
.
h
2
?
R2
?
R
2
?x(h?x)??(x?hx)
hh
圆柱的侧面积
S
侧
?2
?
rx?
2
?
Rh
2
h
2
2
?
Rh
?
hR
[(x?)?]??(x?)
2
?
??
, <
br>h24h22
当
x?
h
?
hR
时,
S
侧最大值
?
.
22
1
h
,此时侧面积的最大值为
?
Rh
. 2
2
即内接圆柱的侧面积最大时圆柱的高为
【总结升华】与旋转体有关的问题,常
作轴截面,利用相似比得出变量之间的关系,进一步转化成代
数问题解决.
举一反三:
【变式1】 圆锥的高和底面半径相等,它的一个内接圆柱的高和底面半径也相等,求圆柱的表面积和<
br>圆锥的表面积之比.
【答案】
2?1
【解析】如右图为其轴截面图
,设圆柱、圆锥的底面半径分别是r、R,圆锥的母线长为
l
.
则有
rR?rr1
,即
?
,
?
RRR2
2R
∴R=2r,
l?
S
圆柱表2
?
r
2
?2
?
r
2
4
?<
br>r
2
4r
2
1
∴
?????2?1
S
圆锥表
?
R?2R?
?
R
2
(2?1)
?
R
2
(2?1)4r
2
2?1
【总结升华】这是一个圆
锥和圆柱的组合体.旋转体一般要画出其轴截面来分析,利用相似三角形求
各元素之间的关系,再利用相
应表面积公式计算.
例3.粉碎机的下料斗是正四棱台形,如图,它的两底面边长分别是80
mm和440 mm,高是200 mm.计
算制造这一下料斗所需铁板的面积.
【思路点拨】问题的实质是求正四棱台的侧面积,欲求侧面积,需先求出斜高.可在有关的直角梯形
中求
出斜高.
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【答案】2.8×10
【解析】如图所示,O、O
1
是两底面的中心,则O
O
1
是正棱台的高.设EE
1
是
斜高,过E
1
作E
1
F∥OO
1
交OE于F,则E
1
F⊥OE,在直角梯形O
O
1
E
1
E中,
5
EE
1
?E
1
F
2
?EF
2
?OO
1
?(EO?E
1
O
1
)
?
22
200
2
?(
440?80
2
)?269(mm)
.
2
∵边数n=4,两底面边长a=440
mm,a'=80 mm,斜高h'≈269 mm,
11
(c'?c)?h'?n(a'?a)?h'
22
1
52
??4?(80?440)?269?2.8?10(mm)
.
2
∴
S
正棱台侧
?
答:制造这一下料斗约需铁板2.8×10 mm.
【总结升华】 (1)解决与正棱台有关的计算问题,关键是利用有关直角梯形,即上图中的梯形OEE
1
O
1
、
梯形OAA
1
O
1
、梯
形AEE
1
A
1
.
(2)求棱台的侧面积,只需利用公式求解即可,这就需要求出上、下底面半径以及母线长.
举一反三:
【变式1】圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20
cm,它的侧面展开扇环的圆心角是180°,那么
圆台的表面积是多少?(结果中保留π)
【答案】1100π
【变式2】 邻边长为a,b的平行四边形,且a>b,分别以a,b两边所在直
线为轴旋转这个平行四边
形,所得几何体的表面积分别为S
1
,S
2
,则有( )
A.S
1
<S
2
B.S
1
>S
2
C.S
1
=S
2
D.S
1
≥S
2
【答案】A
类型二、简单几何体的体积
例4.已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm和30
cm的正三角形,
侧面是全等的等腰梯形,且侧面面积等于上、下底面面积之和,求棱台的高和体
积.
3
【答案】
43cm
1900cm
52
【解析】如右图所示,在三棱台ABC—A'B'C'中,O'、O分别为上、下底
面的中
心,D、D'分别是BC、B'C'的中点,则DD'是梯形BCC'B'的高,
所以
S
侧
?3??(20?30)?DD'?75DD'
.
又A'B'=20 cm,AB=30 cm,则上、下底面面积之和为
1
2
S
上
?S
下
?
3
?(20
2
?302
)?3253(cm
2
)
.
4
由S
侧=S
上
+S
下
,得
75DD'?3253
,
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所以
DD'?
13
3(cm)
,
3
O'D'?
3103
?20?(cm)
,
63
OD?
3
?30?53(cm)
,
6
22<
br>?
133
??
103
?
22
所以棱台的高
h
?O'O?D'D?(OD?O'D')?
?
?
3
?
?
?<
br>?
?
53?
3
?
?
?43(cm)
,
????
由棱台的体积公式,可得棱台的体积为
V?
?
h
(S?S
下
?S
上
S
下
)
3
上
?
43
?
333
223
?
?
?20??30??20?30?1900(cm)
.
?
??
3
?
444
?
【总结升华】 注意构造简单
几何体中的特殊三角形与特殊梯形,它们的数量关系往往是连接已知与未
知的桥梁,要注意利用.
举一反三:
【空间几何体的表面积和体积395219 例3】
22
【变式1】棱台的两个底面面积分别是245 cm和80
cm,截得这个棱台的棱锥
的高为35cm,求这个棱台的体积。
【答案】2325
【变式2】(1)各棱长都为1的正四棱锥的体积V=________.
(2)如右图,正
方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长
为2,动点E,F在棱A
1
B
1
上,动点
P,Q分别在棱AD,CD
上.若EF=1,A
1
E=x,DQ=y,DP=z(x,y,z大于零),则四面体PEFQ
的体积( )
A.与x,y,z都有关
B.与x有关,与y,z无关
C.与y有关,与x,z无关
D.与z有关,与x,y无关
【答案】(1)
2
(2)D
12
【解析】从图中可以分析出,
△EFQ的面积永远不变,为面A
1
B
1
CD面积的而当P点变化时,它到面
A
1
B
1
CD
的距离是变化的,即y的大小,影响P到面A
1
B
1
CD的距离,因此会导致四面体体积的变化.故选D.
例5.(2015年 重庆高考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
A.
【答案】B
【解析】由三视图可知该几何体是由一个底面半径为1,高为2
的圆柱,再加上一个半圆锥:其底面半径为1,高也为1;构成
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17
?
5
?
13
?
?2
?
B. C. D.
332
6
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的一个组合体,故其体积为
?
?1?2?
故选:B.
【总
结升华】给出几何体的三视图,求该几何体的体积或表面积时,
据三视图确定该几何体的结构特征,再利
用公式求解.此类题目是新
考的热点,应引起重视.
举一反三:
【变式1】
某几何体的三视图如图所示,则它的体积是
A.
8?
首先根
课标高
2
113
?
.
?
?
?1
2
?1?
66
2
?
?
B.
8?
33
C.
8?2
?
D.
2
?
3
【答案】A
【解析】由三视图可知,其几何体是由一个正方体挖去一个圆锥
所得,所以其体积是正方体的体积减去
圆锥的体积之差,即
8?
2
?
.
3
类型三、球的表面积与体积
例6.(2016 上海静安区二模)如图,半径为2
的半球内有一内接正六棱锥P—ABCDEF(底面正六边
形ABCDEF的中心为球心).求:正六棱
锥P—ABCDEF的体积和侧面积.
【思路点拨】正六棱锥P—ABCDEF的底面的外
接圆是球的一个大圆,求出正六边形的边长,求出侧
面斜高,即可求出正六棱锥的体积、侧面积.
【答案】
【解析】设底面中心为O,AB中点为M,连结PO、OM、PM、AO,则PO<
br>⊥OM,OM⊥AF,PM⊥AF,
∵OA=OP=2,∴
OM?3
,
∴
S
底
?6??2?3?63
.
∴
V?
1
2
1
?63?2?43
.
3
4?3?7
.
∵
PM?
∴
S侧?6??2?7?67
.
【总结升华】考查空间想
象能力,计算能力,能够得到底面积是大圆,求出斜高,本题即可解决,强
化几何体的研究,是解好立体
几何问题的关键.
举一反三:
【变式1】已知底面边长为1,侧棱长为
2
的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为
( )
1
2
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A.
32
?
3
B.4π
C.2π D.
4
?
3
【答案】D
例7.已知正四棱锥的底面边长为a,侧棱长为
2a
.
(1)求它的外接球的体积.
(2)求它的内切球的表面积.
【答案】(1)86
3
4?7
2
?
a
(2)
?
a
273
【解析】 如右图,作PE垂直底面ABCD于E,则E在AC上.
(1)设外接球的半径为R,球心为O,连接OA、OC,则OA=OC=OP,
∴O为△PAC的外心,即△PAC的外接圆半径就是球的半径.
∵AB=BC=a,∴
AC?
∵
PA?PC?AC?
2a
.
2a
,∴△PAC为正三角形.
2
a
AE6
2
??a
, ∴
R?
cos?
OAEcos30?3
∴
V
球
?
486
3
?
R
3
?
?
a
.
327
(2)设内切球的半径为r,作PE⊥BC于F,连接EF.
则有
P
F?
a7
PB
2
?BF
2
?(2a)
2
?
()
2
?a
.
22
S
?PBC
?
117
7
2
BC?PF?a?a?a
,
2224
S
棱锥全
?4S
?PBC
?S
底
?(7?1)a
2
.
?
7
?
?
a
?
2
6
2
又
P
E?PF?EF2?
?
a??a
.
?
?
2
??
?
2
??
?
2
?
∴
V
棱锥
?
2
1166
3
S
底
h?a
2
?
a?a
,
3326
∴
r?
3V
棱锥
S
棱
锥全
6
3
a
4?7
2
42?6
2
6
S?4
?
r?
?
a
. ,
??a
球
2<
br>3
12
(7?1)a
3?
【总结升华】
多面体之间或多面体与球之间的切接关系,是一种空间简单几何体之间的位置关系.处
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理这类问题时,一般可以采用两种转
化方法:一是转化为平面图形之间的内切或外接关系;二是利用分割
的方式进行转化,使运算和推理变得
简单,这里体现的转化思想是立体几何中非常重要的思想方法.
举一反三:
【变式1】
表面积为324
?
的球,其内接正四棱柱的高是14,求这个正四棱柱的表面积.
【答案】576
【解析】设球半径为R,正四棱柱底面边长为a,则作轴截面如图,
AA
?
?14
,
AC?2a
,
又∵
4
?
R?324
?
,∴
R?9
,
AC
??2R?18
,
∴
AC?
2
AC
?
2
?CC
?
2
?82
,∴
a?8
,
∴
S
表
?2?8?8?4?8?14?576.
【总结升华】解决球
与其他几何体的内切、外接问题的关键在于仔细观察、分析几何体的结构特征,弄
清相关元素的位置关系
和数量关系,选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球和其他几何
体的各种元素,尽可能
地体现这些元素之间的关系),达到空间问题平面化的目的.
【变式2】
求体积为
V
的正方体的外接球的表面积和体积.
【答案】
3
?
V
2
【解析】如图所示,显示正方体的中
心为其外接球的球心,过球心作平行于正方体任一面的球的截面,则
其截面为圆内一正方形(正方形的各
顶点均在圆内,而不是在圆上).因此,这样的截面无法反映球的半
径与正方体的棱长的关系,注意到球
心必在正方体的一个对角面上,因此,以正方体的一个对角面作截面
即可.
如图,以正方体的
对角面
ACC
1
A
1
作球的截面,则球心
O
为AC
1
的中点,设正方体的棱长为
x
,则
2
3
x
3
?V,?x?
3
V
,而
AC2x,?AC
1<
br>?AA
1
2
?AC
11
?
11
?3x?3V
?R?
3
3
V
2
43
?S<
br>球
?4
?
R
2
?3
?
3
V
2
,V
球
?
?
R
3
?
?
V
32
【总结升华】正方体外接球的轴截面不是圆内一正方形,而是圆内一矩形,因此在解决
棱柱内切球和外
接球的有关问题时,必须谨慎地作其轴截面,切忌想当然地作图.
解决球与其
他几何体的内切、外接问题的关键在于仔细观察、分析几何体的结构特征,弄清相关元素的
位置关系和数
量关系,选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球和其他几何体的各种元素,
尽可能地体
现这些元素之间的关系),达到空间问题平面化的目的.
【变式3】正三棱锥的高均为1,底面边长为
26
,内有一个球与四个面都相切,求棱锥的全面积和球的
表面积.
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【答案】
92?63
(40?166)
?
【
解析】过侧棱PA与球心O作截面PAE交侧面PBC于PE,由于△ABC为正三角形,故AE既是△ABC<
br>底边上的高,又是BC边上的中线,作正三棱锥的高PD,则PD过球心O,且D为△ABC的中心.
(1)∵正三角形ABC边长为
26
∴DE=
11
3<
br>3
·AE=
3
·
2
·
26
=
2
故PE=
1?2?3
∴S
全
=S
侧
+S
底
=
3?
1
2
?
26?3?
1
2
?26?32
=
92?63
(2)以球心为顶点,棱锥的四个面为底面,把正三棱锥分割为四个小棱锥,设球半径为r,则
V
1
1
+V
2
+V
3
+V
4
=<
br>3
r·S
1
全
=
3
h·S
△
ABC
故r= (S
△
ABC
·h) S
全
=
6?2
∴S
球
=
4
?
r
2=
4
?
(6?2)
2
?(40?166)
?
.
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