人教版高中数学【必修二】[知识点整理及重点题型梳理]_直线、平面垂直的性质_提高

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人教版高中数学必修二
知识点梳理
重点题型（
常考知识点
）巩固练习
直线、平面垂直的性质
【学习目标】
1．掌握直线与平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；
2．掌握两个平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；
3．能综合运用直线与平面、平面与平面的垂直、平行的判定和性质定理解决有关问题．
【要点梳理】
要点一、直线与平面垂直的性质
1.基本性质
文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.
符号语言：
l?
?
,m?
?
?l?m

图形语言：

2.性质定理
文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.
符号语言：
l?
?
,m?
?
?lm

图形语言：

3．直线与平面垂直的其他性质
（1）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。
（2）若
l?
?
于
A
，
AP?l
，则
AP?
?< br>。
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面。
要点诠释：
线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化。
要点二、平面与平面垂直的性质
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1．性质定理
文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
符号语言：
?
?
?
,
?
图形语言：
?
?m,l?
?
,l?m?l?
?


要点诠释：
面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的 平面角经常用到。
这种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解（证）问题的重要思想 方法。
2．平面与平面垂直性质定理的推论
如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。
要点三、垂直关系的综合转化
线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的，能够相互转化， 转化的纽带是对应的定义、判定定理
和性质定理，具体的转化关系如下图所示：

在解决问题时，可以从条件入手，分析已有的垂直关系，早从结论探求所需的关系，从而架起条 件与
结论的桥梁．
垂直间的关系可按下面的口诀记忆：
线面垂直的关键，定义来证最常见，
判定定理也常用，它的意义要记清．
平面之内两直线，两线交于一个点，
面外还有一条线，垂直两线是条件．
面面垂直要证好，原有图中去寻找，
若是这样还不好，辅助线面是个宝．
先作交线的垂线，面面转为线和面，
再证一步线和线，面面垂直即可见．
借助辅助线和面，加的时候不能乱，
以某性质为基础，不能主观凭臆断，
判断线和面垂直，线垂面中两交线．
两线垂直同一面，相互平行共伸展，
两面垂直同一线，一面平行另一面．
要让面和面垂直，面过另面一垂线，
面面垂直成直角，线面垂直记心间．
【典型例题】
类型一：直线与平面垂直的性质
例1．设a，b为异面直线，AB是它们的公垂线（与两异面直线都垂直且相交的直线）。
（1）若a，b都平行于平面
?
，求证：AB⊥
?
；
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（2）若 a，b分别垂直于平面
?
，
?
，且
??
?c
，求证 ：AB∥c。
【思路点拨】（1）依据直线和平面垂直的判定定理证明AB⊥
?
，可 先证明线与线的平行。（2）由于
此时垂直的关系较多，因此可以考虑利用线面垂直的性质证明AB∥c 。
证明：（1）如图（1），在
?
内任取一点P，设直线a与点P确定的平面与平面
?
的交线为a＇，设直线
b与点P确定的平面与平面
?
的交线为b＇ 。
∵a∥
?
，b∥
?
，∴a∥a＇，b∥b＇。
又∵AB⊥
?
，AB⊥b，∴AB⊥a＇，AB⊥b＇，
∴AB⊥
?
。
（2）如图，过B作BB＇⊥
?
，则AB⊥BB＇。
又∵AB⊥b，∴AB垂直于由b和BB＇确定的平面。
∵b⊥
?
，∴b⊥c，∵BB＇⊥
?
，∴BB＇⊥c。
∴c也垂直于由BB＇和b确定的平面。
故c∥AB。
【总结升华】由第（2）问 的证明可以看出，利用线面垂直的性质证明线与线的平行，其关键是构造
平面，使所证线皆与该平面垂直 。如题中，通过作出辅助线BB＇，构造出平面，即由相交直线b与BB＇
确定的平面，然后借助于题目 中的其他垂直关系证明。
举一反三：
【变式1】 设
l
，m是两条不同的直线，
?
是一个平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若
l
⊥m，m
?
?
，则
l
⊥?
B．若
l
⊥
?
，
l
∥m，则m⊥
?
C．若
l
∥
?
，m
?
?
，则
l
∥m D．若
l
∥
?
，m∥
?
，则
l
∥m
【答案】B
【解析】两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。
：空间的线面垂直398999 例3
例2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面A BCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，
PA=AB=BC，E是PC的中点．
（1）证明：AE⊥CD；
（2）证明：PD⊥平面ABE．
【思路点拨】（1）由PA⊥底面ABCD，可得 CD⊥PA，又CD⊥AC，故CD⊥面PAC，
从而证得CD⊥AE；
（2）由等腰三角形 的底边中线的性质可得AE⊥PC，由（Ⅰ）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，AE⊥PD，
再由 AB⊥PD 可得 PD⊥面ABE。
【解析】
（1）证明：在四棱锥P- ABCD中，PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA．
又CD⊥AC，PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC，
∵AE?面PAC，故CD⊥AE．
（2）证明：由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得PA=AC，
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，
由（1）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，故AE⊥PD．
由（1）知，AE⊥CD，且PC∩CD=C，所以AE⊥平面PCD．
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而PD?平面PCD，∴AE⊥PD．
∵PA⊥底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，AB⊥AD，∴AB⊥PD．
又∵AB∩AE=A，∴PD⊥面ABE
【总结升华】直线与平面垂直的性质定理（以及补充 性质）是线线、线面垂直以及线面、面面平行相
互转化的桥梁，因此必须熟练掌握这些定理，并能灵活地 运用它们．
举一反三：
【变式1】如图，三角形ABCD中，
AC?BC?
2
AB
，ABED是边长为1
2
的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若 G、F分别是EC、BD的中点。
（1）求证：GF∥底面ABC；
（2）求证：AC⊥平面EBC；
（3）求几何体ADEBC的体积V。
【答案】（1）（2）证明详见解析；（3）
1
6
．
【证明】（1）证法一：取BE的中点H，连接HF、GH，（如图）

∵G、F分别是EC和BD的中点
∴HG∥BC，HF∥DE，
又∵ADEB为正方形，∴DE∥AB，从而HF∥AB
∴HF∥平面ABC，HG∥平面ABC，HF∩HG=H，
∴平面HGF∥平面ABC
∴GF∥平面ABC
证法二：取BC的中点M，AB的中点N，连接GM、FN、MN（如图）

∵G、F分别是EC和BD的中点
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∴GM∥BE，且
GM?
NF∥DA， 且
NF?
1
BE
，
2
1
DA
，
2
又∵ADEB为正方形 ∴BE∥AD，BE=AD
∴GM∥NF且GM=NF
∴MNFG为平行四边形
∴GF∥MN，又MN
?
平面ABC，
∴GF∥平面ABC
证法三：连接AE，
∵ADEB为正方形，
∴AE∩BD=F，且F是AE中点，
∴GF∥AC，
又AC
?
平面ABC，
∴GF∥平面ABC
（2）∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB，∴GF∥平面ABC
又∵平面ABED⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC
∴BE⊥AC
又∵CA
2
+CB
2
=AB
2

∴AC⊥BC，
∵BC∩BE=B，
∴AC⊥平面BCE
（3）连接CN，因为AC=BC，∴CN⊥AB，
又平面ABED⊥平面ABC，CN
?
平面ABC，∴CN⊥平面ABED。
∵三角形ABC是等腰直角三角形，∴
CN?
∵C—ABED是四棱锥，
∴
V
C?ABED
?
11
AB?
，
22
1111
S
ABED
?CN??1??

3326

类型二：平面与平面垂直的性质
：空间的面面垂直399110 例2
例3．如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。
【 解析】已知：
?
?
?
，
?
?
?
，
??
?l
，求证：
l?
?
。
证法1：如图（左），在?
内取一点P，作PA垂直于
?
与
?
的交线于A，PB垂直于< br>?
与
?
的交线于B，
则PA⊥
?
，PB⊥
?
，
∵
l?
??
，∴
l
⊥PA，
l
⊥PB。
∵PA
?
?
，PB
?
?
，PA∩PB=P，
∴
l?
?
。
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证法2：如图（右），在< br>?
内作直线m垂直于
?
与
?
的交线，在
?
内 作直线n垂直于
?
与
?
的交线，
∵
?
?
?
，
?
?
?
，∴
m?
?
，
n?< br>?
，∴m∥n。
又
n?
?
，∴m∥
?
，∴ m∥
l
，∴
l?
?
。
证法3：如图，在
l
上取一点A，过A作直线m，使
m?
?
。
∵
?
?
?
，且
A?l?
?
，∴
m?
?
。
同理
m
?
，∴
m?
??
?l
，即
l
与 m重合。
∴
l?
?
。
【总结升华】证法1、证法2都是利用“两 平面垂直时，在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直
于另一个平面”这一性质，添加了在一个平面 内垂直于交线的直线这样的辅助线，这是证法1、证法2的关
键。证法3利用两个平面垂直的推论，则较 为简捷。由此可见，我们必须熟练掌握这一推论。
举一反三：
【变式1】已知△ABC，A B=AC=3a，BC=2a，D为BC的中点，在空间平移
△ABC到△A
1
B1
C
1
，连接对应顶点，且满足AA
1
?
平面ABC， AA
1
=3a。如图所
示，E是CC
1
上一点，且CE=2a，求二 面角D—AE—C的正弦值。
【解析】 ∵AA
1
⊥平面ABC，CC
1
∥AA
1
，∴CC
1
⊥平面ABC。
又CC
1
?
平面ACE，∴平面ACE⊥平面ABC。
作DH⊥AC于H，DH⊥平面AEC，作HF⊥AE于F，连接DF，
则DF⊥AE，∴∠DFH是二面角D—AE—C的平面角。
在Rt△ADC中，
DH?
AD?DC22
?a
。
AC3
在Rt△ADE（易证得）中，
DF?
AD?DE210
?a
。 < br>AE
13
在Rt△DHF中，
sin?DFH?
DH65
?< br>。
DF15
65
。
15
∴二面角D—AE—C的正弦值为
【总结升华】面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法（即若有两个平面垂直，则在一个平面内作垂直于交线的直线，则该直线必垂直于另一个平面），利用它可以作出二面角的平面的角、直线与平面所成的角、平面的垂线等。
类型三：综合应用
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例4．（2015年 重庆模拟）如图，四边形ABCD 为矩形，四边形ADEF为梯形，AD∥FE，∠
AFE=60°，且平面ABCD⊥平面ADEF，< br>AF?FE?AB?
1
AD?2
，点G为AC的中点。
2

（1）求证：EG∥平面ABF；
（2）求三棱锥B—AEG的体积；
（3）试判断平面BAE与平面DCE是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由。
【思路点拨】（1）取AB中点M，连接MG，则EF∥MG，①即得证。
（2）转换三棱锥B—AEG为E—ABG即可求得体积。
（3）只要证明AE⊥CDE即可。
【答案】（1）略（2）
23
（3）略
3
【证明】（1）证明：取
AB
中点
M
，连
FM< br>，
GM
。
∵G为对角线AC的中点，
∴GM∥AD，且
GM?
又∵FE∥
1
AD
，
2
1
AD
，
2
∴GM∥FE且GM=FE。
∴四边形GMFE为平行四边形，即EG∥FM。
又∵EG
?
平面ABF，FM
?
平面ABF，
∴EG∥平面ABF。
（2）作EN⊥AD，垂足为N，
由平面ABCD⊥平面AFED，面ABCD∩面AFED=AD，
得EN⊥平面ABCD，即EN为三棱锥E—ABG的高
∵ 在△AEF中，AF=FE，∠AFE=60°，
∴ △AEF是正三角形
∴ ∠AEF=60°，
由EF∥AD知∠EAD=60°，
∴
EN?AE?sin60??3

∴ 三棱锥BAEG的体积为
V
B ?AEG
?V
E?ABG
?
1
S
3
1123
?EN???2?2?3?

ABG
323
（3）平面BAE⊥平面DCE，证明如下：
∵四边形ABCD为矩形，且平面ABCD⊥平面AFED，
∴ CD⊥平面AFED，
∴ CD⊥AE
∵ 四边形AFED为梯形，FE∥AD，且∠AEF=60°，
∴ ∠FAD=120°
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又在△AED中，EA=2，AD=4，∠EAD=60°，
由余弦定理，得
ED?23

∴
EA
2
?ED
2
?AD
2

∴ ED⊥AE
又∵ ED∩CD=D
∴ AE⊥平面DCE
又 AE
?
面BAE
∴ 平面BAE⊥平面DCE

例5．如图1， 在
Rt?ABC
中，
?C?90
，
D,E
分别为
A C,AB
的
中点，点
F
为线段
CD
上的一点，将
△ ADE
沿
DE
折起到
?A
1
DE
的
位置， 使
A
1
F?CD
，如图2．
(Ⅰ)求证：
DE
平面
A
1
CB
；
(Ⅱ)求证：
A
1
F?BE
；
(Ⅲ)线段
A1
B
上是否存在点
Q
，使
A
1
C?
平 面
DEQ
？说明理由．
【思路点拨】这是个折叠问题，要注意折叠前和折叠后线段的数量和位置关系的变化。
【解析】
(Ⅰ)因为D，E分别为AC，AB的中点，
所以DE∥BC，
又因为DE
?
平面A
1
CB，
所以DE∥平面A
1
CB．
(Ⅱ)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，
所以DE⊥AC．
所以DE⊥A
1
D．DE⊥CD．
所以DE⊥平面A
1
DC．
而A
1
F
?
平面A
1
DC，
所以DE⊥A
1
F．
又因为A
1
F⊥CD，
所以A
1
F⊥平面BCDE．
所以A
1
F⊥BE．
(Ⅲ)线段A
1
B上存在点Q，使A
1
C⊥平面DEQ．理由如下：
如图，分别取A
1
C，A
1
B的中点P,Q，则PQ∥BC．
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又因为DE∥BC，所以DE∥PQ．
所以平面DEQ即为平面DEP．
由(Ⅱ)知，DE⊥平面A
1
DC，
所以DE⊥A
1
C．
又因为P是等腰三角形DA
1
C底边A
1
C的中点，

所以A
1
C⊥DP．
所以A
1
C⊥平面DEP．
从而A
1
C⊥平面DEQ．
故线段A
1
B上存在点Q，使得A
1
C⊥平面DEQ．
举一反三：
【变式1】 如下图，已知三棱锥P—ABC中，平面PAB⊥平面ABC，平面P AC⊥平面ABC，AE
⊥平面PBC，E为垂足。
（1）求证：PA⊥平面ABC；
（2）当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形。
证明 ： （1）如下图（左），在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F。
因为平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，所以DF⊥平面PAC。
又PA
?
平面PAC，所以DF⊥PA。
作DG⊥AB于G，同理可证DG⊥PA。
又因为DG、DF都在平面ABC内，且DG∩DF=D，
所以PA⊥平面ABC。

（2）连接BE并延长交PC于H，如上图（右）。
因为E是△PBC的垂心，所以PC⊥BE。
又已知AE是平面PBC的垂线，所以PC⊥AE。
所以PC⊥平面ABE，所以PC⊥AB。
又因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，
所以AB⊥平面PAC，所以AB⊥AC，
即△ABC是直角三角形。
【总结升华】 证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直一线面垂直——面面垂直来实现的。因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化，每一垂直的判定就是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的。
【变式2】（2016 哈尔滨模拟）如图，已知四 棱锥P—ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，
∠ABC=60°，E、F分别是BC 、PC的中点．

（1）判定AE与PD是否垂直，并说明理由．
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（2）设AB=2，若H为PD上的 动点，若△AHE面积的最小值为
6
，求四棱锥P—ABCD的体积．
2
【答案】（1）略；（2）
43
．
3
【证明】（1）
AE
⊥
PD

因为四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形．
因为E是BC的中点，
∴AE⊥BC，结合BC∥AD，得AE⊥AD
∵PA⊥平面ABCD，AE
?
平面ABCD，
∴PA⊥AE
PA∩AD=A，且PA
?
平面PAD，AD
?
平面PAD
∴AE⊥平面PAD，又PD
?
平面PAD
∴AE⊥PD
（2）由（1），EA⊥平面PAD，
∴EA⊥AH，即△AEH为直角三角形，
Rt⊥EAH中，
AE?3
，
当AH最短时，即AH⊥PD时，△AEH面积的最小
此时，
S
?EAH< br>?
16
EA?AH??AH?2
．
22
又AD=2，所以∠ADH=45°，所以PA=2．
V
P?ABCD
?
43

3
【总结升华】本题综合 了直线与平面平行的判定、直线与平面垂直的性质和棱柱、棱锥、棱台的
体积等几个知识点．在题中出现 了探究性问题，请同学们留意在解题过程中“空间问题平面化的思
路”，是立体几何常用的数学思想．
【变式3】如图，四棱锥
S?ABCD
中，
ABCD
,
BC ?CD
，侧面
SAB
为等边三角形，
AB?BC?2,CD?SD?1
．
(Ⅰ)证明：
SD?SAB
；
(Ⅱ)求
AB
与平面
SBC
所成角的正弦值．
【答案】（1）略（2）
21

7
【解析】
（I）取AB中点E，连结DE、SE，
∴ 四边形BCDE为矩形，DE=CB=2，
∵ 侧面
SAB
为等边三角形
∴
SE?AB,SE?
2
3

22
又∵SD=1，
ED?SE?SD
，
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∴
?DSE
为直角．
又∵
AB?DE,AB?SE,DESE?E
，
∴ AB⊥平面SDE，
∴
AB?SD
．
又SD与两条相交直线AB、SE都垂直．
∴SD⊥平面SAB．
（II）作
SF?DE
垂足为F，FG⊥BC，垂足为G，连结SG
∵ AB⊥平面SDE，
∴ 平面ABCD⊥平面SED．
∴ SF⊥平面ABCD，
∵
BC?平面ABCD

∴
SF?BC
，
又 ∵FG⊥BC，
SF
∴ BC⊥平面SFG，
∵
BC?平面SBC

∴ 平面SBC⊥平面SFG．
作
FH?SG
，H为垂足，则FH⊥平面SBC．
又∵在
Rt?SDE
中，
SF?
FG?F

SD?SE3
?
，
DE2
在
Rt?SFG
中，
SG?SF
2
?FG
2
?1?
37
?

42
∴
FH?
21
SF?FG321
，即F到平面SBC的距离为．
??
7
SG7
7
∵ EDBC，
∴ ED平面SBC，∴ E到平面SBC的距离d也是
21
．
7
设AB与平面 SBC所成的角为α，则
sin
?
?
d21
?
．
EB7
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