初高中数学衔接的知识点方程与不等式讲解及练习题

初高中数学衔接的知识点方程与不等式讲解及练习题
2.3.1 二元二次方程组解法
方程
x
2
?2xy?y
2
?x?y?6?0

是一个含 有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样
的方程叫做二元二次方程．其中< br>x
2
,
2xy
,
y
2
叫做这个方程的二次项 ,
x
,
y
叫做一次
项,6叫做常数项．
我们看下面的两个方程组：
?
x
2
?4y
2
?x?3y?1?0,

?
?
2x?y?1?0;


22
?
?
x?y?20,

?
22
??
x?5xy?6y?0.
第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的 ，第二个
方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．
下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程
组的解法．
一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元
法来解．
例1 解方程组
①
②

１

?
x
2
?4y
2
?4?0,

?
?
x?2y?2?0.
分析：二元二次方程组对我们来说较为生疏，在解此方程组时，可以将其
转化为我们熟悉的形式．注意到方程②是一个一元一次方程，于是，可以利用
该方程消去一个元 ，再代入到方程①，得到一个一元二次方程，从而将所求的
较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题．
解：由②,得
x＝2y＋2， ③
把③代入①,整理,得
8y
2
＋8y＝0，
即 y(y＋1)＝0．
解得 y
1
＝0，y
2
＝－1．
把y
1
＝0代入③, 得 x
1
＝2；
把y
2
＝－1代入③, 得x
2
＝0．
所以原方程组的解是

?
?
x
1
?2,
?
y?0，

?
?
x
2
?0,
1
?
y

2
??1.
说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入
消元法来求解．
例2 解方程组
①
②


２

?
x?y?7,

?
?
xy?12.
解法一：由①，得

解法二：对这个方程组，也可以根
x?7?y.

据一元二次方程的根与系数的关系，

③
把③代入②，整理，得

y
2
?7y?12?0

解这个方程，得

y
1
?3,y
2
?4
．
把
y
1
?3
代入③，得
x
1
?4
； < br>把
y
2
?4
代入③，得
x
2
?3
．
所以原方程的解是

?
?
x
1
? 4,
?
y
1
?3，

?
?
x
2
?3,
y?4.

?
2
练 习
1．下列各组中的值是不是方程组
?
?< br>x
2
?y
2
?13,
?
x?y?5


把
x,y
看作一个一元二次方程的两个
根，通过解这个一元二次方 程来求
x,y
．
这个方程组的
x,y
是一元二次方程

z
2
?7z?12?0

的两个根，解这个方程，得

z?3
，或
z?4
．
所以原方程组的解是


?
?
x
1
?4,
?
y
1
?3;< br>?
?
x
2
?3,

?
y
2
?4.
３

的解?
（1）
?
?
x?2,
?
y?3;
（2）
?
?
x?3,
?
y?2;
（3）
??
x?1,
（4）
?
?
x??2,

?
y?4;

?
y??3;

2．解下列方程组:
（1）
?
?
y?x?5,
2
（2）
?

?
x?y
2
?625;

?
x?y?3,
?
xy??10;
2
（3）
?
?
x
2
y
?
??1,
（4）
?
?
2
?
54

?
y?2x,?
y?x?3;
?
x
2
?y
2
?8.

?

2.3.2 一元二次不等式解法
二次函数y＝x
2
－x－6的对应值表与图象如下：
x
－3 －2 －1
0 1 2 3 4
y 6 0
－4 －6 －6 －4
0 6
由对应值表及函数图象(如图2.3－1)可知
当x＝－2，或x＝3时，y＝0，即x
2
－x＝6＝0；
当x＜－2，或x＞3时，y＞0，即x
2
－x－6＞0；
当－2＜x＜3时，y＜0，即x
2
－x－6＜0．
这就是说，如果抛物线y= x
2
－x－6与x轴的交点

４

是(－2，0)与(3，0)，那么
一元二次方程
x
2
－x－6＝0
的解就是
x
1
＝－2，x
2
＝3；
同样，结合抛物线与x轴的相关位置，可以得到
一元二次不等式
x
2
－x－6＞0
的解是
x＜－2，或x＞3；
一元二次不等式
x
2
－x－6＜0
的解是


５

－2＜x＜3．
上例表明：由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对
应的 一元二次不等式的解集．


那么，怎样解一元二次不等式ax
2
＋bx＋c＞0(a≠0)呢？
我们可以用类 似于上面例子的方法，借助于二次函数y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)
的图象来解一 元二次不等式ax
2
＋bx＋c＞0(a≠0)．
为了方便起见，我们先来研究二次项系数a＞0时的一元二次不等式的解．
我们知道，对于一元二次方 程ax
2
＋bx＋c＝0(a＞0)，设△＝b
2
－4ac，它的解
的情形按照△＞0，△=0，△＜0分别为下列三种情况——有两个不相等的实
数解、有两个相等的实数 解和没有实数解，相应地，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c（a
＞0）与x轴分别有两个 公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.3－2所示)，
因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的 一元二次不等式ax
2
＋bx＋c＞0（a
＞0）与ax
2
＋bx＋ c＜0（a＞0）的解．

６

（1）当Δ＞0时，抛 物线y＝ax
2
＋bx＋c（a＞0）与x轴有两个公共点(x
1
，
0)和(x
2
，0)，方程ax
2
＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x< br>1
和x
2
(x
1
＜x
2
)，由图
2 .3－2①可知
不等式ax
2
＋bx＋c＞0的解为
x＜x
1
，或x＞x
2
；
不等式ax
2
＋bx＋c＜0的解为
x
1
＜x＜x
2
．
（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax< br>2
＋bx＋c（a＞0）与x轴有且仅有一个公
b
共点，方程ax＋bx＋c＝ 0有两个相等的实数根x
1
＝x
2
＝－ ，由图2.3－2
2a
2
②可知
不等式ax
2
＋bx＋c＞0的解为
b
x≠－ ；
2a

７

不等式ax
2
＋bx＋c＜0无解．
（3）如果△＜0，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c（a＞0）与x轴没有公共点，方程
ax
2
＋bx＋c＝0没有 实数根
，
由图2.3－2③可知
不等式ax
2
＋bx＋c＞0的解为一切实数；
不等式ax
2
＋bx＋c＜0无解．
今后，我们在解一元二次不等式时， 如果二次项系数大于零，可以利用上
面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边 同乘以－
1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式．
例3 解不等式：
（1）x
2
＋2x－3≤0； （2）x
－
x
2
＋6＜0；
（3）4x
2
＋4x＋1≥0； （4）x
2
－6x＋9≤0；
（5）－4＋x－x
2
＜0．

解：（1）∵Δ＞0，方程x
2
＋2x－3＝0
的解是
x
1
＝－3，x
2
＝1．
∴不等式的解为

－3≤x≤1．
（2）整理，得
x
2
－x
－
6
＞0．
∵Δ＞0，方程x
2
－x
－
6=0的解为
８

x
1
＝－2，x
2
＝3．
∴所以，原不等式的解为
x＜－2，或x
＜3．
（3）整理，得
(2x＋1)
2
≥0.
由于上式对任意实数x都成立，
∴原不等式的解为一切实数．
（4）整理，得
(x－3)
2
≤0.

由于当x＝3时，(x－3)
2
＝ 0成立；
而对任意的实数x，(x－3)
2
＜0都不成
立，
∴原不等式的解为
x＝3．
（5）整理，得
x
2
－x＋4＞0．
Δ＜0，所以，原不等式的解为一切
实数．
９