【精品】高中数学 必修4_函数y=Asin(ωx+φ)的图象_讲义 知识点讲解+巩固练习(含答案)基础

y?Asin(
?
x?
?
)
的图象与性质
【学习目标】
1.了解
A,
?
,
?
对函数图象变 化的影响，并会由
y?sinx
的图象得到
y?Asin(
?
x?< br>?
)
的图
象；
2．明确函数
y?Asin(
?x?
?
)
（
A
、
?
、
?
为常 数，
A?0,
?
?0
）中常数
A
、
?
、< br>?
的物
理意义，理解振幅、频率、相位、初相的概念．
【要点梳理】
要点一：用五点法作函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的图 象
用“五点法”作
y?Asin(
?
x?
?
)
的 简图，主要是通过变量代换，设
z?
?
x?
?
，由z取
0,
?
3
,
?
,
?
,2
?
来求出相应 的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象.
22
要点诠释：用“五点法”作y?Asin(
?
x?
?
)
图象的关键是点的选取，其中横坐标 成等差
数列，公差为
T
.
4
要点二：函数
y?Asin(
?
x?
?
)
中有关概念
y?Asin(
?
x?
?
)
?
A?0,
?
?0
?
表示一个 振动量时，A叫做振幅，
T?
f?
1
?
叫做频率，
?
x?
?
叫做相位，x=0时的相位
?
称为初相.
?
T2
?
2
?
?
叫做周期，
要点三：由
y?sinx得图象通过变换得到
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象
1.振幅变换：
y?Asinx，x?R
(A>0且A≠1)的图象可以看作把正弦 曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)
或缩短(0是-A.若A<0可先作y=-Asinx的图象，再以x轴 为对称轴翻折.A称为振幅.
2.周期变换：
函数
y?sin
?
x，x?R
?
?
?0且
?
?1
?
的图象，可看作把 正弦曲线上所有点的横坐标缩短
?
?
?1
?
或伸长
?
0?
?
?1
?
到原来的
再作图.
?
决定了函数的 周期.
3.相位变换：
1
倍(纵坐标不变).若
?
?0
则可用诱导公式将符号“提出”
?
函数
y?sin
?
x?
?
?
，x?R
(其中
?
?0
)的图象，可以看作把正弦曲线上 所有点向左(当
?

＞0时)或向右(当
?
＜0时) 平行移动
?
个单位长度而得到.(用平移法注意讲清方向：“左加
右减”).
要点诠释：一般地，函数
y?Asin(
?
x?
?
)
?< br>A?0,
?
?0
?
，x?R
的图象可以看作是用下面
的方法得到的：
(1)先把y=sinx的图象上所有的点向左(
?
>0)或右(< br>?
<0)平行移动
?
个单位；
(2) 再把所得各点的横坐标缩短< br>?
?
?1
?
或伸长
?
0?
?
?1< br>?
到原来的
1
倍(纵坐标不变)；
?
(3) 再把所得各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0【典型例题】
类型一：三角函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象
例1.画出函数y=sin(x+
【解析】
法一：(五点法)：
列表
x
?
?
)，x∈R的简图.
3
?

3
?

3
?
sin(x+
3
)
x+
描点画图：
0
?

6
?

2
1
2
?

3
?

7
?

6
3
?

2
5
?

3
2
?

0 0 -1 0

法二：(图象变换)
函数y=sin(x+
度而得到.
?
?)，x∈R的图象可看作把正弦曲线上所有的点向左平行移动个单位长
33

?
)，x∈R的简图.
3
2
?
【解析】(五点法)由
T?
，得
T?
?
，列表：
2
?
?
?

?
x
612
3
??
?

2x+
0
32
?
3sin(2x+)
0 3 0
3
例2.画出函数y=3sin(2x+
描点画图：
7
?

12
3
?

2
5
?

6
2
?

0 -3

这种曲线也可由图象变换得到：

【总结升华】由y=sinx的图象变换出
y?sin(
?
x?
?
)
的图象一般有两个途径，只有区别
开这两个途径，才能灵活进行图象变换.
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换).
先将y=sinx的图象向左(
?
＞0)或向右(
?
＜0)平移
?< br>个单位，再将图象上各点的横坐标

变为原来的
1
倍< br>?
?
?0
?
，便得
y?sin(
?
x??
)
的图象.
?
1
倍
?
?
?0?
，再沿x轴向左(
?
＞0)或向
?
途径二：先周期变换(伸缩 变换)再平移变换.
先将y=sinx的图象上各点的横坐标变为原来的
右(
?＜0)平移
|
?
|
?
举一反三：
个单位，便得
y?sin(
?
x?
?
)
的图象.
?
x
?
?
【变式1】已知函数
y?2sin
??
?
．
?
23
?
（1）作出函数的简图；
（2）指出其振幅、周期、初相、值域．
?
x
?
?
【解析 】（1）
y?2sin
?
?
?

?
23
?
列表：
x
x
?
?

23
2
?
?

3
0
0
?

3
?

2
2
4
?

3
?

0
7
?

3
3
?

2
10
?

3
2
?

0 y
－2
描点画图，如下图所示：

?
2
?
10
?
?
,< br>把
?
?
之间的图象向左、右扩展，即可得到它的简图．
?
3 3
??
（2）振幅为2，周期为4π，初相是
?
，最大值为2，最小值为―2 ，故值域是[―2，2]．
3
?
??
【变式2】如何由函数y=sin x的图象得到函数
y?3sin
?
2x?
?
的图象？
3
??
【解析】 解法一：
y?sinx
向右平移个单位长度< br>3
?????????
?
?
?
将各点的横坐标缩短为原来的< br>2
倍
?
?
y?sin
?
x?
?
?? ??????????y?sin(2x?)
3
?
3
?
1

?
??
将各点的纵坐标伸长为原来的3倍
????????? ???
y?3sin
?
2x?
?
．
3
??
解法二：
y?sinx
1
2
?????? ?????
将各点的横坐标缩短为原来的
y?sin2x
向右平移个单位长度
6
?????????
?

?
?
?
?
?< br>将各点的纵坐标伸长为原来的3倍
?
?
?
?
?
???
y?sin
?
2
?
x?
?
?
?? ??????????y?3sin
?
2
?
x?
?
?
?3sin
?
2x?
?
．
6
?
?
6< br>?
?
3
??
?
?
?
?
【总结升华】 本题用了由函数y=sin x（x∈R）的图象变换到函数
y?Asin(
?
x?< br>?
)
（x∈R）
的两种方法，要注意这两种方法的区别与联系．
类型 二：三角函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的解析式
【高清课堂：正弦型函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的图 象与性质 370634 例3】
例3．已知函数
f(x)?Asin(
?
x?
?
)?k
（
A?0
，
?
?0
，
|
?
|?
是
(2,2)
，最低点为
(8,?4)
，求f (x)的解析式．
【解析】
由题
y
max
?2,y
min
??4

?A?3,k??1

?
2
），在同一周期内的最高点
又< br>x?2
是函数的最大值点，
x?8
是函数的最小值点
?
2< br>?
?
?2?(8?2)?12
，
?
?
?
?< br>6

?2?
?
?
又函数最高点为（2，2），即
?< br>?
?
?
6
?
2

?
6

?y?3sin(x?)?1

66
??
【总结升华】求函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的解析式，
?
值是关 键，最常用的方法是找平衡点
法，即与原点相邻且处于递增部分上的与x轴的交点（x
0
，0），与正弦曲线上（0，0）点对
应，即
?
x
1
?
?
?k
?
?
举一反三：
|
?
|?
【变式1 】已知函数
y?Asin(
?
x?
?
)
（A＞0，ω＞0，
?
2
，选取k值，确定符合条件的k值．
?
2
）的图象的 一个最高点为
(2,22)
，
由这个最高点到相邻最低点，图象与x轴交于点（6，0 ），试求函数的解析式．

【解析】由已知条件知
A?22
，又
∴T=16，
?
?
T
?6?2?4
，
42
?
2
??
?
?
?
??
，∴
y?22sin
?
x?
?
?
．
T168
?
8
?
?
?
?
∵图象过点（6，0），∴
0?22sin< br>?
?6?
?
?
，
?
8
?
∴
3
?
，
?
?
?k
?
（k∈Z）
4
又
|
?
|?
?
2
，∴令k=1可得
?
?
?
4
，
?
? ?
?
∴
y?22sin
?
x?
?
．
4< br>??
8
?
??
【变式2】如下图为正弦函数
y?Asin(< br>?
x?
?
)
?
|
?
|?
?
的一个周期的图象，写出函数的
2
??
解析式．






【解析】由题图知，A=2，T=7―(―1)=8，
?< br>?
2
?
2
??
?
?
?
??
，∴
y?2sin
?
x?
?
?

T84
?
4
?
?
?
?
将点（―1，0）代入，得
0?2si n
?
??
?
?
．
?
4
?
∴?
?
??
??
?
，∴
y?2sin
?
x?
?
．
4
?
4
?
4
类型三：函数y?Asin(
?
x?
?
)
的性质的综合运用
例4． 已知函数
y?Asin(
?
x?
?
),x?R,(其中A?0,?
?0,0?
?
?
邻两个交点之间的距离为
(1)求
f (x)
的解析式；
?
2
)
的图象与
x
轴的交点 中，相
2
?
?
，且图象上的一个最低点为
M(,?2)
.
3
2

?
??
?
(2)当
x?
?
,
?
时，求
f(x)
的值域．
?
122
?
【思路点拨】先由图象上的一个最低点A的值，再由相邻两个交点之间的距离确定?
的
值，最后由点
M
在图象上求得
?
的值，进而得到函 数的解析式；先由
x
的范围，求得
2x?
范围，再求得
f(x)的值域．
2
?
,?2)
，得
A?2

31
?
?
由
x
轴上相邻两个交点之间的距离为，得
T?< br>，即
T?
?

22
2
2
?
2
?
所以
?
???2

T
?
2
?
2
?
4
?
由点
M(,?2)
在图象上，得
2sin (2??
?
)??2
，即
sin(?
?
)??1
，
333
4
?
?
11
?
故
?
?=
2k
?
?,k?z
，所以
?
?2k
?
?(k?z)

326
?
6
的
【解析】（1）由最低点为
M(
又
?
?(0,)
，所以
?
?

26
故
f(x)
的解析式为
f(x)?2sin(2x?)
． < br>6
?
?
?
?
?
?
7
?
??
??
?
（2）因为
x?
?
,
?
，所以2x??
?
,
?

6
?
36
?
?
122
?
当
2x?
?
?
66
2
?
7
??
当
2x?
=，即
x?
时，
f( x)
取得最大值为-1．
662
=，即
x?
?
时，
f(x)
取得最大值为2；
【总结升华】利用三角函数图象与
x
轴的相邻 两个交点之间的距离为三角函数的
1
个最小
2
正周期，去求解参数
?
的值，利用图象的最低点为三角函数最值点，去求解参数A的值等，
在求函数值域时，由定义域 转化成
?
x?
?
的范围，即把
?
x?
?
看 作一个整体．
举一反三：
【变式1】已知函数
y?Asin(
?
x?
?
)(A?0,
?
?0)
的图象过点
P(,0)
，图象上与点
P
最
12
近的一个最高点是
Q(,5)
．
3
（1）求函数的解析式；
（2）求函数
f(x)
的递增区间．
【解析】（1）依题意得：
A?5
，周期
T?4(?)?
?
,
312
?
?
??

?
?
2
?
?2
,故
y?5sin(2x?
?
)
，又图 象过点
P(,0)
，
?
12
?
?5sin(?
?
)?0
，解得：
?
?
?0
，即
?
??
666
?y?5sin(2x?)
．
6
?
?
?
?
（2）由
?
得：
?
?
2
?2k?
?2x?
?
6
?
?
2
?2k
?,k?z

?
6
?k
?
?x?
?
3< br>?k
?
,k?z

?
?
?
?
故函数
f(x)
的递增区间为：
?
??k
?
,?k
??
,k?z
．
3
?
6
?
【变式2】设函数< br>f(x)?Asin(
?
x?
?
)
（A≠0，ω＞0，
|
?
|?
对称，它的周期是π，则（ ）
?
1
? ?
5
?
2
?
?
A．
f(x)
的图象过点< br>?
0,
?
B．
f(x)
在
?
,
?
上是减函数
?
1 23
?
?
2
?
?
5
?
?
C．f(x)
的一个对称中心是
?
,0
?
D．
f(x)
的最大值是A
?
12
?
?
2
）的图象关于直线
x?
2
?
3
【答案】 C
【解析】 ∵周期T=π，∴
2
?
?
?
，又ω＞0，∴ω=2．
|< br>?
|
又∵
f(x)
的图象关于直线
x?
∴
?
?
2
?
2
?
3
?
对称，∴
2?< br>．
?
?
?
332
?
?
???
A< br>?
，∴
f(x)?Asin
?
2x?
?
．∴图象过< br>?
0,
?
．
6
?
6
??
2
?
5
?
?
5
?
时，
2x??
?
，则
f()?0
，
12612
又当
x?
?
5?
?
∴
?
,0
?
是
f(x)
的一个对 称中心．
?
12
?
【总结升华】 与研究其他函数的性质一样，研究函数< br>f(x)?Asin(
?
x?
?
)
（A≠0，ω＞0，
|
?
|?
?
2
）的性质时，往往先画出其图象，并注意各性质之间 的关系．


【巩固练习】

1.已知函数y?Asin(
?
x?
?
)
在一个周期内，当
x?得最小值-2，那么( )
?
12
时，取得最大值2，当
x?< br>7
?
时取
12
1
??
sin(x?) B.y?2sin(2x?)
233

?
x
?
C.y?2sin(2x?) D.y?2sin(?)
626
A.y?
2.如图，已知函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象(部分)，则函数的表达式为( )
10
?
x?
)
116
10
?
B.y=2sin(
x?
)
116
?
C.y=2sin(2x+)
6
?
D.y=2sin(2x-)
6
A.y=2sin(
?
?
?
?
3．把函数
y?sin
?
x?
?
的图象向右平移个单位得到的函数解析式为（ ）
6
?
6
?
?
?
?
???
A．y=sin x B．y=cos x C．
y?sin
?
x?
?
D．
y?cos
?
x?
?

3
?
3
?
?
?
4．函数y=2sin2x的图象可看成是由y=sin x的图象按下列哪种变换得到的？（ ）
A．横坐标不变，纵坐标变为原来的
1
倍
2
1
倍
2
B．纵坐标变为原来的2倍，横坐标变为原来的
C．横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍
D．纵坐标变为原来的
1
倍，横坐标变为原来的2倍
2
?
??
5．已知函数
f(x)?sin
?
?
x?
?
( x?R,
?
?0)
的最小正周期为π，将
y?f(x)
的图象向左平 移
4
??
|
?
|个单位长度，所得图象关于y轴对称，则
?
的一个值是（ ）
A．
3
?
???
B． C． D．
8
248
?
??
6．为得到函数
y?c os
?
x?
?
的图象，只需将函数y=sin x的图象（ ）
3
??
A．向左平移
??
个单位长度 B．向右平移个单位长度
66

C．向左平移
5
?
5
?
个单位长度 D．向右平移个单位长度
66
?
x
?
?
7.函数f(x) ＝2sin
?
?
?
，当f(x)取得最小值时，x的取值集合为( ) < br>?
26
?
A．{x|x＝4kπ－
C．{x|x＝4kπ－
2 2
π，k∈Z} B．{x|x＝4kπ＋π，k∈Z}
33
??
，k∈Z} D．{x|x＝4kπ＋，k∈Z}
33
?
??
8．函数
f(x)?3sin
?
2x?
?
的图象为C，
3
??
①图象C关于直线
x?
y=3s in2x的图象向右平移
11
?
?
5
?
?
?
对称；②函数
f(x)
在区间
?
?,
?
内是增函数；③由
12
?
1212
?
?
个单位长度可以得到图象C．
3
以上三个结论中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
?
?
9．
f(x)?cos(
?
x ?)
的最小正周期为，其中
?
?0
，则
?
?
．
6
5
?
10．将函数y=sin x的图象向左平移个单位，再向上平移 1个单位，得到的图象的函数解析
3
式是________．
11．有下列四种变换方式：
11
??
，再将横坐标变为原来的；②横坐标 变为原来的，再向左平移；③
22
48
11
??
横坐标变为原来的， 再向左平移；④向左平移，再将横坐标变为原来的．
22
48
①向左平移
?
??
其中能将正弦曲线y=sin x的图象变为
y?sin
?
2x?
?
的图象的是________．
4
??
?
??
12．如图是函数
y?Asin(
?
x?
?
)
?
A?0,
?
?0,|
?
|?
?
的图象的一部分，则A=________，
2
??
?=________，
?
=________．

13.函数
y?Asin(
?
x?
?
)?k
当
x?
?
A?0,
?
?0
?
在同一周期内，当< br>x?
5
?
7
时，y有最大值为，
33
11
?
2
时，y有最小值
?
，求此函数的解析式.
33
14．设函数
f(x)?sin(2x?
?
) (?
?
?
?
?0),y?f(x)
图象的一条对称轴是直线
x?
(Ⅰ)求
?
；
(Ⅱ)求函数
y?f(x)
的单调增区间.
15．已知函数
f(x)?2cos(
?
x?)(
?
?0)
的最小正周期为
?
．
3
（1）求
?
的值；
?
??
?
（2）求
f(x)
在
?
?,
?上的取值范围．
?
44
?
?
8
.
?

【答案与解析】
1.【答案】B
【解析】A=2，
2. 【答案】C
3．【答案】C
T
?< br>?
?
??
?
?2
，代入点(，2)得到
?
? .

12
223
?
?
向右平移
6
???
?
????
【解析】
y?sin
?
x?
?< br>?????y?sin
?
x??
?
?sin
?
x?< br>?
．
6
?
66
?
3
????
4．【答案】B
周期变小振幅变大
【解析】
y?sinx?????y?2sin2x
． < br>1
?y?sin2x????
纵坐标2倍
横坐标
2
?
5．【答案】D
【解析】由T=π
?
ω=2，
?
?
向左平移|
?
|
?
?
?
????
f(x)?sin
?
2x?
?
??????y?sin
?
2(x?
?
)?
?
?sin
?
2x?2
?
?
?
，
4
?
4
?
4
????
2
?
?
?
4
?k
?
?
?
2
(k?Z)
．∴
?
?
k
??
?
?
，当k=0时，
?< br>?
．
288
6．【答案】C
?
?
?
?
5
???
?
?
【解析】
y?cos
?
x ?
?
?sin
?
?x?
?
?sin
?
x?
?
?
．
3
?
3
?
6
???
2
?
7. 【答案】A

8. 【答案】C
【解析】对于①，当
x?
x?
?
?
11
?
11
??
11
?
时，
f
?
?
?
?3sin
?
2??
?
?
??3
，因此图象C关于直线
3
?
12
?
12
??
12
11
???
?
5
?
，k∈Z，令k=0，
?
对称；对于②，由
2k
?
?2x ??2k
?
?
得
k
?
??x?k
?
?122321212
?
?
?
5
?
?
得函数f(x)
在区间
?
?,
?
内是增函数；对于③，由y=3sin 2x的图象向右平移个单位长
3
?
1212
?
2
??
度可以得到
y?3sin
?
2x?
?
?
，故①②正确；③ 不正确．
3
??
9．【答案】10
?
??
10．【答案 】
y?sin
?
x?
?
?1

3
??
?
??
上移1
3
?y?sin
?
x?
?< br>?
????y?sinx?
【解析】
y?sinx???
?????1
．
3
?
3
???
左移
?
11．【答案】①② < br>【解析】对于①，
y?sinx
4
????
左移
?
?
?
周期变为
2
?
???
y?sin
?
x?
?
?????y?sin
?
2x?
?
，故①正确；
4
?
4
???
左移
1
对于②，
y
确．
1
周期变为
2
?y?sinx????
2
?y?sin?
2
?
x?
?
?
?
?sin
?
2x?
?
?
，
?sin2x???
?
?
??故②正
?
?
8
?
?
4
??
?
?
?
12．【答案】2 2
?

3
15
???
【解析】由图象最高点及最低点的纵坐标可知A=2．由图象可得半周期
T???
，所
2632
以
T?
?
?
|
?
|?2
?
?
，ω=2，所以
y?2sin(2x?
?
)，当
x?
?
?
2
?
?
?
?
?
?0
，又因为时，y=0，即
2sin
?
3
?
3< br>?
．
3
31
?
5
13. 【答案】
y?sin(x?)?

2236
2
?
，所以?
?
?
【解析】∵函数
y?Asin(
?
x?
?
)?k(A?0,
?
?0)

当
x?
5
?
711
?
2
时，y取最大值，当x=时，y取最小值
?

3333

72
?
735
3
∴可知 A=
33
?
，
k???

326
22
11
?
5
?
周期
T?2?(?)?4
?

33
2
?
1
故
?
??

4?
2
3x55
?
?
得到：
y?sin(?
?< br>)?
，将
x?
代入，得
?
??

22633
31
?
5
得到
y?sin(x?)?
．
2236

14． 【解析】(Ⅰ)
?x?
?
?
8
是函数y?f(x)
的图象的对称轴，
?sin(2?
3
?
.

4
?
8
?
?
)??1,

?
4< br>?
?
?k
?
?
?
2
,k?Z.

??
?
?
?
?0,
?
??
3
?< br>3
?
,因此y?sin(2x?).

44
?
3??
?
5
?
由题意得：
2k
?
??2x??2 k
?
?,k?Z
，
?k
?
??x?k
?
? ,k?Z

24288
?
5
?
3
?
所以函 数
y?sin(2x?)
的单调增区间为
[k
?
?,k
?< br>?],k?Z.

88
4
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
?
??< br>15．【解析】（1）
?
?2

?
（2）
f(x)?
?
?
?3,2
?
．