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高一数学抽象函数的周期与对称轴人教版知识点分析

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-22 10:20
tags:高中数学的知识点

高中数学组题卷-高中数学尖子生题库

2020年9月22日发(作者:陶大钊)


高一数学抽象函数的周期与对称轴人教版
【本讲教育信息】
一. 教学内容:
抽象函数的周期与对称轴

二. 教学重、难点
重点:抽象函数周期与对称轴的相关结论。
难点:结论的推导证明,利用结论解决问题。

三. 具体内容
1. 若
f(x)?f(x?T)

f(x)
的周期为T。
2. 若f(x?a)?f(b?x)

f(x)
的周期为
T?b?a

证:令
x?x?a

f(x)?f(x?b?a)

3.
f(x?a)??f(x?b)

f(x)
的周期
T ?2b?a

证:令
x?x?a

f(x)??f(x?b?a)


x?x?b

f(x?a?b)??f(x)

由①②得:
?f[x?(a?b)]??f[x?(b?a)]


f[x?(a?b)]?f[x?(b?a)]

T?2b?a

a?b

2
a?ba?b
证:要证原结论成立,只需证
f( ?x)?f(?x)

22
b?a

x??x
代入
f(a?x)?f(b?x)

2
a?ba?b

f(?x)?f(?x)

22
a?b
5. 若
f(a?x)??f(b?x)

f( x)
的图象,以
(,0)
为对称中心。
2
4. 若
f(a ?x)?f(b?x)

f(x)
图象的对称轴为
x?
证:
方法一:要证原结论成立只需证
f(

x?x?
a?b
2
?x)??f(
a?b
2
?x)

b?a
代入
f(a?x)??f(b?x)

2


f(
a?ba?b
?x)??f(?x)

22
方法二:设
y?f(x)
它的图象为C
?P(x
0
,y
0
)?C
则P关于点
(
a?b
,0)
的对称点
P
?
(a?b?x
0
,?y
0
)

2

f(a?b?x
0
) ?f[a?(b?x
0
)]??f[b?(b?x
0
)]??f(x
0
)


f(x
0
)?y
0

f(a?b?x
0
)??y
0

P
?
?C


【典型例题】
[例1] 对于
y?f(x)

x?R
有下列命题。
(1)在同一坐标系下, 函数
y?f(1?x)

y?f(1?x)
的图象关于直线
x?1< br>对称。
(2)若
f(1?x)?f(1?x)

f(2?x)?f( 2?x)
均成立,则
f(x)
为偶函数。
(3)若
f(x?1)? f(x?1)
恒成立,则
y?f(x)
为周期函数。
(4)若
f( x)
为单调增函数,则
y?f(a)

a?0

a?1)也为单调增函数,其中
正确的为?
解:(2)(3)

[例2] 若函数
f(x)?(x?a)
?x?R

f(1?x)??f(1?x)
f(2)?f(?2)

解:
3
x
?x?R
f(1?x)??f(1?x)

f(x)
的图象关于
(1, 0)
对称

f(x)?(x?a)
的对称中心
P(?a,0)

a??1


f(x)?(x?1)

f(2)?f(?2)?1?(?3)??26


[例3] 设
f(x)
是定义在R上的函数,
?x?R
均 有
f(x)?f(x?2)?0

?1?x?1

33
3< br>f(x)?2x?1
,求当
1?x?3
时,
f(x)
的解析式 。
解:由
?x?R

f(x)??f(x?2)

T?4


x?(1,3]

(x?2)?(?1,1]

f(x?2)?f(x?2?4)?f(x?2)??f(x)



f(x)??f(x?2)??[2(x?2)?1]??2x?5


1?x?3

f(x)??2x?5


[例4] 已知< br>f(x)
是定义在R上的函数且满足
f(x)?f(x?1)?1
,当
x?[0,1]
时有
f(x)?x
2

(1)
f(x)
是周期函数且周期为2
(2)当
x?[1,2]
时,
f(x)?2x?x

(3)
f(?2004,5)?
解:(1)(2)(3)

[例5] 已知
f(x)
满足
f(x?2)?f(x?2)

f(4?x)?f(4?x)
,当
?6?x??2
时,
2
3
其中正确的是?
4
bc
f(x)?x
2
?bx?c
且< br>f(?4)??13
,若
m?f()

n?f()

p?f(11)

m

n

p
32
的大小 关系?
解:由已知得
T?4
,对称轴
x?4

x??4
也为一条对称轴
b4c?64
??4

b?8

f(?4)??13

??13

c?3

24
8
3

m?f()

n?f()

p?f(11)?f(3)

n?m?p

2
3

?

[例6] 定义在R上的函数
f(x)
既是偶函数又是周期函数,若
f(x)
的最小正周期是
?
,且

x?[0,
?
5
]
时,
f(x)?sinx

f(
?
)
的值。 < br>23
5
3
2
3
2
3
解:
f(
?
)?f(
?
?
?
)?f(
?
)?f(?

???
3
)?f()?sin?

3332
[例7] 设
y?f(x)
定义在R上,
?m,n?R

f(m?n)?f(m )?f(n)
且当
x?0
时,
0?f(x)?1

(1)求 证:
f(0)?1
且当
x?0
时,
f(x)?1

(2)求证:
f(x)
在R上递减。


解:
(1) 在
f(m?n)?f(m)?f(n)
中,令
m?1

n?0

f(1)?f(1)f(0)


0?f(1)?1

f(0)?1


x?0
,则
?x?0

m?x

n??x
代入条 件式

f(0)?f(x)f(?x)

f(0)?1

f(x)?
1
?1

f(?x)
(2)设
x
1
?x
2

x
2
?x
1
?0

0?f(x
2
?x
1
)?1

令< br>m?x
1

m?n?x
2

n?x
2
?x
1
代入条件式得
f(x
2
)?f(x
1
)f (x
2
?x
1
)

0?

f(x
2
)
?1

f(x
2
)?f(x
1
)

f(x)
在R上递减
f(x
1
)
【模拟试题】
一. 选择
1. 已知
f(x)
满足
f(x?3)?f(x)
x?R

f(x)
是奇函数,若
f(1)?2
f(2000)?
( )
A.
2
B.
?2
C.
3?2
D.
3?2

2. 已知
f(x)
是定义在R上的偶函数,且
f(x?4)?f(x)对任何实数均成立,当
0?x?2
时,
f(x)?x
,当
398 ?x?400
时,
f(x)?
( )
A.
x?400
B.
x?398
C.
400?x
D.
398?x

3. 若函数
f( x)?3sin(
?
x?
?
)

?x?R
都有f(
( )
A. 0 B. 3 C.
?3
D. 3或
?3

4. 函数
y?cos(
?
?2x)
是( )
A. 周期为
2
?
的奇函数
C. 周期为
?
的奇函数


B. 周期为
?
的偶函数
D. 周期为
4
?
的奇函数
?
6
?x)?f(
?
?x)

f()
等于
66
?
3
2
5.
f(x)?2sin(2x?
?
)
的图象关于y轴对称的充要条件是( )
A.
?
?2k
?
?
?
2
B.
?
?2k
?
?
?
C.
?
?k
?
?
?
2
D.
?
?k
?
?
?

6. 如果
f(x??
)?f(?x)

f(x)?f(?x)

f(x)
可以是( )


A.
sin2x
B.
cosx
C.
sinx
D.
sinx

7.
y?sin(x?
?
)?3cos(x?
?
)
为偶函数的充要条件是( )
A.
?
?2k
?
?
?
3
B.
?
?k
?
?
?
6
C.
?
?2k
?
?
?
6
D.
?
?k
?
?
?
6

8. 设
f( x)
是R上的奇函数,
f(x?2)??f(x)

0?x?1
时,
f(x)?x
,则
f(7.5)?
( )
A. 0.5 B.
?0.5
C. 1.5 D.
?1.5

9. 设
f(x)?x?bx?c

?x?t

f(2?t )?f(2?t)
那么( )
A.
f(2)?f(1)?f(4)
B.
f(1)?f(2)?f(4)

C.
f(2)?f(4)?f(1)
D.
f(4)?f(2)?f(1)

2
10.
y?f(x)
定义在R上,则
y?f(x?1)

y?f(1?x)
的图象关于( )
A.
y?0
对称 B.
x?0
对称 C.
y?1
对称 D.
x?1
对称

二. 填空
1.
f(x)
是R 上的奇函数,且
f(x?2
?
)?f(x)
,则
f(
?)?f(2
?
)?f(3
?
)

???f(2003
?
)
?

2. 函数
y?sin(2x?
?
3
)
的图象的对称轴中最靠近y轴的是 。
3.
f(x)
为奇函数,且当
x?0
时,
f(x)? xx?2
则当
x?0

f(x)?

4. 偶函数
f(x)
的定义域为R,且在
(??,0)
上是增函数,则
3
4
3
(2)
f(?)?f(a
2
?a?1)

4
3
(3)
f(?)?f(a
2
?a?1)
4
3
(4)
f(?)?f(a
2
?a?1)
中正确的是 。
4
(1)
f(?)?f(a
2
?a?1)


三. 解答题
1. 设
f(x)
是定义在R上的偶函数,图象关于
x?1
对称,
?x
1

x
2
?[0,
1< br>]
都有
2


f(x
1
?x
2
) ?f(x
1
)f(x
2
)

f(1)?a?0

(1)求
f()

f()

(2)证明:
f(x)
是周期函数
2. 如果函数
y?f(x)< br>的图象关于
x?a

x?b(a?b)
都对称,证明这个函数满足1
2
1
4
f[2(a?b)?x]?f(x)

3. 已知
f(x)?x?bx?c
对任意实数t都有
f(1?t)?f(1?t)
,比较
f()

f(2)

大小。
4. 定义在实数集上 的函数
f(x)
,对一切实数x都有
f(1?x)?f(2?x)
成立,若方 程
2
1
2
f(x)?0
仅有101个不同实根,求所有实根之和。





试题答案

一.
1. B 2. C 3. D 4. C 5. C 6. D 7. B 8. B
9. A 10. D

二.
1. 0 2.
x?

三.
1.
解:
(1)∵
?x
1
,x
2
?[0,
?
12
3.
xx?2
4.(2)
1
]
都有
f(x< br>1
?x
2
)?f(x
1
)?f(x
2
)
2
xx

f(x)?f()?f()?0

x?[0,1]

22
11111

f(1)?f(?)?f()?f()?[f()]
2

22222
1
1111

f()?a
2

f()?f(?)?[f()]
2

2
2444
1

f()?a
4

41
1
(2)由已知
f(x)
关于
x?1
对称

f(x)?f(1?1?x)

f(x)?f(2?x)

x? R

又由
f(x)
是偶函数知
f(?x)?f(x)

x?R


f(?x)?f(2?x)

x?R
将上式中
?x

x
代换得
f(x)?f(x?2)


f(x)
是R上的周期函数,且2是它的一个周期
2.
证:∵
f(x)
关于
x?a

x?b
对称 ∴
f(x)?f(2a?x)

f(x)?f(2b?x)


f(2a?x)?f(2b?x)

2b?x?A
,则
2a?x ?2(a?b)?A


f[2(a?b)?A]?f(A)

f[2(a?b)?x]?f(x)

3.
解:由
f(1?t)?f(1?t)
知抛物线
f(x)?x ?bx?c
的对称轴是1
2



f()?f()< br>而
2?
1
2
3
2
3

2
3
2
1
2
根据
f(x)
(1,??)
上是增函数得
f(2)?f()

f(2)?f()

4.
解:设
u?2?x

x?2?u

f(u)?f(3?u)


?x?R

f(x)?f(3?x)
∴ 所有实根之和为
101?
注:
一个结论:设
y?f(x)

?x?R
都有
f(x)?f(2a?x)

f(x)?0
有k个实 根
3303

?
22
(k?2)
,则所有实根之和为
ka

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