高中数学组题卷-高中数学尖子生题库
高一数学抽象函数的周期与对称轴人教版
【本讲教育信息】
一.
教学内容:
抽象函数的周期与对称轴
二. 教学重、难点
重点:抽象函数周期与对称轴的相关结论。
难点:结论的推导证明,利用结论解决问题。
三. 具体内容
1.
若
f(x)?f(x?T)
则
f(x)
的周期为T。
2. 若f(x?a)?f(b?x)
则
f(x)
的周期为
T?b?a
证:令
x?x?a
∴
f(x)?f(x?b?a)
3.
f(x?a)??f(x?b)
则
f(x)
的周期
T
?2b?a
证:令
x?x?a
∴
f(x)??f(x?b?a)
①
令
x?x?b
∴
f(x?a?b)??f(x)
②
由①②得:
?f[x?(a?b)]??f[x?(b?a)]
∴
f[x?(a?b)]?f[x?(b?a)]
∴
T?2b?a
a?b
2
a?ba?b
证:要证原结论成立,只需证
f(
?x)?f(?x)
22
b?a
令
x??x
代入
f(a?x)?f(b?x)
2
a?ba?b
则
f(?x)?f(?x)
22
a?b
5. 若
f(a?x)??f(b?x)
则
f(
x)
的图象,以
(,0)
为对称中心。
2
4. 若
f(a
?x)?f(b?x)
则
f(x)
图象的对称轴为
x?
证:
方法一:要证原结论成立只需证
f(
令
x?x?
a?b
2
?x)??f(
a?b
2
?x)
b?a
代入
f(a?x)??f(b?x)
2
则
f(
a?ba?b
?x)??f(?x)
22
方法二:设
y?f(x)
它的图象为C
?P(x
0
,y
0
)?C
则P关于点
(
a?b
,0)
的对称点
P
?
(a?b?x
0
,?y
0
)
2
f(a?b?x
0
)
?f[a?(b?x
0
)]??f[b?(b?x
0
)]??f(x
0
)
∵
f(x
0
)?y
0
∴
f(a?b?x
0
)??y
0
∴
P
?
?C
【典型例题】
[例1]
对于
y?f(x)
,
x?R
有下列命题。
(1)在同一坐标系下,
函数
y?f(1?x)
与
y?f(1?x)
的图象关于直线
x?1<
br>对称。
(2)若
f(1?x)?f(1?x)
且
f(2?x)?f(
2?x)
均成立,则
f(x)
为偶函数。
(3)若
f(x?1)?
f(x?1)
恒成立,则
y?f(x)
为周期函数。
(4)若
f(
x)
为单调增函数,则
y?f(a)
(
a?0
且
a?1)也为单调增函数,其中
正确的为?
解:(2)(3)
[例2]
若函数
f(x)?(x?a)
?x?R
有
f(1?x)??f(1?x)求
f(2)?f(?2)
。
解:
3
x
?x?R,
f(1?x)??f(1?x)
知
f(x)
的图象关于
(1,
0)
对称
而
f(x)?(x?a)
的对称中心
P(?a,0)
∴
a??1
∴
f(x)?(x?1)
则
f(2)?f(?2)?1?(?3)??26
[例3] 设
f(x)
是定义在R上的函数,
?x?R
均
有
f(x)?f(x?2)?0
当
?1?x?1
时
33
3<
br>f(x)?2x?1
,求当
1?x?3
时,
f(x)
的解析式
。
解:由
?x?R
有
f(x)??f(x?2)
得
T?4
设
x?(1,3]
则
(x?2)?(?1,1]
f(x?2)?f(x?2?4)?f(x?2)??f(x)
∴
f(x)??f(x?2)??[2(x?2)?1]??2x?5
∴
1?x?3
时
f(x)??2x?5
[例4] 已知<
br>f(x)
是定义在R上的函数且满足
f(x)?f(x?1)?1
,当
x?[0,1]
时有
f(x)?x
2
则
(1)
f(x)
是周期函数且周期为2
(2)当
x?[1,2]
时,
f(x)?2x?x
(3)
f(?2004,5)?
解:(1)(2)(3)
[例5] 已知
f(x)
满足
f(x?2)?f(x?2)
,
f(4?x)?f(4?x)
,当
?6?x??2
时,
2
3
其中正确的是?
4
bc
f(x)?x
2
?bx?c
且<
br>f(?4)??13
,若
m?f()
,
n?f()
,
p?f(11)
求
m
、
n
、
p
32
的大小
关系?
解:由已知得
T?4
,对称轴
x?4
∴
x??4
也为一条对称轴
b4c?64
??4
∴
b?8
由
f(?4)??13
∴
??13
∴
c?3
24
8
3
∴
m?f()
,
n?f()
,
p?f(11)?f(3)
∴
n?m?p
2
3
∴
?
[例6] 定义在R上的函数
f(x)
既是偶函数又是周期函数,若
f(x)
的最小正周期是
?
,且
当
x?[0,
?
5
]
时,
f(x)?sinx
求
f(
?
)
的值。 <
br>23
5
3
2
3
2
3
解:
f(
?
)?f(
?
?
?
)?f(
?
)?f(?
???
3
)?f()?sin?
3332
[例7]
设
y?f(x)
定义在R上,
?m,n?R
有
f(m?n)?f(m
)?f(n)
且当
x?0
时,
0?f(x)?1
(1)求
证:
f(0)?1
且当
x?0
时,
f(x)?1
(2)求证:
f(x)
在R上递减。
解:
(1)
在
f(m?n)?f(m)?f(n)
中,令
m?1
,
n?0
得
f(1)?f(1)f(0)
∵
0?f(1)?1
∴
f(0)?1
设
x?0
,则
?x?0
令
m?x
,
n??x
代入条
件式
有
f(0)?f(x)f(?x)
而
f(0)?1
∴
f(x)?
1
?1
f(?x)
(2)设
x
1
?x
2
则
x
2
?x
1
?0
∴
0?f(x
2
?x
1
)?1
令<
br>m?x
1
,
m?n?x
2
则
n?x
2
?x
1
代入条件式得
f(x
2
)?f(x
1
)f
(x
2
?x
1
)
即
0?
f(x
2
)
?1
∴
f(x
2
)?f(x
1
)
∴
f(x)
在R上递减
f(x
1
)
【模拟试题】
一. 选择
1. 已知
f(x)
满足
f(x?3)?f(x),
x?R
且
f(x)
是奇函数,若
f(1)?2
则f(2000)?
( )
A.
2
B.
?2
C.
3?2
D.
3?2
2. 已知
f(x)
是定义在R上的偶函数,且
f(x?4)?f(x)对任何实数均成立,当
0?x?2
时,
f(x)?x
,当
398
?x?400
时,
f(x)?
( )
A.
x?400
B.
x?398
C.
400?x
D.
398?x
3. 若函数
f(
x)?3sin(
?
x?
?
)
,
?x?R
都有f(
( )
A. 0 B. 3 C.
?3
D. 3或
?3
4.
函数
y?cos(
?
?2x)
是( )
A.
周期为
2
?
的奇函数
C. 周期为
?
的奇函数
B. 周期为
?
的偶函数
D.
周期为
4
?
的奇函数
?
6
?x)?f(
?
?x)
则
f()
等于
66
?
3
2
5.
f(x)?2sin(2x?
?
)
的图象关于y轴对称的充要条件是(
)
A.
?
?2k
?
?
?
2
B.
?
?2k
?
?
?
C.
?
?k
?
?
?
2
D.
?
?k
?
?
?
6. 如果
f(x??
)?f(?x)
且
f(x)?f(?x)
则
f(x)
可以是( )
A.
sin2x
B.
cosx
C.
sinx
D.
sinx
7.
y?sin(x?
?
)?3cos(x?
?
)
为偶函数的充要条件是( )
A.
?
?2k
?
?
?
3
B.
?
?k
?
?
?
6
C.
?
?2k
?
?
?
6
D.
?
?k
?
?
?
6
8. 设
f(
x)
是R上的奇函数,
f(x?2)??f(x)
当
0?x?1
时,
f(x)?x
,则
f(7.5)?
( )
A. 0.5
B.
?0.5
C. 1.5 D.
?1.5
9. 设
f(x)?x?bx?c
,
?x?t
有
f(2?t
)?f(2?t)
那么( )
A.
f(2)?f(1)?f(4)
B.
f(1)?f(2)?f(4)
C.
f(2)?f(4)?f(1)
D.
f(4)?f(2)?f(1)
2
10.
y?f(x)
定义在R上,则
y?f(x?1)
与
y?f(1?x)
的图象关于( )
A.
y?0
对称
B.
x?0
对称 C.
y?1
对称 D.
x?1
对称
二. 填空
1.
f(x)
是R
上的奇函数,且
f(x?2
?
)?f(x)
,则
f(
?)?f(2
?
)?f(3
?
)
???f(2003
?
)
?
。
2.
函数
y?sin(2x?
?
3
)
的图象的对称轴中最靠近y轴的是
。
3.
f(x)
为奇函数,且当
x?0
时,
f(x)?
xx?2
则当
x?0
时
f(x)?
。
4.
偶函数
f(x)
的定义域为R,且在
(??,0)
上是增函数,则
3
4
3
(2)
f(?)?f(a
2
?a?1)
4
3
(3)
f(?)?f(a
2
?a?1)
4
3
(4)
f(?)?f(a
2
?a?1)
中正确的是
。
4
(1)
f(?)?f(a
2
?a?1)
三. 解答题
1. 设
f(x)
是定义在R上的偶函数,图象关于
x?1
对称,
?x
1
、
x
2
?[0,
1<
br>]
都有
2
f(x
1
?x
2
)
?f(x
1
)f(x
2
)
且
f(1)?a?0
(1)求
f()
、
f()
(2)证明:
f(x)
是周期函数
2. 如果函数
y?f(x)<
br>的图象关于
x?a
和
x?b(a?b)
都对称,证明这个函数满足1
2
1
4
f[2(a?b)?x]?f(x)
3.
已知
f(x)?x?bx?c
对任意实数t都有
f(1?t)?f(1?t)
,比较
f()
与
f(2)
的
大小。
4. 定义在实数集上
的函数
f(x)
,对一切实数x都有
f(1?x)?f(2?x)
成立,若方
程
2
1
2
f(x)?0
仅有101个不同实根,求所有实根之和。
试题答案
一.
1. B 2. C 3. D 4. C
5. C 6. D 7. B 8. B
9. A 10. D
二.
1. 0 2.
x?
三.
1.
解:
(1)∵
?x
1
,x
2
?[0,
?
12
3.
xx?2
4.(2)
1
]
都有
f(x<
br>1
?x
2
)?f(x
1
)?f(x
2
)
2
xx
∴
f(x)?f()?f()?0
x?[0,1]
22
11111
∵
f(1)?f(?)?f()?f()?[f()]
2
22222
1
1111
∵
f()?a
2
,
f()?f(?)?[f()]
2
2
2444
1
∴
f()?a
4
41
1
(2)由已知
f(x)
关于
x?1
对称
∴
f(x)?f(1?1?x)
即
f(x)?f(2?x)
,
x?
R
又由
f(x)
是偶函数知
f(?x)?f(x)
,
x?R
∴
f(?x)?f(2?x)
,
x?R
将上式中
?x
以
x
代换得
f(x)?f(x?2)
∴
f(x)
是R上的周期函数,且2是它的一个周期
2.
证:∵
f(x)
关于
x?a
和
x?b
对称 ∴
f(x)?f(2a?x)
,
f(x)?f(2b?x)
∴
f(2a?x)?f(2b?x)
令
2b?x?A
,则
2a?x
?2(a?b)?A
∴
f[2(a?b)?A]?f(A)
即
f[2(a?b)?x]?f(x)
3.
解:由
f(1?t)?f(1?t)
知抛物线
f(x)?x
?bx?c
的对称轴是1
2
∴
f()?f()<
br>而
2?
1
2
3
2
3
2
3
2
1
2
根据
f(x)
在(1,??)
上是增函数得
f(2)?f()
即
f(2)?f()
4.
解:设
u?2?x
即
x?2?u
∴
f(u)?f(3?u)
∴
?x?R
有
f(x)?f(3?x)
∴
所有实根之和为
101?
注:
一个结论:设
y?f(x)
,
?x?R
都有
f(x)?f(2a?x)
且
f(x)?0
有k个实
根
3303
?
22
(k?2)
,则所有实根之和为
ka