【精品】高中数学 必修2_圆的方程_讲义 知识点讲解+巩固练习(含答案)基础

圆的方程
【学习目标】
1.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心 、半径的具体条件准确地写出圆的标准
方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简 单的实际问题，并会推导
圆的标准方程.
2.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化 为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和
半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．
【要点梳理】
【高清课堂：圆的方程370891 知识要点】
要点一：圆的标准方程
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
，其中
?
a，b
?
为圆心，
r
为半径.
要点诠释：
(1)如果圆心在坐标原点，这时
a?0，b?0
，圆的方程就 是
x
2
?y
2
?r
2
.有关图形特征与
方 程的转化：如：圆心在x轴上：b=0；圆与y轴相切时：
|a|?r
；圆与x轴相切时：|b|?r
；
与坐标轴相切时：
|a|?|b|?r
；过原点：
a
2
?b
2
?r
2

(2)圆的标准方程
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
?
圆心为?
a，b
?
，半径为
r
，它显现了圆的几何特
点. < br>(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方
程，只 需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.
要点二：点和圆的位置关系
如果圆的标准方程为
(x?a)
2
?( y?b)
2
?r
2
，圆心为
C
?
a，b
?
，半径为
r
，则有
(1)若点
M
?
x
0
，y
0
?
在圆上
?|CM|?r?
?
x
0
?a
?
?
?
y
0
?b
?
?r2

(2)若点
M
?
x
0
，y
0?
在圆外
?|CM|?r?
?
x
0
?a
??
?
y
0
?b
?
?r
2

( 3)若点
M
?
x
0
，y
0
?
在圆内
?|CM|?r?
?
x
0
?a
?
?
?
y
0
?b
?
?r
2

要点三：圆的一般方程
?
DE
?
当
D
2
?E
2
?4F?0时，方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
叫做圆的一 般方程.
?
?,?
?
为圆
2
??
2
22< br>22
22

心，
1
D
2
?E
2
?4F
为半径.
2
要点诠释：
D
??
E
?
D
2
?E
2
?4F
?
22
由方程x?y?Dx?Ey?F?0
得
?
x?
?
?
?
y?
?
?

224
????
(1)当
D
2
?E
2
?4F?0
时，方程只有实数解
x??
DEDE,y??
.它表示一个点
(?,?)
.
2222
22
(2)当
D
2
?E
2
?4F?0
时，方程没有实数解，因而 它不表示任何图形．
1
?
DE
?
(3)当
D
2< br>?E
2
?4F?0
时，可以看出方程表示以
?
?,?
?
为圆心，
D
2
?E
2
?4F
为半
2?
2
?
2
径的圆.
要点四：几种特殊位置的圆的方程
条件
标准方程
圆心在原点
过原点
圆心在x轴上
圆心在y轴上
方程形式
一般方程
x
2
?y
2
?r
2
?
r?0
?

(x?a)
2
?(y?b)
2
?a
2
?b
2

x
2< br>?y
2
?r
2
?0
?
r?0
?

x
2
?y
2
?Dx?Ey?0

x
2
?y
2
?Dx?F?0

x
2
?y
2
?Ey?F?0

x
2
?y
2
?Dx?0

x
2
?y
2
?Ey?0

x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0

(x?a)< br>2
?y
2
?r
2
?
r?0
?
x
2
?(y?b)
2
?r
2
?
r?0
?

222
圆心在x轴上且过原点
(x?a)?y?a
?
a?0
?

圆心在y轴上且过原点
x
2
?(y?b)
2
?b
2
?
b?0?

与x轴相切
(x?a)
2
?(y?b)
2
?b
2

?
D
?
E
2
?4F?0
?

x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0

与y轴相切
(x?a)
2
?(y?b)
2
?a
2

2
?4F?0
?

要点五：用待定系数法求圆的方程的步骤
求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程.
(2)根据已知条件，建立关于
a、b、r
或
D、E、F
的方程组.

(3)解方程组，求出
a、b、r
或
D、E、F
的值 ，并把它们代入所设的方程中去，就得到所
求圆的方程.
要点六：轨迹方程
求符合 某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”
将其转化为关于变量< br>x,y
之间的方程．
1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当 动点满足的条件符合某
一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的 动点运动
时，可采用代入法（或称相关点法）．
2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨 迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件
的点或线等．
3．求轨迹方程的步骤：
（1）建立适当的直角坐标系，用
(x,y)
表示轨迹（曲线）上任一点
M
的坐标；
（2）列出关于
x,y
的方程；
（3）把方程化为最简形式；
（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；
（5）作答．
【典型例题】
类型一：圆的标准方程
例1．求满足下列条件的各圆的方程：
（1）圆心在原点，半径是3；
（2）圆心在点C（3，4）上，半径是
5
；
（3）经过点P（5，1），圆心在点C（8，―3）上．
【思路点拨】根据题设条件，可利用圆的标准方程解决．
【答案】（1）x
2
+y
2
=9 （2）(x―3)
2+(y―4)
2
=5（3）(x―8)
2
+(y+3)
2
=25
【解析】
（1）x
2
+y
2
=9；
（2）(x―3)
2
+(y―4)
2
=5；
（3）解法一 ：∵圆的半径
r?|CP|?(5?8)
2
?(1?3)
2
?5，圆心在点C（8，―3）．
∴圆的方程是(x―8)
2
+(y+3)
2
=25．

解法二：∵圆心为C（8，―3），故设圆的方程为(x―8)
2
+(y+3)2
=r
2
．
又∵点P（5，1）在圆上，∴(5―8)
2+(1+3)
2
=r
2
，∴r
2
=25，
∴所求圆的方程是(x―8)
2
+(y+3)
2
=25．
【总结升华】 确定圆的标准方程只需确定圆心的坐标和圆的半径即可，因此圆心和半
径被称为圆的两要素．
确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直
接求出圆心 （a，b）和半径r，一般步骤为：
（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为(x―a)
2
+(y―b)
2
=r
2
；
（2）根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；
（3）解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方
程．
举一反三：
【变式1】圆心是（4，―1），且过点（5，2）的圆的标准方程是（ ）
A．(x―4)
2
+(y+1)
2
=10 B．(x+4)
2
+(y―1)
2
=10
C．(x―4)
2
+(y+1)
2
=100 D．
(x?4)
2
?(y?1)
2
?10

【答案】A
例2．写出下列方程表示的圆的圆心和半径．
（1）x
2
+y
2
=2；
（2）(x―3)
2
+y
2
=a
2
（a≠0）；
（3）(x+2)
2
+(y+1)
2
=b
2
（b≠ 0）．
【答案】（1）（0，0），
2
（2）（3，0），|a|（3）（―2，― 1），|b|
【解析】 （1）圆心（0，0），半径为
2
；
（2）圆心（3，0），半径为|a|；
（3）圆心（―2，―1），半径为|b|． 【总结升华】（2）、（3）两题中a
2
、b
2
仅为半径的平方，没有给 定a＞0，b＞0，∴半径r=|a|、
|b|．
例3．求圆心在直线y=―x上，且过两点A（2，0），B（0，―4）的圆的方程．
【思 路点拨】先写出线段AB的中垂线方程，然后求出中垂线与直线y=―x的交点，这
个点就是圆心，进一 步求出圆的方程。
【答案】(x―3)
2
+(y+3)
2
=10

1
【解析】 由于圆过A、B两点，所以圆心在AB的中垂线
y?2 ??(x?1)
上，即
2
13
．
y??x?
，又圆心在直 线y=―x上，故圆心为（3，―3）
22
于是半径
r?(3?2)
2
?(?3?0)
2
?10
．
故所求的圆的方程为(x―3)
2
+(y+3)
2
=10．
【总结升华】 求圆的标准方程的关键是求圆的坐标和圆的半径，这就需要充分挖掘题
目中所 给的几何条件，并充分利用平面几何中的有关知识求解，如“若圆经过某两点，则圆
心必在这两点连线的 中垂线上”等．
举一反三：
【变式1】求圆心在直线x―2y―3=0上，且过点A（2， ―3），B（―2，―5）的圆的标
准方程．
【答案】 (x+1)
2
+(y+2)
2
=10
【解析】设圆的标准方程为< br>?
x?a
?
?(y?b)
2
?r
2
，则 < br>?
a?2b?3?0
?
2
?
22
2
?
?
2?a
?
?(?3?b)?r
解得：
a??1,b??2,r? 10

?
2
?2?a?(?5?b)
2
?r
2??
?
?
2
所以所求圆的标准方程是：(x+1)
2
+ (y+2)
2
=10．
类型二：圆的一般方程
例4．下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．
（1）2x
2
+y
2
―7y+5=0；
（2）x
2
―xy+y
2
+6x+7y=0；
（3）x
2
+y
2
―2x―4y+10=0；
（4）2x
2
+2y
2
―5x=0．
?
5
?
5
【答案】（1）不能表示圆（2）不能表示圆（3）不能表示圆（4）表示圆
?
,0
?

?
4
?
4
【解析】 （1）∵方程2x
2
+y
2
―7y+5=0中x
2
与y2
的系数不相同，∴它不能表示圆．
（2）∵方程x
2
―xy+y2
+6x+7y=0中含有xy这样的项，∴它不能表示圆．
（3）方程x
2< br>+y
2
―2x―4y+10=0化为(x―1)
2
+(y―2)
2
=―5，∴它不能表示圆．
5
5
?
?
5
?< br>??
5
?
（4）方程2x
2
+2y
2
－5x =0化为
?
x?
?
?y
2
?
??
，∴它表 示以
?
,0
?
为圆心，为半径
4
4
?
?< br>4
?
??
4
?
22

长的圆．
【总结升华】（1）判断一个二元二次方程是否表示圆的方法：先看这个方程是否具备圆
的一般方程的 特征，即：①x
2
与y
2
的系数相等；②不含xy的项．当它具有圆的一般方 程的
特征时，再看它能否表示圆，此时有两种途径，一是看D
2
+E
2
―4F是否大于零；二是直接配
方变形，看右端是否为大于零的常数．
（2）圆的标准方程 指出了圆心坐标与半径大小，几何特征明显；圆的一般方程表明圆的
方程是一种特殊的二元二次方程，代 数特征明显．
举一反三：
【变式1】（1）下列方程各表示什么图形；
①x2
+y
2
―4x―2y+5=0；②x
2
+y
2
―2x+4y―4=0；③
x
2
?y
2
?ax?3ay?0
．
（2）圆C：x
2
+y
2
―2x―4y+4=0的圆心到直线
l
：3x+4y+4=0的距离d=________．
【答案】
（1）①方程表示点（2，1）；②方程表示以（1，―2）为圆心，3为半径长的圆；③当a=0
时， 该方程表示的图形为一个点（0，0）；当a≠0时，该方程表示的图形为圆，圆心为
?
a3< br>?
?
?
?
2
,
2
a
?
?< br>，半径长为|a|．
??
（2）3
【解析】（1）略；
（2 ）圆的方程可化为：
?
x?1
?
?
?
y?2
??1
，圆心坐标为（1，2），所以到直线
l
的距离
d?
|3? 1?2?4?4|
3
2
?4
2
?
15
?3
．
5
22
例5．已知直线x
2
+y
2
―2(t+ 3)x+2(1―4t
2
)y+16t
4
+9=0表示一个圆．
（1）求t的取值范围；
（2）求这个圆的圆心和半径；
（3）求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程．
【思路点拨】若一个圆可用一般方程表示 ，则它具备隐含条件D
2
+E
2
―4F＞0，解题时，
应充分利用这 一隐含条件．
47
1
【答案】（1）
??t?1
（2）（t+3， 4t
2
-1）
1?6t?7t
2
（3）
7
724
??
13
?
16
?

?
x?
?
?
?
y?
?
?

7
??
49
?
7
?
22
【解析】（1）已知方程 表示一个圆
?
D
2
+E
2
―4F＞0，即4(t+3)2
+4(1―4t
2
)
2
―4(16t
4
+9 )＞0，

1
整理得7t
2
―6t―1＜0
???t? 1
．
7
（2）圆的方程化为[x―(t+3)]
2
+[y+(1― 4t
2
)]
2
=1+6t―7t
2
．
∴它的圆心坐标为（t+3， 4t
2
-1），半径为
1?6t?7t
2
．
1
?
3
?
1647
D
2
?E
2
?4F??7t
2
?6t?1??7
?
t?
?
??
（3）由
r?
．
2777
??
2
∴r的最大值为
2
47
，此时圆的标准方程为
7
2
24
??
13
?16
?
x??y?
????
?
．
7497
? ???
?
1
?
【总结升华】在本例中，当t在
?
?,1?
中任取一个值，它对应着一个不同的圆，它实质
?
7
?
?x?t?3
上是一系列的圆，因此本例中的圆的方程实质上是一个圆系方程，由
?
得y=4(x―
2
?
y?4t?1
3)
2
―1，再由
?
的圆系方程．
举一反三：
【高清课堂：圆的方程370891 典型例题2】
【变式1】（1）求过
A(2,2),B(5,3),C(3,?1)
的圆的方程，及 圆心坐标和半径；
（2）求经过点
A(?2,?4)
且与直线
x?3y?2 6?0
相切于点（8，6）的圆的方程．
【答案】
【解析】
（1）法一 ：设圆的方程为：
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
，则
?
8?2D?2E?F?0
?
D??8
??
34?5D?3 E?F?0
，解得：
?
?
E??2

?
10?3D ?E?F?0
?
F?12
?
?
120
?
20
?
知因此它是一个圆心在抛物线
y?4(x?3)
2
?1
?
?x?4
?
?t?1
，
?x?4
，
77
?
7
?
所以所求圆的方程为：
x
2
?y
2
?8x? 2y?12?0
，即
?
x?4
?
?(y?1)
2
? 5
，所以圆心为（4，
1），半径为
5
．
2

3?21
?
75
?
法二：线段
AB
的中点为为
?
,
?
，
k
AB
??

22
5?2 3
??
线段
AB
的中垂线为
y?
57
??
??3
?
x?
?
，即
3x?y?13?0

22< br>??
同理得线段
BC
中垂线为
x?2y?6?0

?
x?2y?6?0
?
x?4
联立
?
，解得
?

?
3x?y?13?0
?
y?1
所以所求圆的方程为（4，1） ，半径
r?(4?2)
2
?(1?2)
2
?5

所以
?
x?4
?
?(y?1)
2
?5
．
（2）法一：设圆的方程为：
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F ?0
，则
2
?
20?2D?4E?F?0
?
?
D ??11
?
6?
E
?
?
2
?3
，解得：< br>?
E?3

?
D
?
F??30
?
8 ?
?
2
?
?
?
100?8D?6E?F?0
所以圆 的方程为
x
2
?y
2
?11x?3y?30?0
．
法二：过点
B
与直线
x?3y?26?0
垂直的直线是
3x?y? 18?0
，
线段
AB
的中垂线为
x?y?4?0
， ?
3x?y?18?0
125
?
113
?
由
?
得：圆心坐标为
?
,?
?
，由两点间距离公式得半径
r2
?
，
2
?
22
?
?
x?y?4? 0
3
?
125
?
11
??
所以圆的方程为
?
x?
?
?
?
y?
?
?
．
2< br>??
2
?
2
?
【变式2】判断方程ax
2
+ ay
2
―4(a―1)x+4y=0（a≠0）是否表示圆，若表示圆，写出圆心
坐标 和半径长．
22
2a
2
?2a?2
?
2(a?1)2?
,?
?
，
r?
【答案】
?

a
?
|a|
?
a
类型三：点与圆的位置关系
例6 ．判断点M（6，9），N（3，3），Q（5，3）与圆(x―5)
2
+(y―6)
2
=10的位置关系．
【答案】M在圆上 N在圆外 Q在圆内

【解析】 ∵圆的方程为(x―5)
2
+(y―6)
2
=10，
分别将M（6，9），N（3，3），Q（5，3）代入得
(6―5)
2
+(9―6)
2
=10，∴M在圆上；
(3―5)
2
+(3―6)
2
=13＞10，∴N在圆外；
(5―5)
2
+(3―6)
2
=9＜10，∴Q在圆内．
【总结升华】点与圆的位置关系，从形的角度来看，设圆心为O，半径为r，则点P在圆
内
?< br>|PQ|＜r；点P在圆上
?
|PQ|=r；点P在点圆外
?
|PO| ＞r．从数的角度来看，设圆的标
准方程为(x―a)
2
+(y―b)
2=r
2
，圆心为A（a，b），半径为r，则点M（x
0
，y
0
）在圆上
?
(x
0
―
a)
2
+(y
0
―b)
2
=r
2
；点M（x
0
，y
0
）在圆外
?
(x
0
―a)
2
+(y
0―b)
2
＞r
2
；点M（x
0
，y
0
）在圆内
?
(x
0
―
a)
2
+(y
0―b)
2
＜r
2
．
举一反三：
【变式1】已知两点 P
1
（3，8）和P
2
（5，4），求以线段P
1
P
2
为直径的圆的方程，并判断
点M（5，3）、N（3，4）、P（3，5）是在此圆上、在 圆内、还是在圆外？
【答案】点M在此圆外，点N在此圆上，点P在此圆内
类型四：轨迹问题
例7．已知一曲线是与两个定点O（0，0），A（3，0）距离的比为< br>条曲线的方程，并画出曲线．
【思路点拨】先设出要求点的坐标，然后列出点满足的几何条件，化简整理即可。
【答案】(x+1)
2
+y
2
=4 曲线是圆心为C（―1，0），半径长为2的圆
【解析】 在给定的坐标系中，设M（x，y）是曲 线上的任意一点，点M
在曲线上的条件是
|MO|1
?
．
|MA| 2
x
2
?y
2
(x?3)
2
?y
2
?
1
，两边平方并化简，得曲线方程
2
1
的点的轨迹，求这
2
由两点间距离公式，得
x
2
+y
2
+2x―3=0，配 方得(x+1)
2
+y
2
=4．
所以所求曲线是圆心为C（―1，0），半径长为2的圆（如图）．
【总结升华】 本例求轨迹方程的方法是直接法．用直接法求曲线方程的步骤如下：
（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点坐标为M（x，y）；
（2）几何点集：写出满足题设的点M的集合P={M|P (M)}；
（3）翻译列式：将几何条件P（M）用坐标x、y表示，写出方程f (x,y)=0；

（4）化简方程：通过同解变形化简方程；
（5）查漏除杂：验证方程表示的 曲线是否为已知的曲线，重点检查方程表示的曲线是否
有多余的点，曲线上是否有遗漏的点．
举一反三：
【变式1】如下图，过第一象限的定点C（a，b）作互相垂直的两直线CA、C B，分别交
于x轴、y轴的正半轴于A、B两点，试求线段AB的中点M的轨迹方程．

【答案】2ax+2by=a
2
+b
2
（x＞0且y＞0）．


【巩固练习】
1．以点
(?2,?2)
为圆心，
3
为半径长的圆的标准方程是（ ）
A．
(x?2)
2
?(y?2)
2
?3
B．
(x?2)
2
?(y?2)
2
?3

C．
(x?2)
2
?(y?2)
2
?3
D．
(x?2)
2
?(y?2)
2
?3

2．若直 线
3x?y?a?0
过圆
x
2
?y
2
?2x?4y ?0
的圆心，则实数
a
的值为（ ）。
A．
?1
B．1 C．3 D．
?3

3．如果圆
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
与
y
轴相交，且两个交点分别在原点 两侧，那么（ ）
A．
D?0,F?0
B．
E?0,F?0
C．
F?0
D．
D?0,E?0

4．点P（5a+1，12a）在圆(x―1)
2< br>+y
2
=1的内部，则a的取值范围是（ ）
A．|a|＜1 B．
a?
1
13
C．
|a|?
11
5
D．
|a|?
13

5．方程x
2
+y
2
+Dx+Ey+F=0（D
2
+E
2
―4F＞0）表示的曲线关于x+y=0成轴对称，则有（
A．D+E=0 B．D+F=0 C．E+F=0 D．D+E+F=0
6．过点C（―1，1）和点D（1，3）且圆心在x轴上的圆的方程是（ ）
A．x
2
+(y―2)
2
=10 B．x
2
+(y+2)
2
=10
C．(x+2)
2
+y
2
=10 D．(x―2)
2
+y
2
=10
7．经过圆x
2
+2x+y
2
=0的圆心C，且与直线x+y=0垂直的直线方程是（ ）


）

A．x―y+1=0 B．x―y―1=0 C．x+y―1=0 D．(x―2)
2
+(y―1)
2
=1
8．设
P(x,y)
是圆
x
2
?(y?4)
2
? 4
上任意一点，则
(x?1)
2
?(y?1)
2
的最大值为 ( )
A.
26?2
B.
26
C.5 D.6
9．以A（1，3）和B（3，5）为直径两端点的圆的标准方程为________。 10．已知圆C经过A（5，1），B（1，3）两点，圆心在x轴上，则C的方程为________。
11．若点
M(5a?1,a)
在圆(x―1)
2
+y
2< br>=26的内部，则实数a的取值范围是________。
12．已知圆x
2
+y
2
+kx+2y+k
2
=0，当该圆面积取得最大值时，圆心坐标为__ ______。
13．求过两点C（―1，1）和D（1，3），圆心在x轴上的标准方程。
14．已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（5，1），B（7，―3），C（2，―8），求它的外接圆的方程。
15．点P是圆
C:x
2
?y
2
?4x? 2y?11?0
上的任一点，PC的中点是M，试求动点M的轨迹方程.
【答案与解析】
1．B
【解析】 由圆的标准方程可得。
2．B
【解析】
3. C
?
DE
?
【解析】只需坐标原点在圆内，即原点与圆心的 距离小于半径，已知圆心为
?
?,?
?
，半
2
??
2
径为
D
2
?E
2
?4F
D
2
? E
2
?4F
?
D
??
E
?
22
?
D?E?4F?0
?
，结合
?
2
?0
?
?
?
2
?0
?
?
2
4
????
22
及
D
2
?E
2
?4F?0
，可得
F?0< br>。
4．D
【解析】 点P在圆(x―1)
2
+y
2
=1内部
?
(5a+1―1)
2
+(12a)
2
＜ 1
?|a|?
5．A
?
DE
?
【解析】 曲线关于x+y=0对称，即圆
?
?,?
?
在x+y=0上。
2
??
2
1
。
13
6．D

【解析】 设圆心O＇（x
0
，0）、M（0，2）为CD的中点， 则O＇M⊥CD，即
解得x0=2， ∴
r?(2?1)
2
?1
2
?10
。
7．A
?23?1
???1
，
x
0
1?1
【解析】 由 于x
2
+2x+y
2
=0的圆心坐标为（―1，0），于是过（―1，0）且 垂直于直线x+y=0
的直线方程为y=x+1。

8．A
【解析 】如图，设A(1，1)，
(x?1)
2
?(y?1)
2
?|PA|
，则|PA|的最大值为|AC|+r
?26?2
.
故选A.

9．(x―2)
2
+(y―4)
2
=2
【解析】 圆心为（2，4），半径长为
4)
2
=2。
10．(x―2)
2
+y
2
=10
【解析】 依题意 设所求圆的方程为：(x―a)
2
+y
2
=r
2
，把所给两 点坐标代入方程得
22
?
?
a?2
?
(5?a)?1?r< br>22
，解得，所以所求圆的方程为(x―2)+y=10。
?
?
2< br>22
r?10
?
?
?
(1?a)?9?r
|AB|1
??22?2
。所以圆的标准方程为(x―2)
2
+(y―
2211．0≤a＜1
【解析】 因为
(5a?1?1)
2
?(a)
2
?26a
，又点M在圆内，所以26a＜26，且a≥0，解得0
≤a＜1 。
12．（0，―1）
【解析】 当圆的半径长最大时，圆的面积最大。由x
2
+y
2
+kx+2y+k
2
=0得，

2
k
?
3
2
?
2323
?
3
2< br>?
2
。当k=0时，
x??(y?1)?1?k??k?
1?k
最大，半径长也最大，
??
??
??
2433
4
????
此时圆心坐标为（0，―1）。
13．解：直线CD的斜率
k
CD
?
3?1
，故线段CD的垂
?1
，线段CD中点E的坐标为（0，2 ）
1?1
直平分线方程为y―2=―x，即y=―x+2，令y=0，得x=2，即圆心为（2 ，0）。由两点间的距
离公式，得
r?(2?1)
2
?(0?3)
2
?10
。所以所求圆的标准方程为(x―2)
2
+y
2
=1 0。
14．解：因为圆经过△ABC的三个顶点，所以圆心应为△ABC三边中垂线的交点。线段AB
的中垂线方程为x―2y―8=0。
线段BC的中垂线方程为x+y+1=0。
?
x?2y?8?0
?
x?2
联立方程组
?
，解得
?
，则圆心M（2，―3），r=|AM|=5。
?
x?y?1?0
?
y??3
所以圆的标准方程为(x―2)
2
+(y+3)
2
=25。
15． 解析：由于动点M的变化是由点P的变化引起的，点P在圆上，所以用中间量法求点
M的轨迹方程. < br>设
M(x,y)
，由已知圆心
C(2,?1)
，则
P(2x? 2,2y?1)
.
又点P在圆
C:x
2
?y
2
? 4x?2y?11?0
上，
所以动点M的轨迹方程
(2x?2)
2
?(2y?1)
2
?4(2x?2)?2(2y?1)?11?0
，
即
x
2
?y
2
?4x?2y?1?0
.