高中数学必修5： 解三角形的实际应用 知识点及经典例题(含答案)

解三角形的实际应用


【知识概述】
1. 利用解三角形的知识和方法解决生活中的实际测量问题，是正弦定理和余弦定理的
重要应用，主要涉及距 离、高度和角度的测量，这类问题综合性较强，需要我们从实际生活
背景中抽象出三角形的相关知识和条 件，然后借助解三角形的方法给出解决方案。
2.测量问题就是解三角形问题，一般有两种位置状态， 一种是被测量的图形在水平平面
内，另一种是被测量的图形在竖直平面内，尽管实际问题的位置状态不同 ，但问题的实质都
是利用有关三角公式解三角形，对不同的状态，要准确理解相关的名词的意义，如在水 平面
内的方向角、方位角等，以及在竖直平面内的仰角、俯角等.
3.有关角的概念
方向角：从东西南北的某方向转到目标方向线的水平角，如南45°东、东45°北等；
方位角：地图上从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角；
俯角和仰角：与目标视线在同一 铅直平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在
水平视线上方时称为仰角，目标视线在水平视线下 方时，称为俯角.
坡度：斜坡所在的平面和水平面夹角正切值.

【学前诊断】

1．[难度] 易
已知两灯塔A，B与观测点C的距离都等于akm．灯塔A在 观测点C的北偏东20°．灯
塔B在观测点C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为 km.
2．[难度] 易
设A，B两点在河的两岸．一测量者在A的同侧，在A所在的河 岸
边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB=105°
后，就可 以计算出A、B两点的距离为 ( )
A．
502
m B．
503
m C．
252
m D．

3．[难度] 中
25
2
m
2
在200m高的山顶上，测得山下一塔塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°．则塔高为
( )
A．
4
3
m C．
3
m D．m B．m
33
33
1
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【经典例题】

例1．某巡逻艇在A处发现北 偏东45°相距9海里的C处有一艘
走私船，正沿南偏东75°的方向以10海里小时的速度向我
海岸行驶，巡逻艇立即以14海里小时的速度沿着直线方
向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要 多少时间才
追赶上该走私船？




例2．如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、
D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点
和D点的仰角分别为 75°，30° ，于水面C处测得B点和
D点的仰角均为 60°，AC=0.1km.试探究图中B ，D间距离
与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果
精确到0.01km，< br>2?1.414,3?1.732,6?2.4
）




例3．某人在塔AB的正东C处沿着南偏西60°的方向前
进 40米后到达D处，望见塔在东北方向．若沿途
测得塔的最大仰角为30°，求塔高．






例4．在某海滨城市附近海面有一台风，据监测 ，当前台风中心位
于城市O（如图）的东偏南
?
(cos
?
)?2
方向300 km的海
10
面P处，并以20 kmh的速度向西偏北45°方向移动.台风侵
袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 kmh的速
度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？



【本课总结】

1.解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：
（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之.
2
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（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时 需要选择条件足够的三角形优先研
究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.
2.解三角形应用题的一般步骤：
（1）分析题意，准确理解问题的已知与所求，以及有关的基本量、名词、术语;
（2）将实际问题转化为数学模型或数学问题；
（3）将需求解的问题归结到一个或几个三角 形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理
等有关知识正确求解数学模型；
（4）将数学模型还原到实际问题，检验解出的答案是否符合实际意义.

【活学活用】

1．[难度] 中
在某个位置测得某山峰仰角为α，对 着山峰在平行地面上前进600m后测得仰角为原来
的2倍．继续在平行地面上前进
2003
m后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山
峰的高度为 ( )
A．200 m B．300 m C．400m D．
1003
m

2. [难度] 中
江岸边有—炮台高30 m．江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°．而且两
条船与炮台底部连线成30°角 ，两条船相距是 ( )
A．20m B．
30
m C．30m D．
303
m

3. [难度] 中
如图，货轮在海上以40km／h的速度由B向C
航行，航行的方位角是140°，A处有一灯塔，在B点
观察其方位角是110°.在C处观察灯塔A的 方位角是
35°,由B到C需航行30分钟．求C到灯塔A的距离(方
位角是指从某点开始的指 北方向按顺时针转到目标方
向线为止的角）.





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