人教版高中数学【选修2-3】[知识点整理及重点题型梳理] 条件概率 事件的相互独立性(理)(基础)

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人教版高中数学选修2-3
知识点梳理
重点题型（
常考知识点
）巩固练习

条件概率 事件的相互独立性

【学习目标】
1．了解条件概率的概念和概率的乘法公式．
2．能运用条件概率解决一些简单的实际问题．
3．了解两个事件相互独立的概念，会判断两个事件是否为相互独立事件．
4．能运用相互独立事件的概率解决一些简单的实际问题．
【要点梳理】
要点一、条件概率的概念
1.定义
设
A
、
B
为 两个事件，且
P(A)?0
，在已知事件
A
发生的条件下，事件B发生的概率 叫做条件概率。
用符号
P(B|A)
表示。
P(B|A)
读作：
A
发生的条件下B发生的概率。
要点诠释 < br>在条件概率的定义中，事件A在“事件B已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的，应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的．而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知，求另一事件在此条件下发生的概率．
2．P（A｜B）、P（AB）、P（B）的区别
P（A｜B）是在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
P（AB）是事件A与事件B同时发生的概率，无附加条件。
P（B）是事件B发生的概率，无附加条件．
它们的联系是：
P(A|B)?
要点诠释
一般说来，对于概率P(A|B) 与概率P(A)，它们都以基本事件空间Ω为总样本，但它们取概率的前提是
不相同的。概率P(A)是 指在整个基本事件空间Ω的条件下事件A发生的可能性大小，而条件概率P(A|B)
是指在事件B发生 的条件下，事件A发生的可能性大小。
例如，盒中球的个数如下表。从中任取一球，记A=“取得篮球 ”，B=“取得玻璃球”。基本事件空间Ω包
P(AB)
．
P(B)
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含的样本点总数为16，事件A包含的样本点总数为11，故
P(A)?

红
蓝
总计
玻璃
2
4
6
木质
3
7
10
总计
5
11
16
11
。
16
如果已知取得玻璃球的条件下取得篮球的概率就是事件B发生的 条件下事件A发生的条件概率，那么
在事件B发生的条件下可能取得的样本点总数应为“玻璃球的总数” ，即把样本空间压缩到玻璃球全体。而
在事件B发生的条件下事件A包含的样本点数为蓝玻璃球数，故< br>P(A|B)?
要点二、条件概率的公式
1．计算事件B发生的条件下事件A发生的条件概率，常有以下两种方式：
①利用定义计算．
先分别计算概率P（AB）及P（B），然后借助于条件概率公式
P(A|B)?
②利用缩小样本空间的观点计算．
在这里，原来的样本空间缩小为已知的条件事件B，原来的 事件A缩小为事件AB，从而
42
?
。
63
P(AB)
求解．
P(B)
P(A|B)?
求解．
要点诠释
AB包含的基本事件数
n(AB)
，即：
P(B|A)?
，此法常应用于古典概型中的条件概率
B包含的基本事件数
n(A)
概率P( B|A)与P(AB)的联系与区别：
联系：事件A，B都发生了。
区别：
① 在P(B|A)中，事件A，B发生有时间上的差异，事件A先发生事件B后发生；在P(AB)中，事件A，< br>B同时发生；
②基本事件空间不同:在P(B|A)中，事件A成为基本事件空间；在P(AB )中，基本事件空间仍为原基本
事件空间。
2．条件概率公式的变形．
公式
P(A|B)?
P(AB)
揭示了P（B）、P（A｜B）、P（AB）的关系， 常常用于知二求一，即要熟练
P(B)
应用它的变形公式如，若P（B）＞0，则P（AB）= P（B）·P（A｜B），该式称为概率的乘法公式．
要点诠释
条件概率也是概率，所以条件概率具有概率的性质．如：
①任何事件的条件概率取值在0到1之间；
②必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0；
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③条件概率也有加法公式：
P（B∪C｜A）=P（B｜A）+P（C｜A），
其中B和C是两个互斥事件．
要点三、相互独立事件
1.定义：
事件
A
（或
B
）是否 发生对事件
B
（或
A
）发生的概率没有影响，即
P(B|A)?P( B)
，这样的两个事
件叫做相互独立事件。
若
A
与
B是相互独立事件，则
A
与
B
，
A
与
B
，
A
与
B
也相互独立。
2．相互独立事件同时发生的概率公式：
对于事件A和事件B，用
A?B
表示事件A、B同时发生。
（1）若
A
与
B
是相互独立事件，则
P(A?B)?P(A)?P(B)
；
（2）若事件
A
1
,A
2
,
即：
P(A< br>1
?A
2
?
要点诠释
（1）P（AB）=P（A）P（B） 使用的前提是A、B为相互独立事件，也就是说，只有相互独立的两个
事件同时发生的概率，才等于每个 事件发生的概率的积．
（2）两个事件
A
、
B
相互独立事件的充要 条件是
P(A?B)?P(A)?P(B)
。
3．相互独立事件与互斥事件的比较
互斥事件与相互独立事件是两个不同的概念，它们之间没有直接关系。
互斥事件是指两个事件 不可能同时发生，而相互独立事件是指一个事件是否发生对另一个事件发生的
概率没有影响。
一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是
以它 们能够同时发生为前提的。相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,这一点与互斥
事 件的概率和也是不同的。
4. 几种事件的概率公式的比较
已知两个事件A，B，它 们发生的概率为P（A），P（B），将A，B中至少有一个发生记为事件A+B，都发
生记为事件A· B，都不发生记为事件
A?B
，恰有一个发生记为事件
A?B?A?B
，至多 有一个发生记为事
件
A?B?A?B?A?B
，则它们的概率间的关系如下表所示：
概率
P（A+B）
P（A·B）
A，B互斥
P（A）+P（B）
0
A，B相互独立
,A
n
相互独 立，那么这
n
个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，
?P(A
n
)
。
?A
n
)?P(A
1< br>)?P(A
2
)?
1?P(A)?P(B)

P（A）·P（B）
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P(A?B)

P(A?B?A?B)

1－[P（A）+P（B）]
P（A）+P（B）
1
P(A)?P(B)

P(A)?P(B)?P(A)?P(B)

1－P（A）·P（B）
P(A?B?A?B?A?B)

【典型例题】
类型一、条件概率
例1．甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙 两地一年中雨天占的比例分别
为20％和18％，两地同时下雨的比例为12％，问：
（1）乙地为雨天时，甲地也为雨天的概率为多少？
（2）甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率为多少？
【思路点拨】（1）在乙地为雨天的事情业已发生 的情况下，求甲地也下雨的概率，为典型的条件概率问题。
【解析】设A表示“甲地为雨天”，B表示 “乙地为雨天”，则根据题意有P（A）=0.20，P（B）=0.18，
P（AB）=0.12．
（1）
P(A|B)?
P(AB)0.12
??0.67
；
P(B)0.18
P(AB)0.12
??0.60
．
P(A)0.20
（2）
P(B|A)?
【总结升华】这类条件概率 的应用问题，首先分清一前一后两事件的发生，前面的事件对后面的事件的发
生有没有影响。若没有影响 ，就是无条件概率；若有影响，就是条件概率，然后根据相应的公式计算即可。
举一反三：
【变式1】 甲、乙两名推销员推销某种产品，据以往经验，两人在一天内卖出一份产品的概率分别为< br>3
和
5
71
，两人在一天内都卖出一份产品的概率为，问：
102
（1）在一天内甲先卖出一份产品乙后卖出一份产品的概率是多少？
（2）在一天内乙先卖出一份产品甲后卖出一份产品的概率是多少？
【答案】
事件A=“甲在一天内卖出一份产品”，事件B=“乙在一天内卖出一份产品”，
因为两人在 一天内卖出一份产品的概率分别为
所以
P(A)?
3
71
和，两人在 一天内都卖出一份产品的概率为，
5
102
371
，
P(B)?< br>，
P(AB)?
。
5102
（1）因为“在一天内甲先卖出一份产品 乙后卖出一份产品”这一事件是甲在一天内卖出一份产品后，乙
1
P(AB)
2
5
卖出一份产品，所以由条件概率公式，可得
P(B|A)???
；
3< br>6P(A)
5
（2）因为“在一天内乙先卖出一份产品甲后卖出一份产品”这一事件是乙 在一天内卖出一份产品后，甲
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1
P(AB)
2
5
卖出一份产品，所以由条件概率公式， 可得
P(A|B)???
。
7
7P(B)
10
11
【变式2】（2016 枣庄一模）已知A 与B是两个事件，
P(B)?
，
P(AB)?
，则P（A｜B）=（ ）
48
13
11
A． B． C． D．
88
42
【答案】D
1
P(AB)
8
1< br>由条件概率的计算公式，可得
P(B|A)???
, 故选D。
1
2 P(B)
4
【变式3】一个盒子中装有6只好晶体管和4只坏晶体管，任取两次，每次取1只， 第一次取后不放
回，若第一次取到的是好的，则第二次也取到好的概率为（ ）
A．
315
4
B． C． D．
539
9
【答案】C
设
A
i
=“第
i< br>次取到好的晶体管”（
i
=1，2）。
因为
P(A
1
)?
636?51
?
，
P(A
1
A
2
) ??
，
10510?93
P(A
1
A
2
)
5
?
。
P(A
1
)9
所以
P(A
2< br>|A
1
)?
【条件概率 事件的相互独立性 408736 例题1】
例2． 5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，求：
（1）第1次抽到理科题的概率；
（2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；
（3）在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题概率
【思路点拨】 本题考查古典概型、条件概率．（1）和（2）中利用
P?
式解决．
【解析】 设“第1次抽到理科题”为事件A，“第2次抽到理科题”为事件B，则“第1次和第2次都抽到理
科题 ”为事件AB．
11
A
3
A
4
123
（1）
P(A)???
．
A
5
2
205
m
解决，（3）利用条件概率公
n
A
3
2
63
（2）
P(AB)?
2
??
．
A
5
2010
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3
P(AB)
10
1
（3）
P(B|A)???
．
3
2P(A)
5
【总结升华】
（1）求条件概率
P(B|A)
的关键就是要抓住事件A作为条件和 事件A与B同时发生这两件事，然后
具体问题具体对待。
（2）本题第（3）问可用下面的方法求解：
用n（A）表示事件A中包含的基本事件个数，
则n（A）=12，n（AB）=6，
故
P(B|A)?
举一反三：
【变 式1】某学校一年级共有学生100名，其中男生60人，女生40人；来自北京的有20人，其中男生
12人，若任选一人是女生，问该女生来自北京的概率是多少？
【答案】用A表示“任选一人是女生” ，B表示“任选一人来自北京”，依题意知北京的学生有8名女生，这
是一个条件概率问题，即计算P（ B｜A）．
n(AB)61
??
．
n(A)122
408
，
P(AB)?
，
100100
8
P(AB)
100
1
∴
P(B|A)???
．
40
P(A)5
100
由于
P(A)?
【变式2】在10支铅笔中，有8支正品，2支次品，若从中任取2支，则在第 1次取到的是次品的条件下，
第二次取到正品的概率是（ ）
A．
18
84
B． C． D．
59
455
【答案】C
利用缩小样本空间的方法求解。
因为第一次取到1支次品，还剩9支铅笔，其中有8支正品，
所以第二次取正品的概率是
8
。
9
【变式3】盒中装有5件产品， 其中3件一等品，2件二等品，从中不放回地抽取产品，每次抽取1件，
求：
（1）取两次，两次都取得一等品的概率；
（2）取两次，第二次取得一等品的概率；
（3）取两次，已知第二次取得一等品，第一次取得的是二等品的概率。
【答案】事件A
i
为“第i次取到一等品”，其中i=1，2，
（1）取两次，两次都取得一等品的概率为
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323
P(A
1
A
2
)?P(A
1
)P(A
2
|A
1
)???
；
5410
（2）取两次，第二次取得一等品的概率，即第一次有可能取到一等品，也有可能 取到二等品，
可得
P(A
2
)?P(A
1
A
2< br>?A
1
A
2
)?P(A
1
A
2
)? P(A
1
A
2
)
?
23323
????
；
54545
（3）取两次，已知第二次取得一等品，第一次取得的是二等品的概率，
23
?
P(A
1
A
2
)
54
1
即
P(A
1
|A
2
)???
。
3
P(A
2
)2
5
例3. 1号箱中有2个白球和4个红 球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球
放入2号箱，然后从2号箱随机取出 一球，问从2号箱取出红球的概率是多少？
【思路点拨】 从2号箱取出红球，有两种互斥的情况：一是当从1号箱取出红球时；二是当从1号箱
取出白球时．
【解析】 记事件A：从2号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的是红球．
421
?
，
P(B)?1?P(B)?
，
2?433
3?1431

P(A|B)??
，
P(A|B)??
，
8?198?13
则
P(B)?
从而
P(A)?P(AB)?P(AB)


?P(A|B)P(B)?P(A|B)P(B)


?
421111
．
????
933327
和乘法公式，求 出这些简单事件的概率，最后利用概率的加法公式，得到最终结果．
【总结升华】 求复杂事件的概率，可以把它分解为若干个互不相容的简单事件，然后利用条件概率公式
举一反三：
【变式】 一个口袋内装有2个白球和2个黑球，那么：
（1）先摸出一个白球不放回，再摸出—个白球的概率是多少？
（2）先摸出一个白球后放回，再摸出一个白球的概率是多少？
【答案】
（1）设“先摸出 一个白球不放回”为事件A，“再摸出一个白球”为事件B，则“先后两次摸到白球”为事件AB，
1111
，
P(AB)???
．
2236
1
P( AB)
6
1
∴
P(B|A)???
．
1
3P(A)
2
∴
P(A)?
（2）设“先摸出一 个白球放回”为事件A
1
，“再摸出一个白球”为事件B
1
，则“两次都摸到 白球”为事件
A
1
B
1
，
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11
，
P(A
1
B
1
)?
．
2 4
1
P(A
1
B
1
)
4
1
∴P(B
1
|A
1
)???
．
1
2P(A1
)
2
∴
P(A
1
)?
综合（1）（ 2）所述，先摸出一个白球不放回，再摸出一个白球的概率为
再摸出一个白球的概率为
类型二、 相互独立事件

例4. 容器中盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球．
（ 1）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白
球 ”这两个事件是否相互独立？为什么？
（2）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与 “把取出的1个白球放回容器，再从容器中任意取
出1个，取出的是黄球”这两个事件是否相互独立？为 什么？
【思路点拨】 从相互独立事件的定义入手．
【解析】 （1）“从8 个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为
下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为
率为
1
；先摸出一个白球后放回，
3
1
．
25
，若这一事件发生了，则“从剩
8
4
；若前一事件没有发生，则后一事 件发生的概
7
5
．可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者 不是相互独立事件．
7
（2）由于把取出的白球放回容器，故对“从中任意取出1个 ，取出的是黄球”的概率没有影响，所以二
者是相互独立事件．
【总结升华】 判断两事件是否相互独立的方法有：
（1）通过计算P（B|A）=P（B）可以判断两个事件相互独立：
（2）通过验证P（AB）=P（A）P（B）也可以判断两个事件相互独立．
举一反三：
【变式】判断下列各对事件是互斥事件还是相互独立事件．
（1）运动员甲射击1次，“射中9环”与“射中8环”；
（2）甲、乙两运动员各射击1次，“甲射中10环”与“乙射中9环”：
（3）甲、乙两运动员各射击1次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”；
（4）甲、乙两运动员各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标，但乙没有射中目标”．
【答案】
（1）甲射击1次，“射中9环”与“射中8环”这两个事件不可能同时发生，二者是互斥事件．
（2）甲、乙各射击1次，“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响，二者 为相互独立
事件．
（3）甲、乙各射击1次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没 有射中目标”不可能同时发生，二者是互
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斥事件．
（4）甲、乙各射击1次， “至少有1人射中目标”与“甲射中目标，但乙没有射中目标”可能同时发生，
二者构不成互斥事件，但 也不可能是相互独立事件．
例5. 甲、乙各进行一次射击，若甲、乙击中目标的概率分别为0.8、0.7．求下列事件的概率：
（1）两人都击中目标；
（2）至少有一人击中目标；
（3）恰有一人击中目标．
【思路点拨】显然“甲射击一次，击中目标”，与“乙射击一次，击中目 标”互不影响，即相互独立，两人都
击中，即事件同时发生，应该用乘法公式。
【解析】 记 A为“甲射击一次，击中目标”，B为“乙射击一次，击中目标”，则A与B相互独立，进而有
A与B
，
A
与B，
A
与
B
也都相互独立．至少有一 个击中，即事件
AB?AB?AB
发生；恰有一个击中，
即事件
AB?AB< br>发生．
由已知P（A）=0.8，P（B）=0.7，
（1）两人都击中目标的概率
P（AB）=P（A）·P（B）=0.8×0.7=0.56．
（2）至少有一人击中目标的概率
P(AB?AB?AB)?P(AB)?P(AB)?P(AB)

?P(A)?P(B)?P(A)?P(B)?P(A)?P(B)

=0.2×0.7+0.8×0.3+0.8×0.7=0.94．
（3）恰有一人击中目标的概率

P(AB?AB)?P(AB)?P(AB)
=

P(A)?P(B)?P(A)?P(B)
=0.2×0.7+0.8×0.3=0.38．
【总结升华】 审题应注意关键的词句，例如“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生” 等，应学
会在求复杂事件的概率时对事件等价拆分来求解．
举一反三：
【变式1】 甲、乙两个袋中均装有红、白两种颜色的球，这些球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4
个红球、2个白 球，乙袋装有1个红球、5个白球。若分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，求取出的
两球都是红球的 概率。
【答案】
1
4
，从乙袋中取一球为红球的概率为，
6< br>6
411
故从两袋中各取一球，取出的都是红球的概率为
??
。
669
因从甲袋中取一球为红球的概率为
【变式2】（2016 镇江一模）盒中有 6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每
次取一只，试求下列事件的概率：
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（1）取到的2只都是次品；
（2）取的的2只中正品、次品各一只；
（3）取到的2只中至少有一只正品。
11
【答案】（1）从6只灯泡中有放回地任 取两只，共有
C
6
C
6
?36
种不同取法，取到的两只都是 次品的情况
11
为
C
2
C
2
?4
种。
∴取到的2只都是次品的概率
p
1
?
1
。
9
（2）取到的2只中正品、次品各一只有两种可能：
①第一次到取正品，第二次取到次品，有4×2种取法；
②第一次取到次品，第二次取到正品，有2×4种取法
4?2?2?44
?

369
18
（3）取到的2只中至少有一只正品的概率
p
3
?1?p
1
?1??

99
∴取到的2只中正品、次品各一只的概率
p
2
?
【变式3】某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得 一张奖券．奖券上有一个兑奖
号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中 奖概率都是 0 . 05 ，求两次抽
奖中以下事件的概率：
(1)都抽到某一指定号码；
(2)恰有一次抽到某一指定号码；
(3)至少有一次抽到某一指定号码．
【答案】 (1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A, “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B ，则
“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB．由于两次抽奖结果互不影响，因此A与B相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率
P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = 0. 05×0.05 = 0.0025.
(2 ) “两次抽奖恰有一次 抽到某一指定号码”可以用（A
B
）U（
A
B）表示．由于事件A
B
与
A
B互斥，
根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为
P (A
B
）十P（
A
B）=P（A）P（
B
）+ P（
A
）P（B )
= 0. 05×(1-0.05 ) + (1-0.05 ) ×0.05 = 0. 095.
( 3 ) “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用（AB ) U ( A
B
）U（
A
B）表示．由于事件 AB , A
B
和
A
B 两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为 P ( AB ) + P（A
B
）+ P（
A
B )
= 0.0025 +0. 095 = 0. 097
例6．甲、乙、丙三位同学完成6道数学自测题，已知他们及格的概率依次为
（1）三人中有且只有两人及格的概率；
（2）三人中至少有一人不及格的概率。
【思路点拨】 三件（或三件以上）相互独立的事同时发生，和两个相互独立的事同时发生是类似的，都
用乘法公式。
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4
3
7
，，。求
5
5
10

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【解析】设甲、乙、丙三位同学答题及格分别为事件A，B，C，则事件A，B，C相互独立。
（1）三人中有且只有两人及格的概率为
P
1
?P(ABC)?P(ABC)?P(ABC)

?P(A)? P(B)?P(C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(A)?P(B)?P(C)

437437437
???(1?)?(1?)????(1?)?

551055105510
113
；
?
250
（2）三人中至少有一人不及格的概率为
43783
。例1．
P
2
?1?P(ABC)?1?P(A)? P(B)?P(C)?1????
5510125
【总结升华】
①明确事件中的“至 少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都
发生”等词语的意 义。
②在求事件的概率时，有时会遇到求“至少……”或“至多……”等事件的概率问题，它们是诸多 事
件的和或积，可以从正面或对立面解决问题。如果从正面考虑这些问题，求解过程繁琐，但“至少…… ”
或“至多……”这些事件的对立事件却相对简单，其概率也易求出，此时，可逆向思维，运用“正难则 反”
的原则求解。
举一反三：
【变式1】某道路的
A
、
B
、
C
三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、
35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是（ ）
A.
35253565
B. C. D.
2
【答案】A；
255357459
?
，
?
，
?
，
6
57935
故三处都不停车的概率是
??
。
?
121212192
1
11
【变式2】甲射击命中目标的概率是，乙射击命中目标的概 率是，丙射击命中目标的概率是，
3
24
在
A
、
B
、
C
三处不停车的概率分别为
若现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率是（ ）
A．
3247
B． C． D．
43510
【答案】A
设“甲射击命中目标”为事件A，“乙射击命中目标”为事件B，“丙射击命中目标”为事件C。
因击中目标表示事件A，B，C中至少有一个发生：目标可能被一人、两人或三人击中。
因目 标被击中的事件的对立事件是目标未被击中，即三人都未击中目标，它可以表示为
P(ABC)
，
而三人射击结果是相互独立的，故目标被击中的概率为
P?1?P(A?B?C)

∵
P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)
?[1?P(A)]?[1?P (B)]?[1?P(C)]

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1111
?(1?)?(1?)?(1?)?
，
2344
故目标被 击中的概率
P?1?P(A?B?C)?
1?
13
?
。
44
【变式3】设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响．已知在某1 h内，甲 、乙都需要照顾
的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0. 125．
（1）求甲、乙、丙在这1 h内需要照顾的概率分别是多少；
（2）计算这1 h内至少有一台机器需要照顾的概率．
【答案】
记“机器甲需要照顾”为 事件A，“机器乙需要照顾”为事件B，“机器丙需要照顾”为事件C．由题意，各
台机器是否需要照顾 相互之间没有影响，∴A、B、C是相互独立事件．
（1）由已知得P（A·B）=P（A）·P（B）=0.05，
P（A·C）=P（A）·P（C）=0.1，
P（B·C）=P（B）·P（C）=0.125，
解得P（A）=0.2，P（B）=0.25，P（C）=0.5．
∴甲、乙、丙在这1 h内需要照顾的概率分别为0.2，0.25，0.5．
（2）记A的对立事件为
A
，B的对立事件为
B
，C的对立事件为
C
，
则< br>P(A)?0.8
，
P(B)?0.75
，
P(C)?0.5
．
∴
P(A?B?C)?1?P(A?B?C)?1?P(A)?P(B)?P(C)?0.7
．
∴这1 h内至少有一台机器需要照顾的概率为0.7．
【条件概率 事件的相互独立性 408736 例题3】
【变式4】 如图两个开关串联再与第三个开关并联，在 某段时间内每个开关能
够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率.
【答案】
法一：
P(A?B?C)?P(A?B?C)?P(A?B?C)?P( A?B?C)?P(A?B?C)

?P(A)?P(B)?P(C)?P(A)?P(B)? P(C)?P(A)?P(B)?P(C)
?P(A)?P(B)?P(C)?P(A)?P(B)?P (C)?0.847
法二：

1?P(C)
?
1?P(A?B)< br>?
?1?0.3?(1?0.7
2
)?0.847


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