高二数学必修二 第四章 圆与圆的方程知识点总结

第四章
圆 与 方 程

★
1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点为圆心，定长为圆的 半径。
设M（x,y）为⊙A上任意一点，则圆的集合可以写作：P =
{
M
|
|MA| = r
}

★
2、圆的方程
（1）标准方程
?
x?a
?
?
?
y?b
?
?r
2
，圆心
?
a,b
?
，半径为r；
22
222
点
M(x
0
,y
0
)
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关系：
当
(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
>
r
，点在 圆外; 当
(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)< br>2
=
r
，点在圆上
当
(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
<
r
，点在圆内;
（2）一般方程
x?y?Dx?Ey?F?0

2222

（x+D2)+(y+E2)=(D+E-4F)4
（
D?E?4F?0
）
22
22
DE
?
，半径为
r?
1
当D?E?4F?0
时，方程表示圆，此时圆心为
?
?
?,?
?< br>2
?
22
?
22
2
22
D
2
?E
2
?4F

?E
2
?4F?0
时，表示一个点；
22
当
D?E?4F?0
时，方程不表示任何图形。
当
D

（3）求圆的方程的方法：
2
?待定系数法：先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，
需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；
?直接法：
直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置
。

★
3、直线与圆的位置关系：

直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：
（1）设直线
l:Ax?By?C?0< br>，圆
C:
?
x?a
?
2
?
?
y?b
?
2
?r
2
，圆心
C
?
a,b
?
到
l
的距离为
d?
Aa?Bb?C
A
2
? B
2
，则有
d?r?l与C相离
；
d?r?l与C相切
；< br>d?r?l与C相交



（2）过圆外一点的切线：设点斜式方程，用圆心到该直线距离
=
半径，求解k，
①若求得两个不同的解，带入所设切线的方程即可；
②若求得两个相同的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此
时，该直线一定为另一条切线）
(3) 过圆上一点的切线方程：圆(x-a)
2< br>+(y-b)
2
=r
2
，圆上一点为(x
0
，
y
0
)，则过此点的切线方程为
2
(x
0
-a)(x-a )+(y
0
-b)(y-b)= r

两圆的位置关系 判断条件 公切线条数







外离
外切
相交
内切
内含
ｄ＞ｒ
1
+ｒ
2

ｄ＝ｒ
1+
ｒ
2

|ｒ
1
-ｒ
2
|＜ｄ＜ｒ
1+
ｒ
2

ｄ＝|ｒ
1
-ｒ
2
|
ｄ＜|ｒ
1
-ｒ
2
|
4条
3条
2条
1条
0条
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★
4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心 距（
d
）之间的大小比较来确定。
22
2
22
2
设圆
C
1
:
?
x?a
1
?
?
?< br>y?b
1
?
?r
，
C
2
:
?
x?a
2
?
?
?
y?b
2
?
?R

两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差的绝对值），与圆心距（
d
）之间的大小 比较来确定。（即几何法）
注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线

★
5、 .圆C
1
：x
2
+y
2
+D
1
x+E1
y+F
1
=0 圆C
2
：x
2
+y
2
+D
2
x+E
2
y+F
2
=0
联立圆C
1
的方程与圆C
2
的方程得到一个二元一次方程
① 若两圆相交，则该二元一次方程表示：圆C
1
与圆C
2
公共弦所在的直线方程 ；
② 若两圆相切，则该二元一次方程表示：圆C
1
与圆C
2
的公切线的方程；
③ 若两圆外离，则该二元一次方程表示的直线具有一个性质：从直线上任意一点向两个圆引切线，
得到的切线长相等（反之，亦成立）
★
6、已知一直线与圆相交，求弦的长度
①代数法：联立圆与直线的方程求出交点坐标，利用两点间的距离公式求弦长
②几何法：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形（勾股定理）
③代数法：直线方程与圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程；利用弦长公式 ：
|ＡＢ|＝
1?k
2
?
|ｘ
1
-ｘ
2
| （或者|ＡＢ|＝
1?
1
?
|y
1
-y
2
|）求解
k
2
★
7、已知两圆相交，求公共弦的长度
①代数法：联立两圆的方程求出交点坐标；利用两点间的距离公式求弦长
②代数法：联立两圆的方程求出公共弦所在直线的方程（设公共弦的端点分别为A、B）；公共弦直线方 程
与任一圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程；利用弦长公式 ：
|ＡＢ| ＝
1?k
2
?
|ｘ
1
-ｘ
2
| （或者| ＡＢ|＝
1?
1
?
|y
1
-y
2
|）求解
k
2
③几何法：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形（勾股定理）
④几何法：根据图像求解（两个直角三角形，两个未知数，解二元一次方程组）
★
8、圆系与圆系方程
(1) 圆系:具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。
(2) 圆系方程：
（一）.圆C
1
：x
2
+y
2
+D
1
x+E
1
y+F
1
=0 圆C
2
：x
2
+y
2
+D
2
x+E
2
y+F
2
=0
圆系方程：x
2
+y
2
+D
1
x+E
1
y+F
1+
λ(x
2
+y
2
+D
2
x+E
2
y+F
2
)=0 (λ≠-1) -- （Ⅰ）
①若圆 C
1
与圆C
2
交 于P
1
、P
2
点，那么，方程（Ⅰ）代表过P
1
、P
2
两点的圆的方程。

②
若圆 C
1
与圆C
2
交于Ｐ点（一个点），则方程（Ⅰ）代表与圆Ｃ
1
、圆Ｃ
2
相切于Ｐ点的圆的方程。
（二）.直线ｌ：Ａｘ+Ｂｙ+Ｃ＝0与 圆Ｃ：x
2
+y
2
+Dx+Ey+F=0相交或相切
则过它们的交 点的圆系方程为：x
2
+y
2
+Dx+Ey+F+λ（Ａｘ+Ｂｙ+Ｃ）＝0
★
9、直线与圆的方程的应用
用坐标法解决平面几何问题的“三部曲”：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数
问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论

第 2 页 共 6 页

轴对称
例1、已知点A(4,1 )，B(0,4)，在直线L：y=3x-1上找一点P，求使|PA|-|PB|最大
时P的坐标。
y
解：如图，
B
(0,4)
k
l
?3
， ，
o
P
'
P
设点C(x,y)是点B关于直线L对称点，则由
1
C
得：
k??
BC
A
(4,1)
3
x
1
方程为：
y??x?4
，将其与直线y=3x-1联立，
3∴直线BC的
?
37
?
解得：D
?
,
?
,其中D为BC中点，利用中点坐标公式，得C（3,3）。
?
22
?
显 然：|PA|-|PB|＝|PA|-|PC|≤|AC|,当且仅当A、C、P三点共线时，|PA|-|PB |最大。
可求得：直线AC方程为：
2x?y?9?0
，与L方程联立解得P的坐标为 （2,5）。
例2、光线由点C（3，3）出发射到直线L：y=3x-1上，已知其被直线L反射后 经过
点A(4,1)，求反射光线方程。
解：设点B是点C关于L的对称点，则由光线反射的 知识易知：点B在反射光线上，
故所求的反射光线的方程即为直线AB所在的直线方程。
3< br>由例1知点C关于L的对称点为B（0,4），故直线AB的方程易求得为：
y??x?4
。
4
它即为反射光线方程。
直线和圆
1．自点（－3，3）发出的光线 L射到x轴上，被x轴反射，其反射线所在直线与圆
x
2
?y
2
?4 x?4y?7?0
相切，求光线L所在直线方程．
解：已知圆的标准方程是(x－2)
2
＋(y－2)
2
＝1，它关于x轴的对称圆的方程是(x－2)
2
＋(y＋2)
2
＝1。
设光线L所在直线方程是：y－3＝k(x＋3)。 < br>由题设知对称圆的圆心C′（2，－2）到这条直线的距离等于1，即
d?
|5k?5|
1?k
2

?1
．
第 3 页 共 6 页

34
整理得
12k
2
?25k?12?0,
解得
k??或k??
．故所求的直线方程是
43
34
y?3??(x?3)，或
y?3??(x?3)
， 即3x＋4y－3＝0，或4x＋3y＋3＝0．
43
2．已知圆C：
x
2
?y
2
?2x?4y?4?0< br>，是否存在斜率为1的直线L，使以L被圆C
截得的弦AB为直径的圆过原点，若存在求出直线L 的方程，若不存在说明理由．（14
分）
解：圆C化成标准方程为:
(x?1)2
?(y?2)
2
的坐标为（a，b）
?3
2
假设存在以AB为直径的圆M，圆心M
由于CM⊥L，∴k
CM
?k
L
=－1 ∴k
CM
=
b?2
??1
，即a+b+1=0，得b= －a－1 ①
a?1
直线L的方程为y－b=x－－，即x－y+b－a=0 ∴ CM=
b?a?3
∵以AB为直径的
圆M过原点，∴
MA?MB?OM
< br>MB
2
?CB
2
?CM
2
2
(b?a?3)
2
?9?
2
，
OM
2
?a
2
?b
2

(b?a?3)
2
∴
9??a
2
?b
2
② 把①代入②得
2a
2
?a?3?0
，∴
a?
3< br>或a??1

2
2
当
a?
3
,时b??5
此时直线L的方程为：x－y－4=0；当
a??1,时b?0
此时直线L的方 程
22
为：x－y+1=0 故这样的直线L是存在的，方程为x－y－4=0 或x－y+1=0．
4．已知圆C:
?
x?1
?
2
??
y?2
?
2
?25
及直线
l:
?
2 m?1
?
x?
?
m?1
?
y?7m?4
.
?
m?R
?

（1）证明:不论
m
取什么实数,直线
l
与圆C恒相交；
（2）求 直线
l
与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线
l
的方程．
解: (1)直线方程
l:
?
2m?1
?
x?
?
m?1< br>?
y?7m?4
,可以改写为
m
?
2x?y?7
?< br>?x?y?4?0
,所以直线
必经过直线
2x?y?7?0和x?y?4?0< br>的交点.由方程组
?
?
2x?y?7?0,
?
x?3,
解得
?
即两直线
y?1
x?y?4?0
?
?
的交 点为A
(3,1)
又因为点
A
?
3,1
?
与圆心
C
?
1,2
?
的距离
d?5?5
,所以该点在C
内,故不论
m
取什么实数,直线
l
与圆C恒相交.
(2)连接
AC
,过
A
作
AC
的垂线,此时的直线与圆C
相交于
B
、
D
.
BD
为直线被圆所截
得的最短弦长.此时,
AC?5,BC?5,所以BD?225?5?45
.即最短弦 长为
45
.
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又直线
AC
的斜率
k
AC
??
12
,所以直线
BD
的斜率为2.此时直线方程
为:
y?1? 2
?
x?3
?
,即2x?y?5?0.

5（12分）已知 圆x
2
+y
2
+x－6y+m=0和直线x+2y－3=0交于P、Q两点， 且以PQ为
直径的圆恰过坐标原点，求实数m的值．
?
y
1
?y< br>2
?4
?
x
2
?y
2
?x?6y?m?0< br>?
解：由
?
?5y
2
?20y?12?m?0

?
?
12?m

y
1
y
2
??
x?2y?3?0
?
5
?
y
又OP⊥OQ， ∴x
1
x
2
+y
1
y
2
=0,而x
1
x
2
=9－6(y
1
+y
2
)+4y
1< br>y
2
=
4m?27

5
P
Q
O< br>x
∴
4m?27
?
12?m
?0
解得m=3
55
6.已知圆C：(x+4)
2
+y
2
=4和点A(-2
3
，0)，圆D的圆心在y轴上移动，且恒与圆C
外切，设圆D与y 轴交于点M、N. ∠MAN是否为定值？若为定值，求出∠MAN
的弧度数；若不为定值，说明理由.
【解】设 圆D的方程为
x
2
?(y?b)
2
?r
2
(r?0 ),
那么
M(0,b?r),N(0,b?r).

因为圆D与圆C外切, 所以
2?r?16?b
2
?b
2
?r
2
?4r?12.

又直线
MA,NA
的斜率分别为 < br>k
MA
?
b?r
23
,k
MB
?
b ?r
23
.

b?r
?tan?MAN?
43r43r?
2323
???3??MAN?.
b?rb?r
12?b
2< br>?r
2
4r3
1?
2323
?
b?r
为定值
夹角问题

例5 (06全国卷一文) 从圆
x
2
? 2x?y
2
?2y?1?0
外一点
P(3,2)
向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( )
第 5 页 共 6 页

(A)
3
1
3
(B) (C) (D) 0
2
5
2
解 已知圆化为
(x?1)
2
?(y?1)
2
?1
，即得圆心
C(1,1)
和半径
r? 1
.
设由
P(3,2)
向这个圆作的两条切线的夹角为
?
，则在切线长、半径
r
和
PC
构成的直
角三角形中，
cos
?
2
?
2
5
，∴
cos
?
?2c os
2
?
2
?1?
3
，故选(B).
5
点评：处理两切线夹角
?
问题的方法是：先在切线长、半径
r
和
PC
所构成的直角三
角形中求得


?
的三角函数值，再用二倍角公式解决夹角
?
问题.
2
第 6 页 共 6 页