【精品】高中数学 必修4_任意角的三角函数_讲义 知识点讲解+巩固练习(含答案)提高

任意角的三角函数
【学习目标】
1.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、 正切)的定义，能由三角函数的定义求其定义域、
函数值的符号.
2.理解单位圆、正弦线、余弦线、正切线的概念及意义.
3．会应用三角函数的定义解决相关问题．
【要点梳理】
要点一：三角函数定义
设
?
是一个任意角,它的终边与半径是
r
的圆交于点
P(x ,y)
,则
r?x
2
?y
2
，那么:
y
y
做
?
的正弦,记做
sin
?
,即
sin
?
?
；
r
r
xy
(2) 叫做
?
的余弦 ,记做
cos
?
,即
cos
?
?
；
rr
y
y
(3)叫做
?
的正切,记做
tan
?
,即
tan
?
?(x?0)
.
x
x
(1)
要点诠释：
（1）三角函数的值与点
P
在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到
原点的距离
r?x
2< br>?y
2
,那么
sin
?
?
y
x
2< br>?y
2
,
cos
?
?
x
x
2
?y
2
,
tan
?
?
y
．
x
（2）三角函数符号是一个整体，离开
?
的sin、cos、tan等是没有意义的，它们表示 的
是一个比值，而不是sin、cos、tan与
?
的积．
要点二：三角函数在各象限的符号
三角函数在各象限的符号：
y
+
+
o
x
-
-
正弦、余割
-+
o
x
-+
余弦、正割
y
-
+
o
x
+-
正切、 余切
y

在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四
余弦．
要点诠释：
口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限 正切

值为正，在第四象限余弦值为正．
要点三：单位圆中的三角函数线 圆心在原点，半径等于1的圆为单位圆．设角
?
的顶点在圆心O，始边与
x
轴正半轴重合，
终边交单位圆于P，过P作PM垂直
x
轴于M，作PN垂直
y
轴于点N.以A为原点建立
y
?
轴与
y
轴同向，与
?
的终边(或其反向延长线)相交于点
T
(或
T
?
)，则 有向线段0M、0N、AT(或
AT
?
)
分别叫作
?
的余弦 线、正弦线、正切线，统称为三角函数线.有向线段：既有大小又有方向的
线段.
要点诠释：
三条有向线段的位置：
正弦线为
?
的终边与单位圆的交点到
x
轴的垂直线段；
余弦线在
x
轴上；
正切线在过单位圆与
x
轴的正方向的交点的切线上；
三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外.
【典型例题】
类型一：三角函数的定义
例1．（1）已知角
?
的终边经过点P（－4a， 3a）（a≠0），求sin
?
，cos
?
，tan
?
，c ot
?
的
值；
（2）已知角
?
的终边在直线
y? 3x
上，求sin
?
，cos
?
，tan
?
的值．
【思路点拨】先根据点P（－4a，3a）求出OP的长；再分a＞0，a＜0两种情况结合任意
角的三角函数的定义即可求出结论
3131
34343434
,,3
或
?,?,3
【答案】 （1），
?
，
?
，
?
或
?
，，
?
，
?
（2）
2222
55435543
【解析】 （1）
r?(?4a)
2
?(3a)
2
?5|a|
．
若a＞0，则r=5a，角
?
在第二象限，则
sin
?
?
tan
?
?
y3a3x?4a4
??
，
cos?
????
，
r5a5r5a5
x?4a4
y3a3
??
．
???，
cot
?
??
y3a3
x?4a4
若a＜0，则r= －5a，角
?
在第四象限，则
3434
sin
?
??，
cos
?
?
，
tan
?
??
，cot
?
??
．
5543

（2）因为角
?
的终边在直线
y?3x
上，
所以可设
P(a,3a)(a?0)
为角
?
终边上任意一点．
则
r?a
2
?(3a)
2
?2|a|
（a≠0）．
若a＞0，则
?
为第一象限角，r=2a，所以
sin
?
?
3a3
?
，
2a2
cos< br>?
?
tan
?
?
a1
?
，
2a2
3a
?3
．
a
3a3
a1
??< br>，
cos
?
????
，
?2a2
2a2
若a ＜0，则
?
为第三象限角，r=－2a，所以
sin
?
?
3 a
?3
．
a
tan
?
?
【总结升华】 三角函 数值的大小与点P在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关．本
题应注意把函数
y??3x
的图象看作以原点为端点的两条射线，故应有两种答案，要善于利
4
用三角函 数的定义及三角函数的符号规律解题．
举一反三：
【变式1】已知角
?
的终边上一点
P(?3,m)
，且
sin
?
?
2m
，求
cos
?
,tan
?
的值.
4
【解析】由题 设知
x??3
，
y?m
，所以
r
2
?|OP|2
?(?3)
2
?m
2
，得
r?3?m
2，
从而
sin
?
?
2m
mm
??
，
2
4
r
3?m
解得
m?0
或
16?6?2 m
2
?m??5
.
当
m?0
时，
r?3,x??3
，
cos
??
xy
??1,tan
?
??0
；
rx
x6 y15
当
m?5
时，
r?22,x??3
，
cos
?
???,tan
?
???
；
r4x3< br>x6y15
当
m??5
时，
r?22,x??3
，
cos
?
???,tan
?
??
.
r4x3

【高清课堂：任意角的三角函数385947 例2】
【变 式2】已知角
?
的终边落在y=|2x|上，求
cos
?
值．
【答案】
55
或
?

55
【解析】
Q
y=|2x|，
?y??2x

取点P（1，2），
P
'
(?1,2)

r?|OP|?|OP
'
|?5

?cos
?
?
5
x15
或
?

??
5
r5
5
类型二：三角函数的符号
?
17< br>?
例2．（1）判断
tan
?
?
?
?
的符号 ；
?
6
?
（2）若sin
?
=―2cos
?，确定tan
?
的符号；
（3）已知
?
为第二象限角，判断3 sin
?
cos
?
+2tan
?
的符号；
（4） 若sin
?
＜0，cos
?
＞0，则
?
是第几象限角？ < br>（5）若sin2
?
＞0，且cos
?
＜0，试确定
?
终边所在象限？
【答案】（1）正（2）负（3）负（4）四（5）三
【解析】（1）因 为
?
?
17
?
以
tan
?
?
?< br>?
?0
．
?
6
?
17717
7
?
??4
?
?
?
，且
?
是第三象限角，所以
?
?
是第三象限角．所
666
6
（2）由sin
?
=―2cos
?
，知sin
?
与cos
?
异号，故
?
是第二或第四象限角．当
?
是第二
象限角时，tan
?
＜ 0；当
?
是第四象限角时，tan
?
＜0．综上知，tan
?
＜0．
（3）因为
?
为第二象限，所以sin
?
＞0，cos< br>?
＜0，tan
?
＜0，所以3sin
?
cos
?< br>+2tan
?
＜0．
（4）因为sin
?
＜0，所以
?
为第三或第四象限角，
又cos
?
＞0，所以
?
为第一或第四象限角，
所以
?
为第四象限角．
（5）因为sin2
?
＞0，所以 2kπ＜2
?
＜2kπ+π（k∈Z），
所以
k
?
??
?k
?
?
?
2
（k∈Z）．

当k为偶数时，
?
是第一象限；当k为奇数是，
?
为第三象限象．所以?
为第一或第三
象限角．
又因为cos
?
＜0，所以
?
为第二或第三象限角，或
?
终边在x轴的非正半轴上．
综上知，角
?
终边在第三象限．
【总结升华】第一象限角，函数值全为正； 第二象限角，只有正弦值为正；第三象限角，
正切值为正；第四象限角，只有余弦角为正．
举一反三：
【变式1】求函数
y?
【答案】{－1，3}
【解析】 由题意知，角x的终边不在坐标轴上．
sinxcosxtanx
???3
；
sinxcosxtanx
sinx?cosxtanx
当x是第二象限角时，
y?????1
；
si nxcosx?tanx
sinx?cosxtanx
当x是第三象限角时，
y??? ??1
；
?sinxcosxtanx
sinxcosxtanx
当x是第 四象限角时，
y?????1
，
?sinxcosx?tanx
sinx|cosx|tanx
??
的值域．
|sinx|cosx|tanx|
当x是第一象限角时，
y?
故函数
y?
sinx|cosx|tanx
??
的值域为{－1，3}．
|si nx|cosx|tanx|
【总结升华】本题主要考查三角函数值在各象限的符号，并将其与函数的值 域、绝对值
等有关知识结合进行综合考查．本题运用了分类讨论思想．分象限讨论各三角函数值的符号< br>是解决这类问题的基本方法，注意讨论时要不重不漏，所有可能的情况要考虑全面．
类型三：三角函数线的应用
?
?
?
例3．若
?
?
?
0,
?
，求证：
sin
?
?
?
?tan
?
.
?
2
?
【思路点拨】利用正弦、余弦的三角函数线去证明．
【证明】
如图，设角
?
的终边与单位圆相交于点P，单位圆与x轴正半轴的
交点为A，过点A作圆的切线交OP的延长线于点T，过点P作PM⊥OA于点M，连接AP，
则：
在Rt△POM中，sin
?
=MP；

在Rt△AOT中，tan
?
=AT．
又根据弧度制的定义 ，有
l
?
?
?
?OP?
?
．
AP
易知S
△
POA
＜S
扇形
POA
＜S
△
AOT
，
111
即
OA?MP?l
?
?OA?OA?AT
，
AP
222
即sin
?
＜
?
＜tan
?
．
【总结升华】三角函数线是几何图形来表示数，即用几何方法表示三角函数值，是数形
结合 的有利工具，因此在三角证明求值等问题中，常会有意想不到的作用．
例4．在单位圆中画出满足下列 条件的角
?
的终边范围，并由此写出角
?
的集合：
（1）
sin
?
?
3
1
；（2）
cos
?
??< br>．
2
2
【思路点拨】利用单位圆中的三角函数线去解．
?
2
?
2
?
4
?
????
,k?Z
?
（2）
?
?
2k
?
??
?
?2k
??,k?Z
?
【答案】（1）
?
?
2k
?
? ?
?
?2k
?
?
3333
????
【解析】（1） 作直线
y?
3
交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成
2
的区域，如下图①中阴影部分，即为角
?
的终边的范围．
?
2
?
??
,k?Z
?
． 故满足条件的角
?
的集合为
?
?
2k
?
??
?
?2k< br>?
?
33
??

1
（2）作直线< br>x??
交单位圆于C、D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域
2
如 上图②中阴影部分，即为角
?
的终边的范围．
2
?
4
?< br>??
?
?
?2k
?
?,k?Z
?
． 故满足 条件的角
?
的集合为
?
?
2k
?
?
33< br>??
【总结升华】 利用单位圆中三角函数线，可以非常直观方便地求出形如
f(
?
)?m
或
f(
?
)?m
的三角函数的角的范围，起到“ 以形助数”的作用．

举一反三：
【变式1】 求满足
cos
?
?
3
的
?
的取值范围．
2
?
11
?
??
?2k
?
,k?Z
? 【答案】
?
?
|2k
?
??
?
?
6 6
??
【解析】作直线
x?
3
与单位圆交于A、B两点，连接OA、 OB，阴影
2
部分便是角
?
的终边范围，如图所示．
终边 在OA上的最小正角为
2
?
?
?
，终边在OB上的最小正角为
6
?
6
?
11
?
．
6
?
11
?
??
?2k
?
,k?Z
?
． ∴角
?< br>的集合为
?
?
|2k
?
??
?
?
6 6
??
类型四：三角函数定义域的求法
例5．求函数
y?lgsin2x?9?x
2
的定义域
【思路点拨】要使式子有意义，则必须使被开方数大于等于零，然后再解三角不等式．
??< br>??
【答案】
?
x|?3?x??或0?x?
?

22
??
【解析】 ∵sin2x＞0，∴2kπ＜2x＜2kπ+π（k∈Z），
∴
k
?
?x?k
?
?
?
2
（k∈ Z）． ①
又9－x
2
≥0，∴－3≤x≤3． ②
求①与②的交集如图所示，
得
?3?x??
?
2
或
0?x?
?
2
．
??
??
故函数的定义域为
?
x|?3?x??或0?x?
?
．
22
??
【总结升华】 求函数的定义域是一种重要题型，要注意利用数形结合的方法求解，特别
注意tan
?
本身的定义域；在求不等式的交集时，应注意利用数轴求解，有些三角不等式，我
们还可以利用单位圆来 求解．
举一反三：
【变式1】求函数
y?sinx?1?tanx
的定义域．

??
????
【答案】
?
x2n
?
?x?2n
?< br>?,n?Z
?
U
?
x2n
?
??x?2n
?
?
?
,n?Z
?

42
????
?
?
sinx?0
?
【解析】 由题意得
?
tanx?1
．
?
?
?
x?n
?
?(n?Z)
?2
由图可知：
sin x≥0时，角x的终边落在图中横线阴影部分；
tan x≤1时，角x的终边落中图中竖线阴影部分．
从终边落在双重阴影部分的角中排除使
x?
∴该函数的定义域为：
?
2
?2n
?
(n?Z)
的角即为所求．
??< br>????
x2n
?
?x?2n
?
?,n?ZUx2n
?
??x?2n
?
?
?
,n?Z
?
．
???
42
????
【高清课堂：任意角的三角函数385947 例6】
【变式2】求下列函数的定义域
（1）
y?cosx?lg(2?x?x
2
)
； （2）
y??sinx?tanx
.
?
?
3
???
【答案】（1）
?
x|?1?x?
?
（2）
?
x|2k< br>?
?
?
?x?
?
?2k
?
,k?z
?

2
?
2
???
【解析】
??
??
cosx?0
2k
?
??x??2k
?
,(k?z)
?
?
（1）
?
，
22
?
2
?< br>2?x?x?0
?
?
(x?1)(x?2)?0
?
??
?
?
x|?1?x?
?

2
??
?
?s inx?0
?
sinx?0,
（2）
?
，
?
?
?
tanx?0
?
tanx?0
3
??
?< br>?
x|2k
?
?
?
?x?
?
?2k
?
,k?z
?

2
??

【巩固练习】
1．若P（3，y）是角
?
终边上 的一点，且满足y＜0，
cos
?
?
3
5
，则tan
?
=（ ）
A．
?
3344
4
B．
4
C．
3
D．
?
3

2．下列三角函数值结果为正的是（ ）
A．cos100° B．sin700° C．
tan
?
?
2
?
?
?
D．< br>sin
?
9
?
?
?
?
3
?
?
?
?
4
?
?

3．化简
sin390
0
的值是（ ）
A．
1
2
B．
?
1
33
2
C．
2
D．
?
2

4．若角
?
的终 边落在直线
x?y?0
上，则
sin
?
1?sin
2
?
?
1?cos
2
?
cos
?
的值等于（ ）．
A．
2
B．
?2
C．
?2
或
2
D．
0

5．若sin
?
＜0且tan
?
＞0，则（ ）
A．
sin
?
2
?0
B．
cos
?
2
?0
C．
tan
?
2
?0
D．以上均不对
6．设角A 是第三象限角，且
sin
A
2
??sin
A
2
，则
A
2
在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．已知
sin
?
?sin
?
，那么下列命题成立的是（ ）
A.若
?
,
?
是第一象限角，则
cos
??cos
?

B.若
?
,
?
是第二象限角，则
tan
?
?tan
?

C.若
?
,
?
是第三象限角，则
cos
?
?cos
?

D. 若
?
,
?
是第四象限角，则
tan
?
?tan?

8．已知点P（sin
?
－cos
?
，tan?
）在第一象限，则在[0，2π）内
?
的取值范围是（
A．
?
?
?
3
?
?
?
U
?
?
?
,
5
?
?
?
B．
?
?
?
,
?
?
?
2
,
4
??
4
?
U
?
5
?
?
?
?
42
?
?
?
?
,
4
?
?


）

?
?
3
?
C．
?
,
?
24
??
5
?
3
?
??
??
??
3
?
?
U,
,
?
?
D．
????
,
?
U
?
42
424
???
? ???
9．若角
420
o
终边上有一点
?
?4,a
?
，则
a
的值为 ．
10．已知角
?
的终边经过点P（
3a?9,a?2
）,且
sin
?
?0,cos< br>?
?0,
则
?
的取值范围
为 ． 11．若
?
?
?
6
，则cos2
?
=____ ____；若
cos2
?
??2k
?
（k∈Z）
1
，则
?
=________．
2
12．方程
sinx?
1 ?a
?
?
?
在
?
,
?
?
上有两个 实数解，则实数
a
的取值范围为 ．
2
?
3< br>?
?
?
?
13．已知角
?
的终边过点P（－3cos
?
，4cos
?
），其中
?
?
?
,
?
?
，求sin
?
，cos
?
，tan
?
的
?
2
?
值．
14．已知
?
?(0,)
，
2
（1）比较
?、
sin
?
、
tan
?
的大小；（2）求证：
sin
?
?cos
?
?1
．
15．求下列三角函数的定义域：
（1）
y?2cosx?1
；（2）y?lg(3?4sin
2
x)
．

【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】 由
cos
?
?
2．【答案】C
24
4
?
2
?
【解析】 由于
?
???2
?
?
?
，
?
在第三象限，∴
tan?
?
?
?
?0
．
33
3
?
3
?
x3y?44
?
知r=5，∴
y??5
2
?3
2
??4
，∴
tan
?
????
．
r5x33
?
3. 【答案】A
【解析】
sin390
0
?sin(360
0
?30
0
)?sin(180
0< br>?60
0
)?sin30
0
?
4. 【答案】D
【解析】
sin
?
1?cos
2
?
sin
?
???
，
2
cos
?
cos
?
co s
?
1?sin
?
sin
?
1

2
当
?
是第二象限角时，
sin
?
sin
?
sin
?
sin
?
?????0
；
cos
?
c os
?
cos
?
cos
?

当
?是第四象限角时，
5．【答案】D
sin
?
sin
?
sin
?
sin
?
????0

cos
?
cos
?
cos
?
cos
?
【解析】 ∵sin
?
＜0且tan
?
＞0，∴
?
是第三象限角，∴
cos< br>?
?
是第二、四象限角，∴
sin
与
2
2
?
2
正负不确定，故A、B不对；而
tan
?
2
?0
，C不对，故选D．
6．【答案】D
【解析】 ∵角A是第三象限角，则
sin
A
A
?0
，∴是第四象限，故选D．
2
2
AA
A
可能是第二或第四象限角，又
sin??sin
，故
22
2
7. 【答案】D
【解析】画出三角函数线即可．
8．【答案】B
?
sin
?
?cos
?
?0
?
sin
?
?cos
?
【解析】 由题意，得
?
，∴
?
，
tan
?
?0tan?
?0
??
∴
2k
?
?
?
4
?
?
?2k
?
?
?
2
或
2k
?< br>?
?
?
?
?2k
?
?
?
?
．
?
5
?
，k∈Z，
4
?
??
??< br>5
?
而
?
∈（0，2π），
?
?
?
,
?
U
?
?
,
4
?
42
??9．【答案】
?43

【解析】
tan420
0
?a
,a??4tan420
0
??4tan60
0
??43
?4
10．【答案】
?
?2,3
?

【解 析】因为cosa≤0,sina>0，所以π2≤a＜π，所以P在第二象限或在y轴的正半轴上，
所 以3a-9≤0，且a+2＞0，解得-2＜a≤3．
1
?
11．【答案】
k
?
?
（k∈Z）
26
【解析】 当
?
?
当
cos2
?
?
?
?
?
?
1
?
?2k
?
（k∈Z）时，
cos2
?
?cos< br>?
4k
?
?
?
?cos?
；
3
?
32
6
?
1
?
?
时，有
2
??2k
?
?
或
2
?
?2k
?
?
（k∈Z），
233

∴
?
?k
?
??
6
（k∈Z）．
12．【答案】
?1?a?1?3
【解析】在单位圆中画出正弦线
sin
?
，若要使方程有两个实根，即一个函数值 ，能得到两个
x
与之对应，只能是
31?a
??1
，解之得：
?1?a?1?3
．
22
?
?
?
?
?
?
,
?
?
2
??
13．【解析】因为，所以cos
?
＜0，所以
r?(?3cos
?
)
2
?(4cos
?
)
2
?5|cos
?
|??5cos
?
． < br>于是
sin
?
?
4cos
?
4?3cos
?
34cos
?
4
??
，
cos
?
??，
tan
?
???
．
?5cos
?
5?5c os
?
5?3cos
?
3
14．【解析】（1）设单位圆半径是1， sina=圆内小三角形面积S
1
×2，a=圆弧所围面积S
2
×2
tana=圆外大三角形面积S
2
×2，S
3
>S
2
>S
2
所以：sina＜a＜tana

（2）在上图中，有三角形两边之和 大于第三边，证得
1?sin
?
?cos
?
。
15．【解析】（1）如图（1），∵2cos x－1≥0，∴
cosx?
1
，
2
??
??
∴< br>x?
?
2k
?
?,2k
?
?
?
（k ∈Z）．
33
??
（2）如图（2），∵3－4sin
2
x＞0， ∴
sin
2
x?
∴
?
33
?sinx?
．
22
3
．
4

??
??
2
?
4
?
??
,2k
?
?
∴
x?
?
2k
?
?,2k
?
?
?
U
?
2k
?
?
，
?
（k∈Z）
3333
????
??
??
即
x?
?
k
?
?,k
?
?
?
（k∈Z）．
33
??