1.1.2集合间的基本关系知识点归纳与练习

1.1.2 集合间的基本关系
课时目标 1.理解集合之间包含与相等的含义.2. 能识别给定集合的子集、真子集，并
能判断给定集合间的关系.3.在具体情境中，了解空集的含义．


1．子集的概念
一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中____ ____元素都是集合B中的元素，我们
就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作_ _____(或______)，读作
“__________”(或“__________”)．
2．Venn图：用平面上______曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．
3．集合相等与真子集的概念


定义 符号表示 图形表示
集合
相等
真子集
如果__________，
就说集合A与B相等
A＝B


如果集合A?B，但存在元素__________，
AB
(或BA)
称集合A是B的真子集
4.空集
(1)定义：______________的集合叫做空集．
(2)用符号表示为：____.
(3)规定：空集是任何集合的______．
5．子集的有关性质
(1)任何一个集合是它本身的子集，即________．
(2)对于集合A，B，C，如果A?B，且B?C，那么________________________ ___．

1．子集概念的多角度理解
(1)“
A
是
B
的子集”的含义是：集合
A
中的任何一个元素都是集合
B
的元素，即 由任意
x
∈
A
能推出
x
∈
B
.
(2)不能把“
A
?
B
”理解成“
A
是
B
中部分元素组成的集合”，因为当
A
＝?时，
A
?
B
，但< br>A
中不
含任何元素；又当
A
＝
B
时，也有
A
?
B
，但
A
中含有
B
中的所有元素，这两种情况都 有
A
?
B
.
拓展 当
A
不是
B
的子集时，我们记作“
AB
”(或
BA
)．
2．对元素与集合、集合与集合关系的分析与拓展
(1)元素与集合之间的关系是从属关系，这种关系用符号“∈”或“?”表示．
(2)集合与集合之间的关系有包含关系，相等关系，其中包含关系有：含于(?)、包含 (?)、< br>真包含于()、真包含()等，用这些符号时要注意方向，如
A
?
B
与
B
?
A
是相同的．



一、选择题
1．集合P＝{x|y＝x＋1}，集合Q＝{y|y＝x－1}，则P与Q的关系是( )
A．P＝Q B．PQ
C．PQ D．P∩Q＝?
2．满足条件{1,2}M?{1,2,3,4,5}的集合M的个数是( )
A．3 B．6 C．7 D．8
3．对于集合A、B，“A?B不成立”的含义是( )
A．B是A的子集
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B．A中的元素都不是B中的元素
C．A中至少有一个元素不属于B
D．B中至少有一个元素不属于A
4．下列命题：
①空集没有子集；
②任何集合至少有两个子集；
③空集是任何集合的真子集；
④若?A，则A≠?.
其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
5．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x
2
＋x＝0}关系的Ve nn图是( )


6．集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y ＝3n＋1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}
之间的关系是( )
A．SPM B．S＝PM
C．SP＝M D．P＝MS
题 号
1 2 3 4 5 6
答 案

二、填空题
7．已知M＝{x|x≥22，x∈R}，给定下列关系：①π∈M；②{π}M ；③πM；④{π}
∈M.其中正确的有________．(填序号)
8．已知集合A＝{ x|19．已知集合A{2,3,7}，且A中至多有1个奇数，则这样的集合共有________个．
三、解答题
10．若集合A＝{x|x
2
＋x－6＝0}，B＝{x|x< br>2
＋x＋a＝0}，且B?A，求实数a的取值范围．
















11．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤ 2m－1}．若B?A，求实数m的取
值范围．

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能力提升
12．已知集合A＝{ x|1


















13．已知集合A{1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合有________个.

1．1.2 集合间的基本关系
知识梳理
1．任意一个 A?B B?A A含于B B包含A 2.封闭
3．A?B且B?A x∈B，且x?A 4.(1)不含任何元素 (2)?
(3)子集 5.(1)A?A (2)A?C
作业设计
1．B [∵P＝{x|y＝x＋1}＝{x|x≥－1}，Q＝{y|y≥0}
∴PQ，∴选B.]
2．C [M中含三个元素的个数为3，M中含四个元素的个数也是3， M中含5个元素
的个数只有1个，因此符合题意的共7个．]
3．C
4．B [只有④正确．]
5．B [由N＝{－1,0}，知NM，故选B.]
6．C [运用整 数的性质方便求解．集合M、P表示成被3整除余1的整数集，集合S
表示成被6整除余1的整数集．]
7．①②
解析 ①、②显然正确；③中π与M的关系为元素与集合的关系，不应该用“”符< br>号；④中{π}与M的关系是集合与集合的关系，不应该用“∈”符号．
8．a≥2
解析 在数轴上表示出两个集合，可得a≥2.
9．6
解析 (1)若A中有且只有1个奇数，
则A＝{2,3}或{2,7}或{3}或{7}；
(2)若A中没有奇数，则A＝{2}或?.
10．解 A＝{－3,2}．对于x
2
＋x＋a＝0，
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1
(1)当Δ＝1－4a<0，即a>时，B＝?，B?A成立；
4
11
(2)当Δ＝1－4a＝0，即a＝时，B＝{－}，B?A不成立；
42
1
(3)当Δ＝1－4a>0，即a<时，若B?A成立，
4
则B＝{－3,2}，
∴a＝－3×2＝－6.
1
综上：a的取值范围为a>或a＝－6.
4
11．解 ∵B?A，∴①若B＝?，
则m＋1>2m－1，∴m<2.
②若B≠?，将两集合在数轴上表示，如图所示．
m＋1≤2m－1，
?
?
要使B?A，则
?
m＋1≥－2，
?
?
2m－1≤5，

m≥2，
?
?
解得
?
m≥－3，
?
?
m≤3，


∴2≤m≤3.
由①、②，可知m≤3.
∴实数m的取值范围是m≤3.
12．解 (1)当a＝0时，A＝?，满足A?B.
12
(2)当a>0时，A＝{x|aa
又∵B＝{x|－11
≥－1，
a
∴∴a≥2.
2
≤1，
a
21
(3)当a<0时，A＝{x|aa
2
≥－1，
a
∵A?B，∴∴a≤－2.
1
≤1，
a
?
?
?

?
?
?

综上所述，a＝0或a≥2或a≤－2.
13．5
解析 若A中有一个奇数，则A可能为{1}，{3}，{1,2}，{3,2}，
若A中有2个奇数，则A＝{1,3}．

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