学生版高中数学必修直线与圆的位置关系知识点总结经典例题与习题

学生版-高中数学必修2直线与圆的位置关系知识点总结经典例题与习题
高中数学必修2

直线与圆的位置关系

【一】、圆的定义及其方程．
（1）圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹 )
叫做圆，定点叫做圆心，定长就是半径；（圆心
是定位条件，半径是定型条件）
（2）圆的标准方程： ；圆心
(a,b)
，半径
为
r
；
圆的一般方程：
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0(D
2
?E
2< br>?4F?0)
；圆
心 ，半径为 ；
【二】、点与圆的位置关系（仅以标准方程为例，其他形式，则
可化为标准式后按同样方法处理 ）
设
P(x
0
,y
0
)
与圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
；若
P
到圆心之 距为
d
；
①
P
在在圆
C
外 ；
②
P
在在圆
C
内 ；
③
P
在在圆
C
上 ；

【三】、直线与圆的位置关系：
设直线
l:Ax?By?C?0和圆
C:(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
，圆心
C
到直
线
l
之距为
d
，由直线
l< br>和圆
C
联立方程组消去
x
（或
y
）后，所得
一元二次方程的判别式为
?
，则它们的位置关系如下：
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相离 ；相切 ；
相交 ；
注意：这里用
d
与
r
的关系来判定，称为几何法，只有对圆才< br>实用，也是最简便的方法；利用
?
判定称为代数法，
对讨论直线和二次曲线的位 置关系都适应。

【四】、两圆的位置关系：
（1）代数法：解两个圆的方程所组 成的二元二次方程组；若方
程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方程组
有两组相同的实数 解，则两圆相切；若无实数解，
两圆相离。
（2）几何法：设圆
O
1
的半径为
r
1
，圆
O
2
的半径为
r
2< br>
①两圆外离 ；
②两圆外切 ；
③两圆相交 ；
④两圆内切
⑤两圆内含 ；

（五）

已知圆C：()+()(r>0)，直线L：0

1．位置关系的判定：
222
2 9

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判定方法1：联立方程组
y)的方程
(1)△>0
(2)△=0
(3)△<0

相交；
相切；
相离。
得到关于x(或
判定方法2：若圆心(a，b)到直线L的距离为d
(1)d (2)
相交；
相切；
相离。
22
(3)d>r
例1、判断直线L：(1)(1)21=0与圆O：x=9的位置关系。





例2、求圆x=1上的点到直线3425的距离的最大最小值




22
1．切线问题：
例3：
(1)已知点P(x0
，y
0
)是圆C：x上一点，求过点P的圆C的
切线方程；(x
00
)
3 9
2
222

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例4、求过下列各点的圆C：x-244=0的切线方程：
(1)




22
； （2） B(4，5)
(2)已知圆O：x=16，求过点P(4,6)的圆的切线的方程。



22

注：
(1)判断直线与圆的位置关系有两种方法，但利用圆心到直线 的
距离与半径的关系来判断在计算上更简洁。

(2)过圆外一点向圆引切线，应有两条；过圆上一点作圆的切
线，只有一条。

例6 、从直线L：210=0上一点做圆O：x=4的切
线，切点为A、B，求四边形面积的最小值。



22
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例7、(切点弦)过圆外一点P(a，b)做圆O：x的切线，切点为
A、B，求直线的方程。







222
2、弦长问题
例8、
(1)若点P(2，-1)为圆(1)=25的弦的中点，求直线的方程。





22
(2)若直线2与圆x=4相交于A、B两点，求弦的中点M的
轨迹。





22
(3)经过原点作圆x+244=0的割 线l，交圆于A、B两点，
求弦的中点M的轨迹。


22





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精选习题：
1 在直角坐标系中，直线
x?3y?3?0
的倾斜角是（ ）
A． B． C．

?
6
?
3
5
?
6
D．
2
?
3

2 直线
ax?by?c?0
同时要经过第一 第二 第四象限，则
a、b、c
应满足（ ）
A．
ab?0,bc?0
B．
ab?0,bc?0
C
D．
ab?0,bc?0

3 直线
3x?4y?9?0
与圆
x
2
?y
2．
ab?0,bc?0
?4
的位置关系是（ ）
A．相交且过圆心 B．相切 C．相离 D．相
交但不过圆心
4 过两点
(?1,1)和(3,9)
的直线在x轴上的截距是( )
A．
?
B．
?
C． D．2
< br>3
2
2
3
2
5
5.若直线1与圆x=1相交，则点P (a，b)的位置是
A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.以上皆有可
能

22
6．已知点
A(1,2),B(3,1)
，则线段
AB
的垂直平分线的方程是（ ）
A．
4x?2y?5
B．
4x?2y?5

C．
x?2y?5
D．
x?2y?5


7．若
A(?2,3),B(3,?2),C(,m)
三点共线 则
m
的值为（ ）
1
2
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Ａ． Ｂ．
?
Ｃ．
?2
Ｄ．
2


8．直线
xy
??1
在
y
轴上的截距是（ ）
22
ab
1
2
1
2
A．
b
B．
?b
2
C．
b
2
D．
?b


9．直线
kx?y?1?3k
，当
k
变动时，所有直线都通过定点（ ）
A．
(0,0)
B．
(0,1)

C．
(3,1)
D．
(2,1)


1 0．直线
xcos
?
?ysin
?
?a?0
与
xs in
?
?ycos
?
?b?0
的位置关系是
（ ）
A．平行 B．垂直
C．斜交 D．与
a,b,
?
的值有关

11．直线
3x?y?3? 0
与
6x?my?1?0
平行，则它们之间的距离为
（ ）
A．
4
B．

12、若直线
x?1
的倾斜 角为
?
，则
?
?
（ ）
A、
0
?
B、
45
?
C、
90
?
D、不存在

257
13
C．
13
D．
10
< br>132620
13．经过圆
x
2
?2x?y
2
?0< br>的圆心
C
，且与直线
x?y?0
垂直的直线方
程是（ ）

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A．
x?y?1?0
B．
x?y?1?0
C．
x?y?1?0
D．
x?y?1?0



14（安徽文）直线
x?y?1
与圆
x
2
?y
2
?2ay?0(a?0)
没有公共 点，则
a
的取值范围是 （ ）

A．
D．
(0,

(0,2?1)
B．
(2?1,2?1)
C．
(?2?1,2?1)

2?1)

15、经过点A（1，2），且在两坐标轴上的截距相等的直线共有
（ ）
A、1条 B、2条 C、3条 D、4
条

16、方程
x
2
?4y
2
?0
表示的图形是（ ）
A、两条相交而不垂直的直线 B、一个点
C、两条垂直直线 D、两条平行直线

17、下列说法正确的是
A、 若直线
l
1
与
l
2
的斜率相等，则
l
1
∥
l
2
；
B、若直线
l
1< br>∥
l
2
，则
l
1
与
l
2
的 斜率相等；

C、若一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则它
们一定相交；
D、 若直线
l
1
与
l
2
的斜率都不存在，则
l
1
∥
l
2

8 动点在圆
x
2
?y
2
?1
上移动时，它与定点
B(3,0)
连线的中点的
轨迹方程是( )
A．
(x?3)
2
?y
2
?4
B．< br>(x?3)
2
?y
2
3
2
1
2
?1

C．
(2x?3)
2
?4y
2

?1
D．
(x?)
2
?y
2
?

19.直线l过点A(0，2)且与半圆C：(1)=1(y≥0)有两个不
同的交点，则 直线l的斜率的范围是
8 9
22

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20 已知点
M(a,b)
在直线
3x?4y?15
上，则
a
2< br>?b
2
的最小值为

21、m为任意实数时，直线（m－1）x＋(2m－1)y＝m－5必过定
点 。



22.若圆x-45=0上的点到直线340距离的最大值是4，求k

22







23.一个圆经过点P(2，-1)和直线1相切，且圆心在2x上，求
它的方程。




22

24.已知点P是圆x=4上一动点，定点Q(4，0)，求线段中点的
轨迹方程。




25．已知过点
M(?3,?3)
的直线
l
被圆
x
2
长为
4

9 9
5
，求直线
l
的方程．

?y
2
?4y?21?0
所截得的弦