《空间中点、直线、平面之间的位置关系》知识点总结

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高中数学必修2知识点总结
第一章 空间几何体
1.1柱、锥、台、球的结构特征
1.2空间几何体的三视图和直观图
1 三视图：
正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下
2 画三视图的原则：
长对齐、高对齐、宽相等
3直观图：斜二测画法
4斜二测画法的步骤：
（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；
（2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；（3）.画法要
写好。
5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图
1.3 空间几何体的表面积与体积
（一 ）空间几何体的表面积
1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和 2 圆柱的表面积
S?2
?
rl?2
?
r
2
3 圆锥的表面积
S?
?
rl?
?
r
2
4 圆台 的表面积
S?
?
rl?
?
r
2
?
?
Rl?
?
R
2

5 球的表面积
S?4
?
R
2

（二）空间几何体的体积
1柱体的体积
V?S?h
2锥体的体积
V?
1
底
3
S
底
?h

3台体的 体积
V?
1
3
（S
4
上
?S
上
S
下
?S
下
)?h
4球体的体积
V?
3
?
R
3

第二章《空间中点、直线、平面之间的位置关系》知识点总结
1.内容归纳总结
（1）四个公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
符号语言：
A?l,B?l,且A?
?
,B?
?
???l?
?
。





公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
三个推论：① 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面
② 经过两条相交直线，有且只有一个平面
③ 经过两条平行直线，有且只有一个平面
它给出了确定一个平面的依据。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条 过该点的
公共直线（两个平面的交线）。
符号语言：
P?
?
,且P ?
?
?
?
I
?
?l,P?l
。
公理4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。
符号语言：
al,且bl?ab
。
（2）空间中直线与直线之间的位置关系
1.概念 异面直线及夹角：把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
已知两条异面直线
a,b
，经过空间任意一点O作直线
a
?
a,b< br>?
b
，我们把
a
?
与
b
?
所 成的角（或直角）叫异面直线
a,b
所成的夹角。（易知：夹角
范围
0??
?90?
）
定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两 边分别平行，那么这
两个角相等或互补。（注意：会画两个角互补的图形
）
?
?
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点;
2.位置关系：
?
?共面直线
?
?
平行直线：同一平面内，没有公共点;

?
?
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
（3）空间中直线与平面之间的位置关系
直线与平面的位置关系有三种：
?
直线在平面内（
?
l?
?
）有无数个公共点
?
?
直线与平面相交（l
I
?
? A）有且只有一个公共点

?
直线在平面外
?
?
?
直线与平面平行（l
?
）没有公共点
（4）空间中平面与平面之间的位置关系
平面与平面之间的位置关系有两种：
?
?
两个平面平行（
?

?
）没有公共点
?
两个平面相交（
?
I
?
?l） 有一条公共直线




1

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直线、平面平行的判定及其性质
1.内容归纳总结
（1）四个定理
定理 定理内容 符号表示 分析解决问题的常用方法
直线与平面
平面外的一条直线与平面
a?
?
,b?
?,且ab
在已知平面内“找出”一条直线与已知
平行的判定
内的一条直线平行，则该直
?a
?

直线平行就可以判定直线与平面平行。
线与此平面平行 即将“空间问题”转化为“平面问题”
平面与平面
一个平面内的两条相交直
a?< br>?
,b?
?
,
判定的关键：在一个已知平面内“找出”
平行的 判定
线与另一个平面平行，则这
a
I
b?P,a
?
,b< br>?

两条相交直线与另一平面平行。即将
两个平面平行
?
?

?
“面面平行问题”转化为“线面平行问

题”
一条直线与一个平面平行，
直线与平面 则过这条直线的任一平面
a< br>?
,a?
?
,
?
I
?
?b
平行的性 质 与此平面的交线与该直线
?ab

平行
平面与平面
如果 两个平行平面同时和
?

?
,
?
I
?
?a,
平行的性质
第三个平面相交，那么它们
的交线平行
?
I
?
?b?ab























2
直线、平面平垂直的判定及其性质
1.内容归纳总结
（一）基本概念
1 .直线与平面垂直：如果直线
l
与平面
?
内的任意一条直线都垂直，我们就说 直线
l
与平面
?
垂直，记作
l?
?
。直线
l
叫做平面
?
的垂线，平面
?
叫做直线
l
的垂面。 直线与平面的公共
点
P
叫做垂足。
2. 直线与平面所成的角：
角的取值范围：
0
?
?
?
?90
?
。 < br>3.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的
棱， 这两个半平面叫做二面角的面。二面角的记法： 二面角的取值范围：
0
?
?
?
?180
?

两个平面垂直：直二面角。
（二）四个定理
定理 定理内容 符号表示 分析解决问题的常用方法
直线与一条直线与一个平面在已知平面内“找出”两条相交
平面 内的两条相交直线垂
m
、
n?
?
,m
I
n?P,< br>垂直的直，则该直线与此平面
且a?m,a?n

直线与已知直线垂直就可以判定
直线与平面垂直。即将“线面垂直”
判定 垂直。
?a?
?
转化为“线线垂直”
平面与
一个平面过另一平面
a?
?
,a?
?
?
?
?
?
判定的关键：在 一个已知平面内
平面 （满足条件与
?
垂直的“找出”两条相交直线与另一平
垂直的
的垂线，则这两个平面
判定
垂直。
平面
?
有无数个）
面平行。即将“面面平行问题”
转化为“线面平行问题”
直线与
平面 同垂直与一个平面的
垂直的两条直线平行。
a?
?
,b?
?
?ab


性质
平面与两个平面垂直，则一个
平面 平面内垂直与交线的
?
?
?,
?
I
?
?l,a?
?
,
解决问题时，常添加 的辅助线
垂直的直线与另一个平面垂
a?l?a?
?
是在一个平面内作两平面交线
性质 直。
的垂线

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第三章直线方程知识点及公式
1.直线的倾斜角与斜率：
在平面直角坐标系中，对 于一条与
x
轴相交的直线，如果把
x
轴绕着交点按逆时针方向旋转
到 和直线重合时所转的最小正角记为
?
，那么
?
就叫做直线的倾斜角.当直线和
x
轴平行或
重合时，我们规定直线的倾斜角为0°.倾斜角的取值范围是0°≤
?
＜180°.倾斜角不是
90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k
表示.倾斜角是90°的直线没
有斜率.即
k?tan
?
< br>※2.斜率公式：经过两点
P
1
(x
1
,y
1
),P
2
(x
2
,y
2
)
的直线的斜率公式：< br>k?
y
2
?y
1
x
2
?x
(x1
?x
2
)

1
王新敞

※3. 直线的点斜式方程：
y?y
1
?k(x?x
1
)

直线的斜率
k?0
时，直线方程为
y?y
1
；当直线的斜率
k
不存在时，不能用点斜式求它的
方程，这时的直线方程为
x?x
1
.
※4．直线的斜截式方程：
y?kx?b
.只有当
k?0
时，斜 截式方程才是一次函数的表达式.
※※5.直线方程的一般式：
Ax?By?C?0
（
A
2
?B
2
?0
）
6. 直线方程的两点式：
y?y
1
x?x
1
y
?
.（
x
1
?x
2
，
y
1
?y
2
）
2?y
1
x
2
?x
1
7．直线方程的截距式：
x
a
?
y
b
?1
.
a
,
b
表示截距，它们可以是正，也可以是负.
8．斜率存在时两 直线的平行：
l
1
l
2
?
k
1
=
k
2
且
b
1
?b
2
.
9．斜率存在时两直线的垂直：
l
1
?l
2
?

k
1
k
2
??1
．
10．特殊情况下的两直线平行与垂直:
当两条直线中有一条直线没有斜率时：
(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行；
(2)一条 直线的斜率不存在时，即倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂
直．
11.直线
l
1
与
l
2
的夹角定义及公式: l
1
到
l
2
的角是
?
1
,

l
2
到
l
1
的角是
π
-
?
1
,两角中的锐角或
直角叫两条直线的夹角.显然当直线
l
1
⊥< br>l
2
时,直线
l
?
1
与
l
2
的夹角是
2
.

夹角的取值范围：0°＜
?
≤90°.
计算方法：如果
1?k
1
k
2
?0,即k
1
k
2
??1,则
?
?
?
2
.

王新敞

12. 两点间距离公式：
PP
2
12
? (xx
2
2
?
1
)?(y
2
?y
1
)

13．点到直线距离公式：点
P(x
0
,y
0
)
到直线
l:Ax?By?C?0
的距离为：
d?
Ax
0
?By
0
?C
A
2
?B
2

14. 两平行直线间距离公式：
d?
C
2
-C
1
A
2
?B
2

第四章圆
与方程
1、圆的标准方程 ：以点
C(a,b)
为圆心，
r
为半径的圆的标准方程是
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
.
特例：圆心在坐标原 点，半径为
r
的圆的方程是：
x
2
?y
2
?r2
.
2、点与圆的位置关系：
1. 设点到圆心的距离为d，圆半径为r：
3

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(1)点在圆上

d=r；
d＞r； (3)点在圆内
(2)点在圆外
d＜r．
2.给定点
M(x
0
,y
0
)
及圆
C: (x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
.
①M
在圆
C
内
?(x
2
C
上
?（x0
?a)
2
0
?a)?(y
0
?b)
2
?r
2
②
M
在圆
?(y
0
?b)
2
?r
2

③
M
在圆
C
外
? (x
2
0
?a)?(y
0
?b)
2
?r
2

3 、圆的一般方程：
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
.
当
D
2
?E
2
?4F?0
时，方程表示一个圆，其 中圆心
C
?
?
?
D
,
E
?
D2
?E
2
?4F
?
2
?
2
?
?
，半径
r?
2
.
当
D
2
?E
2
?4F?0
时，方程表示一个点
?
?
?
?
D2
,?
E
?
2
?
?
.
当
D
2
?E
2
?4F?0
时，方程无图形（称虚圆）.
注：（ 1）方程
Ax
2
?Bxy?Cy
2
?Dx?Ey?F?0
表 示圆的充要条件是：
B?0
且
A?C?0
且
D
2
? E
2
?4AF?0
.
4 、直线与圆的位置关系： 直线
Ax?B y?C?0
与圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
的位置关系有
三种
（1）若
d?
Aa?Bb?C
，
d?r?相离???0
；
A
2
?B
2
（2）
d?r?相切???0
； （3）
d?r?相交???0
。
4

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还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组
?
?
Ax?By?C?0
?
x
2
?y
2
?Dx?E y?F?0
求解，通过解的
个数来判断：
（1）当方程组有2个公共解时（直线与圆有2个交点），直线与圆相交；
（2）当方程组有且只有1个公共解时（直线与圆只有1个交点），直线与圆相切；
（3）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离；
即：将直线方程代入圆 的方程得到一元二次方程，设它的判别式为Δ，圆心
C
到直线
l
的
距 离为d,则直线与圆的
位置关系满足以下关系：
相切
?
d=r?
Δ＝0（2）相交
?
d?
Δ>0； （3）相离
?
d>r
?
Δ<0。
2、5 两圆的位置关系
设两圆圆心分别为O
1
，O
2
，半径分别为r
1
，r2
，
O
1
O
2
?d
。
（1）
d?r
1
?r
2
?外离?4条公切线
； （2）
d?r
1
?r
2
?外切?3条公切线
；
（ 3）
r
1
?r
2
?d?r
1
?r
2
?相交?2条公切线
；（4）
d?r
1
?r
2
?内切?1 条公切线
；
（5）
0?d?r
1
?r
2
?内含?无公切线
；

外离 外切 相交 内切 内含


5