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高中数学函数的奇偶性知识点及例题解析
一、知识要点:
1、函数奇偶性的概念
一般地,对于函数
f(x)
,如果对于函数定义域内
任意一个
x
,都有
f(?x)?f(x)
,
那么函数
f(x
)
就叫做偶函数。
一般地,对于函数
f(x)
,如果对于函数定义域内任意
一个
x
,都有
f(?x)??f(x)
,
那么函数
f(x)
就叫做奇函数。
理解:
(1)奇偶性是针对整个定义域而言的,单调性是针对定义
域内的某个区间而言的。这两个概
念的区别之一就是,奇偶性是一个“整体”性质,单调性是一个“局部
”性质;
(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。
2、
按奇偶性分类,函数可分为四类:
奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数.
3、奇偶函数的图象:
奇函数
?
图象关于原点成中心对称的函数,偶函数<
br>?
图象关于
y
轴对称的函数。
4、函数奇偶性的性质: <
br>①具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称(也就是说,函数为奇函数或偶函数的必
要条件是其
定义域关于原点对称)。
②常用的结论:若f(x)是奇函数,且x在0处有定义,则f(0)=0。
③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同,最值相反。奇函
数f(x
)在区间[a,b](0≤a偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反,最值相同。偶函数
f(
x)在区间[a,b](0≤a④任意定义在R上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。
⑤若函
数g(x),f(x),f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的,则u=g(x),y=f(u)都是奇函
数时,y=f[g(x)]是奇函数;u=g(x),y=f(u)都是偶函数,或者一奇一偶时,y=
f[g(x)]是偶函数。
复合函数的奇偶性特点是:“内偶则偶,内奇同外”.
5、判断函数奇偶性的方法:
⑴、定义法:对于函数
f(x)
的定义域内任意一个x,都有
f
?
?x
?
?f
?
x
?
〔或
或
f
?
?x
?
?f
?<
br>x
?
?0
〕
?
函数f(x)是偶函数;
对于
函数
f(x)
的定义域内任意一个x,都有
f
?
?x
???f
?
x
?
〔或
f
?
?x
?
?1
f
?
x
?
f
?
?x
?
??
1
或
f
?
x
?
f
?
?x
?
?f
?
x
?
?0
?
函数f(x)是奇函数;
判断函数奇偶性的步骤:
①、判断定义域是否关于原点对称;
②、比较
f(?x)
与
f(x)
的关系。
③、扣定义,下结论。
⑵、图象法:
图象关于原点成中心对称的函数是奇函数;图象
关于
y
轴对称的函数
是
偶
函数。,
⑶、运算法:几个与函数奇偶性相关的结论:
①奇函数+奇函数=奇函数;偶函数+偶函数=偶函数;
②奇函数×奇函数=偶函数;奇函数×偶函数=奇函数。
③若
f(x)
为偶函数,则
f(?x)?f(x)?f(|x|)
。
二、典例分析
1、给出
函数解析式判断其奇偶性:
分析:判断函数的奇偶性,先要求定义域,定义域不关于原点对称的是非奇非偶函数,
若定义域关于原点
对称,再看f(-x)与f(x)的关系.
【例1】 判断下列函数的奇偶性:
(1).
f(x)?x?2x?1;
(2) .
f(x)?
解:
f(x)
函数的定义域是
(??,??)
,
2
x
2
?2
?
x?3
?
,x?
?
x?0<
br>?
;
x
?
x?3
?
∵
f(x)?x
2
?2x?1
,∴
f(?x)?(?x)
2
?2?x?1?x
2
?2x?1?f(x)
,
∴
f(x)?x
2
?2x?1
为偶函数。
(法2—图
象法):画出函数
f(x)?x
2
?2x?1
的图象如下:
由函数
f(x)?x
2
?2x?1
的图象可知,
f(x)?x
2
?2x?1
为偶函数。
说明:解答题要用定义法判断函数的奇偶性,选择题、
填空题可用图象法判断函数的奇偶性。
(2) . 解:由
x?3
?0
,得x∈(-∞,-3]∪(3,+∞).
x?3
∵定义域不关于原点对称,故是非奇非偶函数.
【例2】
判断下列函数的奇偶性:
1?x
0
4?x
2
;
(2).
f(x)?
2
(1).
f(x)?
。
x?3?3
x?1
?
4?x
2
?0
?
解:
(1).由
?
,解得
x?3?3?0
?
?
?
?2?x?2
?
?
x?0且x??6
4?x
2
4?x
2
∴定义域为-2≤x
<0或0<x≤2,则
f(x)??;
.
x?3?3x
4?(?x)
2
4?x
2
∴
f(?x)????f(x);
.
?xx
4?x
2
∴
f(x)?
为奇函数.
x?3
?3
说明:对于
给出
函数解析式较复杂时,要在函数的定义域不变情况下,先将函数解
析式变形化简,然后再进行判断。
?
x?0
?
x?0
(2).
由
?
2
,解得
?
,∴
函数定义域为
?
x?Rx?0,x??1
?
,
x?1?0x??1
??
1?x
0
1?1
?
2
?0
,∴
f(?x)?0
, 又∵
f(x)?
2
x?1x?1
∴
f
(?x)?f(x)
且
f(?x)??f(x)
,
1?x
0
1?1
?
2
?0
既是奇函数又是偶函数。
所以
f(x)?
2
x?1x?1
【例3】
判断下列函数的奇偶性:
?
x(1?x),(x?0)
?
.
f(x)?
?
0,(x?0)
?
x(1?x),(x?0)
?
(1)
解析 (1) .函数的定义域为R,
当
x?0
时,
?x?0,f(?x)?(?x)(1?x)??x(1?x)??f(x);
当
x?0
时,
?x?0,f(?x)?0??f(x);
当
x?0
时,
?x?0,f(?x)?(?x)
?
1?(?x)?
??x(1?x)??f(x).
综上可知,对于任意的实数
x,都有
f(?x)??f(x)
,所以函数
f(x)
为奇函数。
说明:
分段
函数判断奇偶性,必分
段来
判断,只有各
段为同一结果
时
函数才有奇偶
性。
分段
函数判断奇偶性,也可用图象法。
2、抽象
函数判断其奇偶性:
【例4】 已知函数
f(x)(x?
R且x?0),
对任意的非零实数
x
1,
x
2
,
恒
有
f(x
1
?x
2
)?f(x
1
)?f(x
2
),
判断函数
f(x)(x?R且x?0)
的奇偶性。
解:函数的定义域为
(??,0)(0,??)
,
令
x
1
?x
2
?1
,得
f(1)?0
,
令
x<
br>1
?x
2
??1
,则
2f(?1)?f(1),?f(?1)
?0,
取
x
1
??1,x
2
?x
,得<
br>f(?x)?f(?1)?f(x),?f(?x)?f(x),
故
函数
f(x)(x?R且x?0)
为偶函数。
3、
函数奇偶性的应用:
(1) . 求字母的值:
ax
2
?1
【例5】已知函数
f(x)?(a,b,c?Z)
是奇函数,又f(1)?2
,
f(2)?3
,求
bx?c
a,b,c
的值.
解:由
f(?x)??f(x)
得
?bx?c??(bx?c),∴
c?0
。
又
f(1)?2
得
a?1?2b
,而
f(2)?3
得
4a?14a?1
?3
,∴
?3,
2ba?1
解得
?1?a?2
。又
a?Z
,∴a?0
或
a?1
.
若
a?0
,则b?
1
?Z
,应舍去;若
a?1
,则
b?1?Z
b=1∈Z.
2
∴
a?1,b?1,c?0
。
说明:本题从函
数的奇偶性入手,利用函数的思想(建立方程或不等式,组成混合组),
使问题得解.有时也可用特殊值
,如 f(-1)=-f(1),得c =0。
(2) . 解不等式:
【例6】若f
(x)是偶函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=x-1,求f(x-1)<0的解集。
分析:偶函数的图象关于y轴对称,可先作出f(x)的图象,利用数形结合的方法.
解:画图可知f(x)<0的解集为 {x|-1<x<1},
∴f(x-1)<0,即-1<x-1<1,
∴解集为{x|0<x<2}.
(3)函数奇偶性的应用(求值,求解析式,与单调性结合)
7.已知f(x)=x<
br>5
+ax
3
?bx?8,且f(?2)=10,求f(2).
解:法一:∵f(?2)=(?2)
5
+(?2)
3
a?(?2)b?8=?
32?8a+2b?8=?40?8a+2b=10
∴8a?2b=?50 ∴f(2
)=2
5
+2
3
a?2b?8=8a?2b+24=?50+24=?26
法二:令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数
∴g(?2)=?g(2) ∴f(?2)+8=?f(2)?8
∴f(2)=?f(?2)?16=?10?16=?26.
8. f(x)是定义在R上的奇函
数,且当x<0时,f(x)=x
2
?x,求当x≥0时,f(x)的解析
式,并画出
函数图象.
解:∵奇函数图象关于原点对称,
∴x>0时,
f(x)??f(?x)??[(?x)?(?x)]??x?x
,
又f(0)=0
22
,如图
9. 设定义在[?3,3]上的偶函数f(x)在[0,3]上是
单调递增,当f(a?1)<f(a)时,求
a的取值范围.
解:∵f(a?1)<f(a) ,偶函数f(x)在[0,3]上是单调递增
∴f(|a?1|)<f(|a|)
必有|a?1|,|a|∈[0,3]
.