【精品】高中数学 必修4_平面向量的实际背景及基本概念_讲义 知识点讲解+巩固练习(含答案)提高

平面向量的实际背景及基本概念

【学习目标】
1．了解向量的实际背景．
2．理解平面向量的含义，理解向量的几何表示的意义和方法．
3．掌握向量、零向量、单位向量、相等向量的概念，会表示向量．
4．理解两个向量共线的含义．
【要点梳理】
要点一：向量的概念
1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量．
2．数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、 身高、长度、面积、体积和质量等），称
为数量。
要点诠释：
（1）本书所学向量 是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以
作任意平移。
（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素。
（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大
小。
要点二：向量的表示法
1．有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长
度。
2．向量的表示方法：
rrr
(1)字母表示法：如
a,b,c,L
等．
uuur
(2)几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段
AB
（注意始点一定要写在终点的前面 ）。
uuuruuur
如果用一条有向线段
AB
表示向量，通常我们就说向量
AB
．
要点诠释：
（1）用字母表示向量便于向量运算；
（2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性。应该注意的是有向线段是向量的表

1

示，不是说向量就是有向线段。由于向量只含有大小和方向两个要素，用有 向线段表示向量时，
与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。
要点三：向量的有关概念
1．向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度)．
要点诠释：
r
r
（1）向量
a
的模
|a|?0
。
r
（2）向量不能比较大小，但
|a|
是实数，可以比较大小。
r
2．零向量：长度为零的向量叫零向量．记作
0
，它的方向是任意的。
3．单位向量：长度等于1个单位的向量．
要点诠释：
（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；
（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相
同。
4．相等向量：长度相等且方向相同的向量．
要点诠释：
在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等。
要点四：向量的共线或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量)．
r
规定：
0
与任一向量共线．
要点诠释：
r
1．零向量的方向是任意的，注意
0
与0的含义与书写区别．
2 ．平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，
要区别于在同一 直线上的线段的位置关系．
3．共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的
向量。
【典型例题】
类型一：向量的基本概念
例1．判断下列各命题是否正确：

2

rr
rr
(1)若
a?b
， 则
a?b
；
uuuruuur
(2)若A、B、C、D是不共线的四点，若
AB?DC
，则四边形
ABCD
为平行四边形；
rr
rrrr
(3)若
a?b,b?c
，则
a?c

(4) 单位向量都相等。
【思路点拨】 相等向量即为长度相等且方向相同的向量． rr
【解析】(1)不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同，因此由
a? b
推不
rr
出
a?b
．
uuuruuur
uuu ruuuruuuruuur
(2)正确，
QAB?DC,?AB?DC
且
A BDC
．又A、B、C、D是不共线的四点，所以四
边形
ABCD
是平行四边 形．
rrrr
rrrr
(3)正确，
Qa?b,?a,b
的长度相 等且方向相同；又
Qb?c,?b,c
的长度相等且方向相同，
rr
rr?a,c
的长度相等且方向相同．故
a?c
．
(4)不正确，对于D， 需要强调的是，单位向量不仅仅指的是长度，还有方向，而向量相等
不仅仅需要长度相等而且还要求方向 相同．D错．
【总结升华】我们应该清醒的认识到，两个非零向量相等的充要条件应是长度相等且方向
相同，向量相等是可传递的．复习向量时，要注意将向量与实数、向量与线段、向量运算与实
数 运算区别开来．
举一反三：
【高清课堂：平面向量的实际背景及基本概念402589例2】
【变式1】判断下列命题的正误：
（1）零向量与非零向量平行；
（2）长度相等方向相反的向量共线；
rrrr
（3）若向量
a
与 向量
b
不共线，则
a
与
b
都是非零向量；
（4）若两个向量相等，则它们的起点、方向、长度必须相等；
（5）若两个向量的模相等，则这两个向量不是相等向量就是相
反向量？
uuuru uur
（6）若非零向量
AB,CD
是共线向量，则A、B、C、D四点共

3

线；
（7）共线的向量一定相等；
（8）相等的向量一定共线．
【答案】√√√××××√
【变式2】下列说法中：
①两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同；
rrrr
② 若非零向量
a
与
b
共线，则
a
=
b
；
rr
rr
④若
a
=
b
，则
a?b
；
rrrr
⑤向量
a
与
b
平行，则
a
与
b
的方向相同 或相反．
其中正确的个数为（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】 B
【解析】 对于①，显然是错误的；
对于②，是错误的，两个非零向量共线，是说明这两个向量方向相同或相反，而两个向量
相等是说这两个向量大小相等，方向相同，因而共线向量不一定是相等向量，但相等向量却一
定是共线 向量；
对于③，是正确的，因为向量相等，即大小相等、方向相同；
rrr
对于④，是错误的，这是因为若
a
为零向量，则
a< br>与
b
平行，但零向量的方向可以是任意
的．
类型二：向量的表示方法
例2．一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后又
变方向向西偏北50°走了 200千米到达C点，最后又改变方向，向东行
了100千米达到D点．
ruuur
uuur
uuu
（1）作出向量
AB
，
BC
，
CD
；
uuur
（2）求
|AD|
．
改
驶
【解析】 （1）如图所示．
rr
uuur
uuu
uuur
uuu
（2）由题意 ，易知
AB
与
CD
方向相反，故
AB
与
CD
共线即AB∥CD．

4

uuuruuur
又
|AB|?|CD|
，
∴四边形ABCD为平行四边形．
uuuruuur
|AD|?|BC|?200
（千米） ∴．
【总结升华】（1）准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根
据向量的大小 确定向量的终点．
（2）要注意能够运用向量的观点将实际问题抽象成数学模型．“数学建模”能力是 今后能
力培养的主要方向，需要在平时的学习中不断积累经验．
举一反三：
【变式1】如图，在平面四边形ABCD中，用有向线段表示图中向量，正确的是（ ）． ruuuruuuruuur
uuuruuur
uuu
uuur
uuur
A．
AD
，
AB
，
BC
，
DC
B．
DA
，
BA
，
BC
，
DC

ruuurruuur
uuuruuur
uuu
uuuruuur
uuu C．
DA
，
AB
，
BC
，
DC
D．
DA
，
AB
，
CB
，
CD

【答案】C
【变式2】如图，点D、E、F分别是△ABC的各边中点．在图所示向
量中，
uuuruuur
uuur
（1）写出与
ED
，
DF
，
FE
相等的向量；
（2）写出模相等的向量．
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
u uuruuuruuur
【解析】 （1）
ED?CF?FA
，
DF?BE? EC
，
FE?AD?DB
。
uuuruuuruuuruuuruuuru uur
uuuruuuruuur
（2）
|FE|?|AD|?|DB|
，< br>|DF|?|BE|?|EC|
，
|ED|?|FA|?|CF|
。
【总结升华】利用三角形的中位线和平行四边形的性质研究向量的各种关系是常考题型，
要注意掌握解决 这类问题的方法．

【高清课堂：平面向量的实际背景及基本概念402589例6】 【变式3】如图是4×3的矩形（每个方格都是单位正方形），在起点
与终点都在小方格的顶点处的 向量中，
uuuruuur
试问：（1）与
AB
相等的向量有几个（不含< br>AB
）？
uuur
（2）与
AB
平行且模为
2
的向量有几个？

5

uuur
（3）与
AB
同向且模为< br>32
有几个？
【答案】（1）5（2）24（3）2
类型三：利用向量相等或共线进行证明
uuuruuur
uuuruuur
例3． 如图所示，四边形ABCD中，
AB?DC
，N、M分别是AD、BC上的点，且
CN?MA
。
uuuruuur
求证：
DN?MB
。
uuuruuur
uuuruuur
证明：∵
AB?DC
，∴
|AB|?|DC|且AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
uuuruuur
∴
|DA|?|CB|
且DA∥CB。
ruuu ruuur
uuur
uuu
又∵
DA
与
CB
的方向 相同，∴
CB?DA
。
uuuuruuur
同理可证，四边形CNAM是平 行四边形，∴
CM?NA
。
uuuruuuruuuuruuur
uuur uuur
∵
|CB|?|DA|
，
|CM|?|NA|
，∴
|MB|?|DN|
，
uuur
uuu
uuuruuur
r
又
DN
与
MB
的方向相同，∴
DN?MB
。
u uuruuur
【总结升华】本题主要目的是应用四边形的判定定理体会向量与几何的联系。若
AB?DC
，
uuuruuur
则
|AB|?|DC|
且AB∥CD 。
举一反三：
uuuruuuruuuruuur
【变式1】如图，在△ABC中 ，已知向量
AD?DB
，
DF?BE
，求
uuuruuur
证：
DE?AF
．
uuuruuuruuuruuur
【解析】因为
AD?DB
，所以D为AB的中点．又
DF?BE
，所以
DF∥BE且DF =BE，所以F为AC的中点，则DF是△ABC的中位线，从而E是BC的中点，
uuuruuur< br>所以DE∥AF，且DE=AF．又DE与AF不共线，所以
DE?AF
．
类型四：向量知识在实际问题中的简单应用
例4． 一艘海上巡逻艇从港口向北航行了30 n mile，这时接到求
救信号，在巡逻艇的正东方向40 n mile有一艘渔船抛锚需救助．试
求：

6

（1）巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；
（2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点之间的位移．
【解析】 （1）如图，由于路程不是向量 ，与方向无关，所以其总的路程为巡逻艇两次路
程的和，即为AB+BC=70（n mile）．
（2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点之间的位移是向量，不仅有大小而且有方向，因而
uuuruuur
2
uuur
2
4
大小为
|AC|?|A B|?|BC|?50(n mile)
，由于
sin?BAC?
，故方向为北偏东53°．
5
【总结升华】 本题往往会误认为路程和位移是一致的，事实上，路程是指物体行进轨迹的长度，只有大小，而位移只与物体起点和终点有关，有大小和方向，与行进的轨迹无关．
举一反三：
【变式1】已知下列三个位移：飞机向南飞行50 km，飞机向西飞行50km，飞机向东飞行
50km．下列判断中正确的是（ ）．
A．这三个位移相等，且这三个位移的长度也相等
B．这三个位移不相等，但这三个位移的长度相等
C．这三个位移不相等，且这三个位移的长度不相等
【答案】B









【巩固练习】
1．下列说法中正确的有（ ）．
r
rr
uuur
uuu
①向量
AB
与CD
是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上；②向量
a
与向量
b
平行，
rr
rruuuruuur
uuuruuur
uuur
uuu
uuur
uuu
则
a
、
b
方向相同或相反 ；③若向量
AB
、
CD
满足
|AB|?|CD|
，且
AB
与
CD
同向，则
AB?CD
；

7

rrrr
rr
④若
a
=
b
，则
a
，
b
的长度相等且方向相同或相反；⑤由于零向量
0
方向不确定，故
0
不能
与任何向量平行．
A．0个 B．2个 C．3个 D．4个
2．在同一平面上，把所有长度为1的向量的始点放在同一点，那么这些向 量的终点所构成的
图形是（ ）．
A．一条线段 B．一段圆弧 C．圆上一群孤立的点 D．一个半径为1的圆
uuuruuur
uuuruuur< br>3．若
AB?AD
且
BA?CD
，则四边形
ABCD
的形状为( )
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．等腰梯形
rr
4．若
a
是任一非零向量，
b
是单位向 量，则下列式子正确的是（ ）．
r
rr
rrr
a
r
A．
a
＞
b
B．
a
∥
b
C．
a
＞0 D．
r
?b

|a|
5．如图 ，点D是正六边形ABCDEF的中心，则以A、B、C、D、E、F、O
中的任意一点为起点，与起点 不同的另一点为终点的所有向量中，除向
uuuruuur
量
OA
外，与向量
OA
共线且模相等的向量共有（ ）．
A．2个 B．3个 C．6个 D．7个
uruuruur
6．正多边形有n条边，它们对应的向量依次为
a
1
，
a
2
，…，
a
n
，则这n 个向量（ ）．
A．都相等 B．都共线 C．都不共线 D．模都相等
7．下列说法中，正确的是（ ）．
rrrr
rrrr
A．若
a
＞
b
，则
a
＞
b
B．若
a
=
b
，则
a
=
b

rrrrrrrr
C．若
a
=
b
，则
a
∥
b
D．若
a
≠
b
，则
a
与
b
不是共线向量
8．下列命题正确的是( )
rrrrrr
A．向量
a
与
b
共线，向量
b
与
c
共线，则向量
a
与
c
共线
rrrrrr
B．向量
a
与
b
不共线，向 量
b
与
c
不共线，则向量
a
与
c
不共线
r
uuur
uuu
C．向量
AB
与
CD
是 共线向量，则
A
、
B
、
C
、
D
四点一定共 线
rrrr
D．向量
a
与
b
不共线，则
a
与
b
都是非零向量

8

uuuruuuruu ur
9．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，
|AB|?1
，
|AC|? 2
，则
|BC|?
__________．
uuuruuur
uu ur
1
uuur
10．已知四边形ABCD中，
AB?DC
，且|AD|?|BC|
，则四边形ABCD的形状是________．
2
11． 若某人从点
A
出发向东走3
km
至点
B
，从点
B< br>向北走
33
km
至点C，则点C相对于点
A
的
位置向 量为 。
12．一艘船以5
kmh
的速度出发向垂直于对岸 的方向行驶，而船实际的航行方向与水流成
30
0
，
则船的实际速度的大小为 ，水流速度的大小为 。
13．如图所示，已知
□ABCD
，< br>□AOBE
，
□ACFB
，
□ACGD
，
□ACDH
，点
O
是?
ABCD
的对角线交点，
uuur
ru uurr
uuur
r
且
OA
＝
a
，
OD< br>＝
b
，
AD
＝
c
.
r
(1)写出图中与
a
相等的向量；
r
(2)写出图中与
b
相等的向量；
r
(3)写出图中与
c
相等的向量．

uuuruuuu r
14．若E、F、M、N分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，求证：
EF?NM
．
15．已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2 000 km到达乙地，再从乙地按南偏东30°的
方向飞行2 000 km到达丙地，再从丙地按西南方向飞行l 000应km到达丁地，问丁地在甲地
的什么方向？丁地距甲地多远？
【答案与解析】
1．【答案】A
【解析】 ①错误．把共线向量与平面几何中的共线“混淆”．
②错误．忽视了如果其中有一个是零向量，则其方向不确定．
③错误．把向量与实数混为一谈，事实上向量不能比较大小．
rr
rr
④错 误．由
a
=
b
，只能说明
a
、
b
的长度相 等，确定不了方向．
⑤错误．不清楚零向量的概念．规定零向量与任一向量平行．故选A．
2．【答案】D
【解析】 所有的向量的终点均在半径为1的圆上．

9

3．【答案】C
uuur
uuuruuur
uuur
【解析】 ∵
BA
＝< br>CD
，∴四边形
ABCD
为平行四边形，又∵
AB?AD
，∴ 四边形为菱形．
4．【答案】C
【解析】 非零向量模长一定大于零．
5．【答案】D
uuuruuur
uuur
uuu
ruuur
r
uuur
uuu
【解析】 共线向量有：
AO
，
OD
，
DO
，
EF
，
FE
，
BC
，
CB
7个．
6．【答案】D
【解析】 由于正多边形的n条边都相等．
7．【答案】C
【解析】 向量不能比大小，故A错；模相等但方向不同的向量不相等，故B错；不相等的向
量可以共线．故D错．
8．【答案】D
rr
r
uuu
r
rrrrrr
r
r
uuu
【解析】 当
b?0
时，A不对；如图
a
＝
AB
，
c
＝
BC
，
b
与
a，
b
与
c
均不共线，但
a
与
c
共线，∴B错．

r
uuur
uuu
在?
ABCD中，
AB
与
CD
共线，但四点
A
、
B
、
C
、
D
不共线，∴C错；
rrrrrrrr
若
a
与
b
有一个为零向量，则
a
与
b
一定共线，∴< br>a
，
b
不共线时，一定有
a
与
b
都是非零向 量，
故D正确．
9．【答案】
5

uuur
2
uuur
2
uuur
2
uuur
【解析】
|BC|?|AB|?|AC|?1?4?5
，∴
|BC|?5
．
10．【答案】等腰梯形
uuuruuur
uuur
1
uuu ruuur
1
uuur
【解析】 由
AB?DC
可知AB∥DC且
|AB|?|DC|
，又
|AD|?|BC|
．前者可知为梯形，后
22
者知腰相等．
11．【答案】“东偏北60°，6km”或“北偏东30°，6km”
12．【答案】10kmh
53
kmh
uuur
uuuuuuruuur
rr
uuur
r
r
13．【解析】 (1)在
□OAEB
中，
OA
＝
BE
＝
a
；在□ABCD
中，
CO
＝
OA
＝
a
，所以
a
＝
BE
＝

10

uuur
CO.
uuur
uuurr
r
r r
r
uuur
uuu
uuur
uuu
(2)在
□A BCD
中，
BO
＝
OD
＝
b
；在
□AOB E
中，
EA
＝
BO
＝
b
，所以
b
＝
EA
＝
BO
.
uuur
uuu
uuur
uuu
r
uuur
uuur
r
r
r
r
( 3)在
□ABCD
中，
BC
＝
AD
＝
c
； 在
□ACGD
中，
CG
＝
AD
＝
c
，所以
c
＝
BC
＝
CG
.
14．【解析】如图所示，连接AC，在△DAC中，
∵N、M分别是AD、CD的中点，
uuuuruuuruuuur
uuurr
uu ur
1
uuur
uuur
uuu
∴
NMAC
，且
NM
与
AC
的方向相同．同理可得
|EF|?|AC|
且
EF
与
AC
的
2
r
uuuruuuur
uuuruuuur
uuur
uuuu
方向相同，故有
|EF|?|NM|
，且
EF
与
NM
的方向相同，∴
EF?NM
． < br>15．【解析】如图所示，A，B，C，D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知，三角形ABC< br>为正三角形．
∴AC=2000 km．
又∵∠ACD=45°，
CD?10002
．
∴△ACD为等腰直角三角形，即
AD?10002
km，∠CAD=45°．
答：丁地在甲地的东南方向，丁地距甲地
10002
km．







11