知识点166 两点间的距离公式(解答)

1、已知两点P
1
（﹣2，3），P
2
（4，﹣5），求P< br>1
、P
2
两点的距离．
考点：两点间的距离公式。
分析： 求两点的长度的问题可以转化为解直角三角形的问题．此题能顺利求出P
1
P
2
的长的关键是过
P
1
、P
2
两点分别作x轴、y轴的垂线，构造出 Rt△P
1
AP
2
，然后利用勾股定理求解．
解答：解：如图所示，
过P
1
、P
2
分别作x轴、y轴的垂线相交于A点．
则A点的坐标为A（﹣2，﹣5）
∴P
1
A=|﹣5﹣3|=8，P
2
A=|﹣2﹣4|=6，
∴P
1
P
2
===10．

点评：本题的点的距 离的问题欲求P
1
与P
2
之间的距离，就是要求线段P
1
P
2
的长，过P
1
作x轴的垂
线，过P
2
作y轴的垂 线，设两条线段交于A点，则△P
1
AP
2
是直角三角形．根据勾股定理，得
P
1
P
2
=．
2、当m为何值时，点P（3m﹣1，m﹣ 2）到y轴的距离是到x轴距离的3倍？求出此时点P到原点
的距离．
考点：两点间的距离公式。
分析：点P（3m﹣1，m﹣2）到y轴的距离是到x轴距离的3 倍，即横坐标的绝对值是纵坐标的绝对
值的3倍，就得到一个关于m的方程．化简就可以求出m的值．
解答：解：根据题意得到|3m﹣1|=3|m﹣2|，两边平方，解得m=
因而P的坐标是（﹣，﹣），则OP=．
点评：已知点P（3m﹣1，m﹣2）到y轴的距离 是到x轴距离的3倍就可以得到关于m的方程，转化
为方程问题就是解决本题的关键．
3、在 直角坐标系中，△ABC满足，∠C=90°，AC=2，BC=1，点A，C分别在x轴、y轴上，当A点从原点开始在正x轴上运动时，点C随着在正y轴上运动．
（1）当A在原点时，求原点O到点B的距离OB；
（2）当OA=OC时，求原点O到点B的距离OB；
（3）求原点O到点B的距离OB的最大值，并确定此时图形应满足什么条件？
考点：两点间的距离公式；坐标与图形性质。

专题：计算题。
分析：（1）根据勾股定理即可求解；
（2）当OA=OC时，如图，△OAC是等腰直角三 角形，过点B作BE⊥OA于E，过点C作CD⊥OC，
且CD与BE交于点D，再根据两点间的距离公 式即可求解；
（3）取AC的中点E，连接OE，BE．在Rt△AOC中，OE是斜边AC上的中线 ，所以
明当O，E，B在一条直线上时，OB取到最大值时即可求解；
解答：解：（1）当A点在坐标原点时，如图，
．证

AC在y轴上，BC⊥y轴，
所以．
目的是从特殊情况理解题意，考察勾股定理的基本应用与计算．

（2）当OA=OC时，如图，△OAC是等腰直角三角形，AC=2．
所以∠1=∠2=45°，．
过点B作BE⊥OA于E，过点C作CD⊥OC，且CD与BE交于点D，
则∠3=90°﹣∠ACD=90°﹣（90°﹣45°）=45°．又BC=1，
所以，，
因此．

（3）解法一：如图所示，设∠ACO=θ，过C作CD⊥OC，

由于∠BCA=90°，所以∠BCD=θ．由AC=2，BC=1，可以得B点的坐标
为< br>2
B（cosθ，sinθ+2cosθ）．则l
2
=OB
2
=cos
2
θ+
（
（sinθ+2cosθ
﹣

1
）
）
=cos
2
θ+sin
2
θ+4sinθco sθ+4cos
2
θ=1+2sin2θ+4cos
2
θ=3+2sin2θ +2
=
，所以
2cos
2
θ
=3+2sin2θ+2cos 2θ=
当时，．
解法二：如图，取AC的中点E，连接OE，BE．在Rt△AOC中，OE 是斜边AC上的中线，所以
．

在△ACB中，BC=1，
所以．
，
，
若点O，E，B不在一条直线上，则
若点O，E，B在一条直线上，
则
最大值是．
，
所以当点O，E，B在一条直线上时，OB取到最大值，
当O，E，B在一条直线上时，OB取到最大值时，
从下图可见，OE=1，．∠CEB=45°，但CE=OE=1，

． 点评：本题考查了两点间的距离公式及坐标与图形的性质，难度较大，主要是巧妙地利用了线段的
基 本性质：两点间线段最短．一般地说，线段基本性质常用来求最小值．即线段AB长为定值时，AC+BC
的最小值为AB，此时C在AB上．这是线段基本性质的一种应用；而另一种应用往往为人们所忽视：
如果两条线段AC和CB在C点接在一起，AC=m与CB=n都是定长；那么AC+BC的最大值为m+n，< br>此时C、A、B三点共线．
4、在平面直角坐标系中，O为原点．
（1）点A的坐标为（3，﹣4），求线段OA的长；
（2）点B的坐标为（2，2），点C的坐标为（5，6），求线段BC的长．

考点：两点间的距离公式。
专题：代数几何综合题。
分析：（1）利用两点间的距离公式（d=
（2）在直角三角形中，根据勾股定理解答．
解答：解：（1）

（2）如图，CM=|6﹣2|=4，
BM=|5﹣2|=3，则由勾股定理，得
…（3分）
）求解；

．…（6分）

点评：本题考查了两点间的距离公式．解答此类题目，需熟记两点间的距离公式
d=．
5、在直角坐标平面内，已知点C在x轴上，它到点A（2，1）和点B（3，4）的距离相等，求点C
的坐标．
考点：两点间的距离公式。
专题：计算题。
分析：设点C的坐标为（ x，0），根据两点间的距离公式列式求解即可，两点间的距离公式：
d=
解答：解：设点C坐 标为（x，0）．（1分）
利用两点间的距离公式，得
根据题意，得AC=BC，∴AC2
=BC
2
．
即（x﹣2）
2
+1=（x﹣3）
2
+16．（2分）
解得x=10．（1分）
所以，点C的坐标是（10，0）．（1分）
点评：本题考查了两点间的距离公式，熟记公式与熟练解方程是解答本题的关键．
6、在x轴上有一点P，它与点A（0，3）、B（4，﹣1）的距离相等，求点P的坐标？
考点：两点间的距离公式。
专题：计算题。
分析：设点P的坐标为（a，0），根 据两点间的距离公式列式求解即可，两点间的距离公式：
d=
解答：解：设点P的坐标为（a， 0），
．
，．（1分）
．

∵A（0，3）、B（4，﹣1），
∴AP=
BP=
∵AP=BP，
∴=，
，
，
两边平方得，a
2
+9=（a﹣4）
2
+1，
即8a=﹣8，
解得a=﹣1．
∴点P的坐标是（﹣1，0）．
点评：本题考查了两点间的距离公式，熟记公式是解题的关键．
7、已知：如图，平面内两点A、B的坐标分别为（﹣4，1）、（﹣1，2）．
（1）求A、B两点之间的距离；
（2）画出点C，使得点C到A、B两点的距离相等，且点 C到∠AOB两边的距离相等（无需写画法，
保留画图痕迹）．

考点：两点间的距离公式；作图—复杂作图。
分析：（1）根据两点间的距离公式进行计算，即A（x，y），B（a，b），则
AB=；
（2）根据到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上和到角两边距离相等的点在角的平分线上．
解答：解：（1）AB=
（2）
==；

点评：此题综合考查了两点间的距离的求法以及线段垂直平分线的性质和角平分线的性质．
8、已知点A在x轴上，点A与点B（1，?3）的距离是5，求点A的坐标．
考点：两点间的距离公式。
专题：计算题。
分析：设点A的坐标为（x，0），根 据两点间的距离公式列式求解即可，两点间的距离公式：
d=．
解答：解：设点A的坐标为（x，0）．（1分）
根据题意，得
∴（x﹣1）
2
=4
2
．（1分）
∴x
1
=5，x
2
=﹣3．（1分）
经检验：x
1
=5，x
2
=﹣3都是原方程的根．
∴点A的坐标为（5，0）或（﹣3，0）．（2分）
点评：本题考查了两点间的距离公式， 数量掌握两点间的距离公式并熟练地解方程进行检验是解答
本题的关键．．
9、已知点A的坐 标为（1，2），点B的坐标为（4，1），在x轴上求一点C，使得点C到A、B两点
的距离相等．
考点：两点间的距离公式。
专题：计算题；作图题。
分析：根据题意，连接AB， 作AB的垂直平分线，交x轴于点C，已知点A的坐标为（1，2），点B
的坐标为（4，1），所以， 可求得，AC=BC=
解答：解：由图，
已知点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（4，1），
连接AB，作AB的垂直平分线，交x轴于点C，
∴AC=
BC=
∴AC=BC，
=
=，
；
，点C就是所求的点．
．（2分）

∴点C就是所求的点．

点评：本题主要考查了两点间的距离公式和线段的垂直平分线，掌握线段垂直平分线上的点到 线段
两端点的距离相等．
10、（2009?滨州）根据题意，解答下列问题：

（1）如图①，已知直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，求线段AB的长；
（2）如图②，类比（1）的求解过程，请你通过构造直角三角形的方法，求出两点M（3，4），N（﹣
2，﹣1）之间的距离；
（3）如图③，P
1
（x
1
，y
1
），P
2
（x
1
，y
2
）是平面直角坐标系内 的两点．求证：
．
考点：两点间的距离公式。
专题：计算题；证明题。
分析：（1）根据直线y=2x+4与x轴、y轴交点的特点：与x轴相交时，y=0，求得x的值；与y轴相< br>交时，x=0，求得y的值；
（2）、（3）通过构造直角三角形的方法，解得MN与P
1
P
2
的值．
解答：解：（1）由y=0，得x=﹣2，所以点A的坐标为（﹣2，0），故OA=2．（1分）
同理可得OB=4． （2分）
所以在Rt△AOB中，AB=

；（3分）

（2）作MP⊥x轴，NP⊥y轴，MP交NP于点P．（4分）
则MP⊥NP，P点坐标为（3，﹣1）．（5分）
故PM=4﹣（﹣1）=5，PN=3﹣（﹣2）=5．（6分）
所以在Rt△MPN中，MN=
（注：若直接运用了（3）的结论不得分．）
（3）证明：作P
2
P⊥x轴，P
1
P⊥y轴，P
2
P 交P
1
P于点P．
则P
2
P⊥P
1
P，点P的坐 标为（x
2
，y
1
）．（8分）
故P
2
P=y< br>2
﹣y
1
，P
1
P=x
2
﹣x
1< br>．（不加绝对值符号此处不扣分）（9分）
所以在Rt△P
2
P
1
P中，．（10分
；（7分）

点评：本题主要考查一次函数图象与X轴、Y轴交点的特点与解直角三角形，同时考查了数形 结合思
想，综合性很强，值得学生去思考．