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【精品】高中数学 必修4_平面向量的线性运算_讲义 知识点讲解+巩固练习(含答案)基础

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-22 10:29
tags:高中数学的知识点

山西省普通高中数学学业-核心素养的高中数学课堂教学

2020年9月22日发(作者:匡裕从)


平面向量的线性运算
【学习目标】
1.能熟练运用三角形法则和平行四边形法则,作出几个向量的和、差向量.
2.能结合图形进行向量的计算.
3.能准确表达向量加法的交换律和结合律,并能熟练地进行向量计算.
4.理解实数与向量的积的意义,会利用实数与向量的积的运算律进行计算.
5.掌握向量共线的条件.
【要点梳理】
要点一:向量加法的三角形法则与平行四边形法则
1.向量加法的概念及三角形法则
uuuruuurr
rr
uuurruuurr
已知向量
a,b
, 在平面内任取一点A,作
AB?a,BC?b
,再作向量
AC
,则向量
AC
叫做
a
r
rrrruuuruuuruuur

b< br>的和,记作
a?b
,即
a?b?AB?BC?AC
.如图

本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则.
2.向量加法的平行四边形法则
rr
uuurruuurr
uuuruuur
已知两个不共线向量a,b
,作
AB?a,AD?b
,则
A,B,D
三点不共线,以
AB,AD
为邻边
uuurrr
作平行四边形
ABCD
,则 对角线
AC?a?b
.这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则.

求两个向量和的运算,叫做向量的加法.
r
rrrrr
对于零向量与任一向 量
a
,我们规定
a?0?0?a?a

要点诠释:
两个 向量的和与差仍是一个向量,可用平行四边形或三角形法则进行运算,但要注意向量
的起点与终点.
要点二:向量求和的多边形法则及加法运算律


1.向量求和的多边形法则的概念
已知
n
个向量,依次把这
n
个向量首尾相连,以第一个向量的起点为起点,第
n
个向量的
终点 为终点的向量叫做这
n
个向量的和向量.这个法则叫做向量求和的多边形法则.
uu uuruuuuruuuuruuuuuur
A
1
A
n
?A
1
A
2
?A
2
A
3
?????A
n?1< br>A
n

uuuuruuuuruuuuuuruuuurr
特别地,当
A
1

A
n
重合,即一个图形为封闭图形时,有
A
1
A
2
?A
2
A
3
?????A
n?1
A
n
?A
n
A
1
?0

2.向量加法的运算律
rrrr
(1)交换律:
a?b?b?a

rrrrrr
(2)结合律:
(a?b)?c?a?(b?c)

要点三:向量的三角形不等式
由向量的三角形法则,可以得到
rrrruurr
a,b|a?b|?|a|?|b|
; (1)当不共线时,
rr
rrrr
rruurr
(2)当
a,b
同向且共线时,
a?b,a,b
同向,则
|a?b|?|a|?|b|

rrr
rruurrrruurruurr
(3) 当
a,b
反向且 共线时,若
|a|?|b|
,则
a?b与a
同向,
|a?b|?|a |?|b|
;若
|a|?|b|
,则
rrr
rruurr
a ?b与b
同向,
|a?b|?|b|?|a|

要点四:向量的减法
1.向量的减法
rrr
rrr
rr
(1)如果
b?x?a
,则向量
x
叫做
a

b
的差,记作
a?b
,求两个向量差的运算,叫做向
量的减法.此定义是向量加法的逆运算给出的.
rr
相反向量:与向量
a
方向相反且等长的向量叫做
a
的相反向量. < br>rrrr
rrrr
(2)向量
a
加上
b
的相反向量, 叫做
a

b
的差,即
a?b?a?(?b)
.求两个向量差 的运算,
叫做向量的减法,此定义是利用相反向量给出的,其实质就是把向量减法化为向量加法.
要点诠释:
(1)两种方法给出的定义其实质是一样的.
rr
rrrrrrrr
(2)对于相反向量有
a?(?a)?0
;若
a
,< br>b
互为相反向量,则
a??b,a?b?0

(3)两个向量的差仍是一个向量.


2.向量减法的作图方法 < br>rr
uuurrruuuruuur
uuurruuurr
uuur
( 1)已知向量
a

b
(如图),作
OA?a,OB?b
,则
BA?a?b
=
OA?OB
,即向量
BA
等于
uu uruuur
终点向量(
OA
)减去起点向量(
OB
).利用此方法 作图时,把两个向量的始点放在一起,则
这两个向量的差是以减向量的终点为始点的,被减向量的终点为 终点的向量.

rr
(2)利用相反向量作图,通过向量加法的平行四边形法则作出
a?b
.作
uuurruuurruuurruuurrr
OA?a,OB? b,AC??b
,则
OC?a?(?b)
,如图.由图可知,一个向量减去另一个向量 等于
加上这个向量的相反向量.

要点五:数乘向量
1.向量数乘的定义
?
r
实数与向量的积:实数
?
与向量
a
的积是一个 向量,记作:
?
a

rr
(1)
|
?
a|?|
?
||a|

??
(2)①当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相同;
??
②当
?
?0
时.
?
a
的方向与
a
的方向相反;
?
?
③当
?
?0
时,
?
a?0
.
2.向量数乘的几何意义
??
r
由实数与向量积的定义知,实数与向量的积
?
a
的几何意义是:
?
a
可以由
a
同向或 反向伸
r
缩得到.当
|
?
|?1
时,表示向量
a< br>的有向线段在原方向(
?
?0
)或反方向(
?
?0
) 上伸长为
?
r
原来的
|
?
|
倍得到
?a
;当
0?|
?
|?1
时,表示向量
a
的有向 线段在原方向(
?
?0
)或反方向
??
r
?
rr< br>(
?
?0
)上缩短为原来的
|
?
|
倍得到< br>?
a
;当
?
?1
时,
?
a
=
a
;当
?
??1
时,
?
a
=-
a
,与
a

?
r
?
为相反向量;当
?
?0
时,
?
a
=
0
.实数与向量的积得几何意义也是求作向量< br>?
a
的作法.
3.向量数乘的运算律



?

?
为实数
rr
结合律:< br>?
(
?
a)?(
??
)a

?
?
?
?
???
分配律:
(
?
?
?
)a?
?
a?
?
a

?
(a?b)?
?< br>a?
?
b

要点六:向量共线的条件
1.向量共线的条件
rr
rr
(1)当向量
a?0
时,< br>a
与任一向量
b
共线.
r
rr
r
r
(2)当向量
a?0
时,对于向量
b
.如果有一个实数
?
,使
b?
?
a
,那么由实数与向量的
rr
积的定义知
b

a
共线.
r
rr
rr
rr
r反之,已知向量
b

a

a?0
)共线且向量
b
的长度是向量
a
的长度的
?
倍,即
|b|?
?< br>|a|

rr
rrrr
rr
那么当
b
a
同向时,
b?
?
a
;当
b

a反向时,
b??
?
a

2.向量共线的判定定理
rr
r
??
a
是一个非零向量,若存在一个实数
?
,使b?
?
a
,则向量
b
与非零向量
a
共线.
3.向量共线的性质定理
rr
r
?
若向量
b
与非 零向量
a
共线,则存在一个实数
?
,使
b?
?
a< br>.
要点诠释:
rr
?
(1)两个向量定理中向量
a
均为非零向量,即两定理均不包括
0

0
共线的情况;
rrrr
rr
r
rrr
(2)
a?0
是必要条件,否则a?0

b?0
时,虽然
b

a
共线但不存在
?
使
b?
?
a

rr
(3)有且只有一 个实数
?
,使
b?
?
a

rrrrrr
(4)
ab?a?
?
b(b?0)
是判定两个向量共线的重要依据,其本质是 位置关系与数量关
系的相互转化,体现了数形结合的高度统一.
【典型例题】
类型一:向量加法的几何运算
例1.如图,O为正六边形ABCDEF的中心,作出下列向< br>uuuruuuruuuruuuruuuruuur
(1)
OA?OC
;(2 )
BC?FE
;(3)
OA?FE

量:

< p>
uuuruuuruuur
【解析】(1)由图知,OABC为平行四边形,∴
O A?OC?OB

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruu ur
(2)由图知
BC?FE?OD?AO
,∴
BC?FE?AO?OD?A D

uuuruuuruuuruuuruuuruuur
(3)∵
OD? FE
,∴
OA?FE?OA?OD

uuuruuuruuuruuuru uuruuur

OA?DO
,∴
OA?FE?DO?OD?0

【总结升华】利用向量加法的平行四边形法则或三角形法则求两个向量的和向量,注意当
两个向 量共线时,三角形法则仍适用,而平行四边形法则不适用.
举一反三:
【变式1】在平行四 边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延
uuuruuur
uu ur
长线与CD交于点F.若
AC?a

BD?b
,则
AF ?
( )
11211112
A.
a?b
B.
a?b
C.
a?b
D.
a?b

42332433
【答案】B
类型二:向量减法的几何运算
例2.如图,解答下列各题:
r
ur
rrr
uuuruuur(1)用
a

d

e
表示
DB
;(2 )用
b

c
表示
DB

rrr
uuur ur
r
uuur
(3)用
a

b

e表示
EC
;(4)用
d

c
表示
EC

urrrrrrrrrur
【答案】(1)
d?e?a
(2)
? b?c
(3)
a?b?e
(4)
?c?d

uuurruuurruuurruuururuuurr
【解析】 ∵
AB?a< br>,
BC?b

CD?c

DE?d

EA? e

uuuruuuruuuruuururrr
∴(1)
DB?DE?E A?AB?d?e?a

uuuruuuruuuruuuruuurrr
(2)< br>DB?CB?CD??BC?CD??b?c

uuuruuuruuuruuurr rr
(3)
EC?EA?AB?BC?a?b?e

uuuruuuruu uruuurrur
(4)
EC??CE??(CD?DE)??c?d

r
uuur
uuu
【总结升华】在本题中,我们看到
DB

EC
这两个向量的表示并不唯一.在解决这类问
题时,要注意向量加法、减法和共线(相等)向 量的应用.当运用三角形法则时,要注意两向
量首尾相接,当两个向量起点相同时,可以考虑用减法.


举一反三:
【高清课堂:向量的线性运算 395568 例1】
uuur
r
uuur
r
uuur
【变式1】
O为正六边形
ABCDEF
的中心,设
OA?a
,
OB?b
,则
DE
等于( ).
r
rr
r
r
rr
r
(A)
a?b
(B)
a?b
(C)
b?a
(D)
?a?b

【答案】B
【变式 2】如图所示,O是平行四边形ABCD的对角线AC、BD的交
uuurruuurruuurrrr ruuur
点,设
AB?a

DA?b

OC?c
.求证:
b?c?a?OA

rruuuruuuruuuruuuruuuru uurruuuruuuruuurrruuurr
【解析】∵
b?c?DA?OC ?OC?CB?OB

OA?a?OA?AB?OB
,∴
b?c?OA?a< br>,
rrruuur

b?c?a?OA

类型三:与向量的模有关的问题
rrrrrr
rr
例3. 已知非零向量< br>a

b
满足
|a|?7?1

|b|?7?1
,且|
a

b
|=4,求|
a
+
b
|的 值.
uuurruuurr
uuurrr
【解析】 如图,
OA?a

OB?b
,则
BA?|a?b|
以OA与OB为邻边作平行四边形OACB,则
由于
(7?1)
2
?(7 ?1)
2
?4
2

uuur
2
uuur
2
uuur
2

|OA|?|OB|?|BA|

uuurrr
|OC|?|a?b|

所以△OAB是∠AOB为90°的 直角三角形,从而OA⊥OB,所以
Y
OACB是矩形.
rr
uuuruu ur
根据矩形的对角线相等有
|OC|?|BA|?4
,即|
a
+< br>b
|=4.
rrrr
【总结升华】 (1)向量
a
+
b

a

b
的几何意义在证明、运算中具有重要的应用.对于平行四边形、菱形、矩形、正方形对角线具有的性质要熟悉并会应用.
(2)关于向量的加减法运 算除掌握法则外,还应注意一些特殊情况,如零向量、共线向
量等.要注意到向量的加法和求模运算的次 序不能交换,即两个向量和的模不一定等于这两个
向量的模的和.因为向量的加法实施的对象是向量,而 模是数量,模的加法是数量的加法.
举一反三:
uuuruuuruuur
【变式 1】若
|AB|?9

|AC|?4
,则
|BC|
的取值范 围是多少?
uuur
【答案】
5?|BC|?13


uuuruuuruuur
【解析】
BC?AC?AB
. < br>rr
uuur
uuur
uuur
uuu
uuur
uu u

AB

AC
同向时,
|BC|?|9?4|?5
,当
AB

AC
反向时,
|BC|?|9?4|?13

r
uuur
uuur
uuu

AB

AC
不共线时,
5?|BC|?13

类型四:向量的数乘运算
例4. 计算下列各式:
rrrr
(1)4(
a
+
b)―3(
a

b
);
rrrrrr
(2)3(
a
―2
b
+
c
)―(2
a
+
b
―3
c
);
rr
2
rr
1
r
2
r
(3)
(a?b)?(2a?4b)?(2a?13b)

5315rrrrrr
【解析】(1)原式=4
a
―3
a
+4
b
+3
b
=
a
+7
b

rrrrrrrr r
(2)原式=3
a
―6
b
+3
c
―2
a

b
+3
c
=
a
―7
b
+6c

2
r
2
r
2
r
4
r< br>4
r
26
r
(3)原式
?a?b?a?b?a?b

55331515
rrrrr
?
224
?
r
?2426
?
r

?
?
??
?
a?
?
???
?
b?0?a?0?b?0?0?0

?
5315
??
5315
?
【总结升华】 数乘向量与数乘 数不同,前者结果是一个向量,后者结果是一个数,
?
>0
rrrrrrr
时 ,
?
a

a
同向;
?
<0时,
?
a

a
反向;
?
=0时,
?
a
=0;故< br>?
a

a
一定共线.应用实
数与向量的积的运算律时,应联想 数与数乘积运算的有关知识,加深对数乘向量运算律的理解.
举一反三:
【变式1】计算:
rrrr
(1)6(3
a
―2
b
)+9 (―2
a
+
b
);
r
2
rr
?
7?1
r
3
?
r
7
r
?
?1
?< br>r
(2)
?
(3a?2b)?a?b
?
?
?
a?
?
b?a
?
?

2
?
37
?
6
?
?
?
6
?
2
rrrrrrrr(3)6(
a

b
+
c
)―4(
a
― 2
b
+
c
)―2(―2
a
+
c
).
rrrrr
【解析】 (1)原式=18
a
―12
b
―1 8
a
+9
b
=―3
b

r
2
r r
?
7?1
r
3
?
r
7
r
??1
?
r
(2)
?
(3a?2b)?a?b
?
?
?
a?
?
b?a
?
?

2
?< br>37
?
6
?
?
?
6
?
2


rr
?
7
?
1
r
1
r3
r
?
1
?
r
2
r
?
?3a?a?2b?b
?
?
?
a?a?b
?

2
?
327
??
6
?
2
1
?
7rr
?
7
?
r
3
r
?
?
?< br>a?b
?
?
?
a?b
?

2
?37
??
6
?
7
r
1
r
7
r
1
rr
?a?b?a?b?0

6262
rrrrrrr r
(3)原式=6
a
―6
b
+6
c
―4
a
+8
b
―4
c
+4
a
―2
c
< br>rrrrrrrr
=(6
a
―4
a
+4
a
) +(8
b
―6
b
)+(6
c
―4
c
―2< br>c
)
rr
=6
a
+2
b

例5 .如图所示,
ABCD
的两条对角线相交于点
M

uuurruuu rrrr
uuuruuuruuuuruuuur

AB?a,AD?b,

a,b
表示
MA,MB,MC,MD.

【思路点拨】利用三角形法 则和数乘运算,用向量法讨论几何问题,关键是选取适当的基
rruuuruuur
向量表示其 他向量,本题的基底就是
a,b
,由它可以“生”成
AC,DB,LL
.
【解析】在
ABCD

uuuruuuruuurrruuuruuuru uurrr
QAC?AB?AD?a?b,DB?AB?AD?a?b,
uuurruuur< br>1
uuur
1
r
1
r

1
uuu< br>1
r
1
r
?MA??AC??a?b,MB?DB?a?b
2 22222
uuuur
1
uuur
1
r
1
r

MC?AC?a?b,
222
uuuuruuurr
1
uuu< br>1
r
1
r
MD??MB??DB??a?b.

2 22
【总结升华】用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功,除利用向量加、减
法 、数乘向量外,还应充分利用平面几何的一些定理,因此在求向量时要尽可能转化到平行四
边形或三角形 中,选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量,运用向量加、减法运算
及数乘运算来求解,既充 分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系,运用加法三角形、平
行四边形法则,运用减法三角形法则 ,充分利用三角形的中位线,相似三角形对应边成比例的
平面几何的性质,把未知向量转化为与已知向量 有直接关系的向量来求解.
举一反三:
uuurruuurr
【变式1】如图,四 边形OADB是以向量
OA?a

OB?b
为邻边的
rr
u uuur
uuur
11
b
表示
OM

ON

CN?CD
,平行四边形,又
BM?BC
,试用向量
a

33


uuuur
MN

uuuur1
uuur
1
uuur
1
uuuruuur
1
rr
【解析】 ∵
BM?BC?BA?(OA?OB)?(a?b)

36 66
uuuuruuuruuuurr
1
r
1
r
1
r
5
r

OM?OB?BM?b?a?b?a?b

66 66
uuur
1
uuur
1
uuur

CN?CD ?OD

36
uuuruuuruuur
1
uuur
1< br>uuur
2
uuur
2
uuuruuur
2
rr
ON?OC?CN?OD?OD?OD?(OA?OB)?(a?b)

26 333
uuuuruuuruuuur
2
rr
1
r
5
r
1
r
1
r
MN?ON?OM?(a?b)?a?b?a?b
36626
类型五:共线向量与三点共线问题
uruur
例6.设 两非零向量
e
1

e
2
不共线,
uuururu uruuururuuruuururuur
(1)如果
AB?e
1
?e2
,BC?2e
1
?8e
2
,CD?3(e
1
?e
2
),
求证
A,B,D
三点共线.
uruururu ur
(2)试确定实数
k
,使
ke
1
?e
2

e
1
?ke
2
共线.
uuururuururuur
【思路点拨】要证明
A,B,D
三点共线,须证存在
?
使
B D?
?
(e
1
?e
2
)
即可.而若
ke< br>1
?e
2

uruururuururuur
e
1< br>?ke
2
共线,则一定存在
?
,使
ke
1
? e
2
?
?
(e
1
?ke
2
)
.
uuururuuruuuruuuruuururuururuururuuruuur
【解 析】(1)证明
QAB?e
1
?e
2
,BD?BC?CD?2e< br>1
?8e
2
?3(e
1
?e
2
)?5(e< br>1
?e
2
)?5AB,

uuuruuur

?AB,BD
共线,又有公共点
B


A,B,D
三点共线.
uruururuur
(2)解 ∵
ke
1
?e
2

e
1
?ke
2
共线,
uruururuur
∴存在
?
,使
ke
1
?e
2
?
?
(e
1
?ke
2
)

uruururuur

(k?
?
)e
1
?(
?
k?1)e
2< br>,
由于
e
1

e
2
不共线,
?
k?
?
?0
只能有
?

k??1
.
?
k?1?0
?
rr
rr
【总结升华】本题充分地运用了向量共线的充要条件,即
a,b
共线
?
存在< br>?
使
b?
?
a
(正
用与逆用)
举一反三:
uruuruuururuuruuururuur
【变式1】设
e
1

e
2
是两个不共线的非零向量,若向量
AB?3e
1
? 2e
2


 BC??2e
1
?4e
2

uuururuur
CD??2e
1
?4e
2
,试证明:A 、C、D三点共线.


uuuruuuruuururuururuurur uur
证明:
AC?AB?BC?3e
1
?2e
2
?(?2 e
1
?4e
2
)?e
1
?2e
2
,

uuururuuruuururuur

CA??e
1
?2e
2
,

CD??2e
1
?4e
2
,

uuuruuur

CD?2CA,

uuuruuur

CD

CA
共线,
∴A、C、D三点共线.
uruuruuururuuruuururuuruuururuur【变式2】设
e
1

e
2
是两个不共线的向量,
AB?2e
1
?ke
2

CB?e
1
?3e2

CD?2e
1
?e
2

若A、B、D三点 共线,求k的值.
uuuruuuruuururuur
uuuruuur
【解析】
BD?CD?CB?e
1
?4e
2
,若A,B,D三点共线,则AB

BD
共线,则2∶1=k∶(―
4),k=―8.
类型六:向量在证明平面几何问题中的应用
例7. 如图,已知任意平面四边形ABCD中,E、F分别是AD、
BC的中点.
uuur
1
uuuruuur
求证:
EF?(AB?DC)

2
【证明】取以点A为起点的向量,应用三角形法则求,如下图.
uuur
1
uuur
∵E是AD的中点,∴
AE?AD

2
uuur
1
uuuruuur
∵F是BC的中点,∴
AF ?(AB?AC)

2
uuuruuuruuur
又∵
AC?AD?DC

u uur
1
uuuruuuruuurruuur
1
uuur
1
uuu

AF?(AB?AD?DC)?(AB?DC)?AD

222
uuuruuuruuur
1
uuuruuur
1
uuur
1
uuur
1
uuuruuur

EF?AF?AE?(AB?DC )?AD?AD?(AB?DC)

2222
【总结升华】 掌握向量的线性运算是关键,利用封闭图形的依次各向量之和为零向量进
行变形而得到.
举一反三:
【变式1】 已知:如图所示,在四边形ABCD中,对角AC与
BD交于O,且AO=OC,DO=OB.
求证:四边形ABCD是平行四边形(要求用向量的方法证明).
【证明】根据向量加法的三角形法则,


uuuruuuruuur uuuruuuruuur

AB?AO?OB

DC?DO?OC

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
又∵
AO ?OC

DO?OB
,∴
AO?OB?DO?OC

uuuruuur

AB?DC
.∴AB∥DC,AB=DC.
即AB与DC平行且相等.
∴四边形ABCD是平行四边形.
【总结升华】(1) 用向量方法证明几何问题,首先要把几何问题中的边转化成相应的向量,
通过向量的运算及其几何意义得 到向量间的关系,然后再还原成几何问题.
(2)注意以下两个问题:
①法则的灵活应用;
②要注意有向线段表示的向量相等,说明有向线段所在直线平行或重合且长度相等.



【巩固练习】
1.已知ABCD是平行四边形,则下列等式中成立的是( )
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
A.
AD?AB?BC
B.
AB?AC?CB

uuuruuuruuur
uuuruuuruuu r
C.
AD?DC?AC
D.
AD?AB?BD

uuuruuuruuuruuur
2.在正六边形ABCDEF中,O为其中心,则
FA?A B?2BO?ED?
?
uuuruuuruuur
uuur
A.
FE
B.
AC
C.
DC
D.
FC

?

uuuruuur
3.如图所示,D、E、 F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点,则
AF?DB
=( )
C
F
A
E
B
D
uuur
A.
FD

uuur
B.
FC

uuur
C.
FE

uuur
D.
BE


uuuruuur
4.A、B、C为不共线三点,则
AB?AC?
( )


uuuruuur
uuur
uuur
A.BC
B.
CB
C.
AB
D.
AC

rrrrr
5.4(
a

b
) ―3(
a
+
b
)-
b
等于( )
rrrrrrr
A.
a
―2
b
B.
a
C.
a
―6
b
D.
a
―8
b

r
6.设
a
是非零向量,
?
是非零实数,下列结论中正确的是( )
rrrr
2
A.
a

?
a
的方向相反 B.
a

?
a
的方向相同
rrrr
C.|-
?
a
|≥|
a
| D.|-
?
a
|=|
?

a

rruuurrruuurrruuurrr
7.已知向量
a

b
, 且
AB?a?2b

BC??5a?6b

CD?7a?2b
,则一定共线的三点是( )
A.A、B、D B.A、B、C C.B、C、D D.A、C、D
rrr
uuurruuurruuurr
8 .已知正方形ABCD边长为1,
AB?a,BC?b,AC?c
,则
a?b?c的模等于( )
A.0 B.3 C.
22
D.
2

rrrrrr
9.若|
a
|=5,
b
a
反向,|
b
|=3,则
a
=________b

uuur
uuur
AC1
10.点C在线段AB上,且< br>?
,则
AC
=________
AB

CB2rrr
uruururuururuur
11.已知
e
1
e
2
不共线,有两个不等向量
a

b

a=k
e
1
+
e
2
,b=
e
1
+k
e
2
,当实数k=________
rr
a
时,、b
共线.
12.如图,在平行四边形ABCD中,M、N分别是DC、BC中点,
uuuurruuurur
已知
AM?c,AN?d

rur
uuur
d
表示
AB
= 用
c、 
D
M
N
C

uuur

AD
.
A
B
rrrrrr
13.化简:(1)2(3
a
―2
b
)+3(
a
+ 5
b
)―5(4
b

a
);
uuurruuur r
BD?b
,14.已知,D、E是△ABC中AB、AC的中点,M、N分别是DE、BC的 中点,已知
BC?a,
rr
uuuruuuruuuur
CE与MN
.
b
分别表示
DE、
试用
a、 
rrrr
1(2)
[2(2a?8b)?4(4a?2b)]

6
uuur
1
uuuruuuruuur
15. G为△ABC的重心,O为平面内不同于G的任意一点,求证:
OG?(OA?OB?OC)

3



【答案与解析】
1.【答案】C
uuuruuuruuur
【解析】
AD?DC?AC
正确.
2. 【答案】B
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruu uruuur
【解析】
FA??BO,AB?ED?OC?原式AB?BO?OC?AO?OC ?AC
,故选B.
3. 【答案】D
uuuruuuruuuruuuruu uruuuruuur
uuuruuur
【解析】∵
DB?AD则AF?DB?AF? AD?DF
,由三角形中位线定理
DF?BE
,故选D.
4.【答案】B
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
【解析】
?BC?AC??(B A?AC)??BC?CB

5.【答案】D
rrrrrrr
【解析 】原式=4
a
―4
b
―3
a
―3
b
b
=
a
―8
b

6.B
rr
2
【解析】
?
≠0时
?
>0,∴
a

?
a
方向相同.
2
7.【答案】A
uu uruuuruuurrruuur
【解析】∵
BD?BC?CD?2a?4b?2AB
,∴A、B、D三点共线.
8.【答案】C
rr
【解析】正方形ABCD边长为1
a?1b?1
rrrr

a?b?c?2c?22
.
r
c?2
rrr
又c?a?b

5
9.【答案】
?

3
rr
r
5
r
【解析】
|a|?|b|
,又
a

b
反向.
3
1
10.【答案】
3
AC1AC1
???
. 【解析】
CB2AB3
11.【答案】―1
rr
?
k
?
?1
【解析】
a
=
?
b
?
ke
1
+e
2
=
?
(e
1
+ke
2
)
?
(k―
?
)e
1
=(k
?
―1)e2

?
?
?
k=±1.当k=1时,
k?
?< br>?


a=e
1
+e
2
=b=e
1
+e
2
,∴k=-1.
uuur
2
urruuur< br>2
rur
12.【答案】
AB?(2d?c),AD?(2c?d)

33
uuurruuurr
uuur
1
ruuuur
1r
【解析】设
AB?a,AD?b
,M、N为DC、BC中点,
BN?b

DM?a
,在△ABN中和△
22
r
1
rur< br>ADM中,
a?b?d

2
r
1
rr
b?a?c

2
uuurr
2
rur
AD?b?(2c?d)
.
3
uuurr
2
urr
解①②:
AB?a?(2d?c)
3
rrrrrrrr
13.【解析】(1)原式=6
a
―4
b
+3
a
+15
b
―2
b
+5
a
=14< br>a
―9
b

rrrrrrr
1
r
1
(2)原式
?(4a?16b?16a?8b)?(?12a?24b)??2a?4b

66
14.【解析】
由 三角形中位线定理知:DEBC且DE=BC
u uur
1
uuur
1
r

DE?BC?a

22
uuuruuuruuuruuurrr
1
r
1
rr
CE?CB?BD?DE??a?b?a??a?b

22
uuuuruuuuruu ur
1
uuur
1
uuuruuur
1
uuur
1
rr
1
r
1
rr
MN?MD?DB?BC?ED?DB?B C??a?b?a?a?b
.
222424
uuuruuuruuuruuuruu uruuuruuuruuuruuur
15.【解析】∵
OG?OB?BG

OG?OA?AG

OG?OC?CG

uuuruuuruuur
∵G为△ABC重心,∴
AG?BG?CG?0

uuuruuuruuuruuuruuuruuur
uuur
1
uuuru uuruuur

OG?OG?OG?OA?OB?OC
,即
OG?(OA? OB?OC)

3

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