最新学生版 高中数学必修2直线与圆的位置关系知识点总结经典例题与习题

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高中数学必修2
直线与圆的位置关系
【一】、圆的定义及其方程．
（1 ）圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)
叫做圆，定点叫做圆心，定长就是半径；（ 圆心是定位条件，半
径是定型条件）
（2）圆的标准方程： ；圆心
(a,b)
，半径为
r
；
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圆的一般方程：
x
2
?y2
?Dx?Ey?F?0(D
2
?E
2
?4F?0)
； 圆心 ，
半径为 ；
【二】、点与圆的位置 关系（仅以标准方程为例，其他形式，则可化为标准式
后按同样方法处理）
设
P(x
0
,y
0
)
与圆
(x?a)
2
?(y?b )
2
?r
2
；若
P
到圆心之距为
d
；
①
P
在在圆
C
外 ；
②
P
在在圆
C
内 ；
③
P
在在圆
C
上 ；

【三】、直线与圆的位置关系：
设直线
l:Ax?By?C?0和圆
C:(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
，圆心
C
到直线
l
之距
为
d
，由直线
l< br>和圆
C
联立方程组消去
x
（或
y
）后，所得一元二次 方程的判别
式为
?
，则它们的位置关系如下：
1

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相离 ；相切 ；相
交 ；
注意：这里用
d
与< br>r
的关系来判定，称为几何法，只有对圆才实用，也是
最简便的方法；利用
?< br>判定称为代数法，对讨论直线和二次曲线的位置关系
都适应。

【四】、两圆的位置关系：
（1）代数法：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组；若方程
组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，
则两圆相切；若无实数解 ，两圆相离。
（2）几何法：设圆
O
1
的半径为
r
1，圆
O
2
的半径为
r
2

①两圆外离 ；
②两圆外切 ；
③两圆相交 ；
④两圆内切
⑤两圆内含 ；
（五）
已知圆C：(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
(r>0)，直线L：Ax+By+C=0

2

41 1．位置关系的判定：
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判定方法1：联立方程组
(1)△>0
(2)△=0
(3)△<0

相交；
相切；
相离。
得到关于x(或y)的方程
判定方法2：若圆心(a，b)到直线L的距离为d
(1)d (2)d=r
(3)d>r
相交；
相切；
相离。
例 1、判断直线L：(1+m)x+(1-m)y+2m-1=0与圆O：x
2
+y
2< br>=9的位置关系。


例2、求圆x
2
+y
2
=1上的点到直线3x+4y=25的距离的最大最小值


3

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1．切线问题：
例3：
(1)已知点P(x
0
，y
0
)是圆C：x
2
+y
2
=r
2
上一点，求过点P的圆C的切线方程；
(x< br>0
x+y
0
y=r
2
)





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例4、求过下列各点的圆C：x
2
+y
2
-2x+4y-4=0的切线方程：
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(1) ； （2） B(4，5)
( 2)已知圆O：x
2
+y
2
=16，求过点P(4,6)的圆的切线PT的方 程。


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注：
(1)判断直线与圆的位置关系有两种方法，但利用圆心到直线的距离与半径的
关系来判断在计算上更 简洁。
(2)过圆外一点向圆引切线，应有两条；过圆上一点作圆的切线，只有一条。
例 6、从直线L：2x-y+10=0上一点做圆O：x+y=4的切线，切点为A、B，求
四边形PAO B面积的最小值。

22
例7、(切点弦)过圆外一点P(a，b)做圆O：x2
+y
2
=r
2
的切线，
切点为A、B，求直线AB的 方程。


2、弦长问题
例8、
(1)若点P(2， -1)为圆(x-1)
2
+y
2
=25的弦AB的中点，求直线AB的方程。

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(2)若直线y=2x+b与圆x
2
+y
2
=4相交于A 、B两点，求弦AB的中点M的轨迹。




(3)经过 原点作圆x
2
+y
2
+2x-4y+4=0的割线l，交圆于A、B两点，求 弦AB的中
点M的轨迹。







精选习题：
1 在直角坐标系中，直线
x?3y?3?0
的倾斜角是（ ）
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128
129
130

A．
?

6
B．
?

3
C．
5
?

6
D．
2
?

3
2 直线
ax?by?c?0
同时要经过第一 第二 第四象限，则
a、b、c
应满足
（ ）
6

131
132
A．
ab?0,bc?0

D．
ab?0,bc?0

B．
ab?0,bc?0
C．
ab?0,bc?0
133
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136
3 直线
3x?4y?9?0
与圆
x
2
?y
2?4
的位置关系是（ ）
A．相交且过圆心
圆心
B．相切 C．相离 D．相交但不过
4 过两点
(?1,1)和(3,9)
的直线在x轴上的截距是( )
3

2
2

3
2

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140
141
142

A．
?
B．
?
C． D．2
5.若直线ax+ by=1与圆x
2
+y
2
=1相交，则点P(a，b)的位置是____
A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.以上皆有可能

6． 已知点
A(1,2),B(3,1)
，则线段
AB
的垂直平分线的方程是（ ）
143 A．
4x?2y?5
B．
4x?2y?5

144
145
146
C．
x?2y?5
D．
x?2y?5


1
7．若
A(?2,3),B(3,?2),C(,m)
三点共线 则
m
的值为（ ）
2
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148
Ａ．

11
Ｂ．
?
Ｃ．
?2
Ｄ．
2

22
7

149 8．直线
xy
??1
在
y
轴上的截距是（ ）
a
2
b
2
150
151
152
A．
b
B．
?b
2
C．
b
2
D．
?b


9．直线
kx?y?1?3k
，当
k
变动时，所有直线都通过定点（ ）
153 A．
(0,0)
B．
(0,1)

154
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158
159
160
C．
(3,1)
D．
(2,1)


10．直线
xcos
?
?ysin
?
?a?0< br>与
xsin
?
?ycos
?
?b?0
的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直
C．斜交 D．与
a,b,
?
的值有关

11．直线
3x?y?3? 0
与
6x?my?1?0
平行，则它们之间的距离为（ ）
161 A．
4
B．
257
13
C．
13
D．
10

132620
162
163
164
165
166

12、若直线
x?1
的倾斜角为
?
，则
?
?
（ ）
A、
0
?
B、
45
?
C、
90
?
D、不存在

13．经过圆
x
2
?2x?y
2
?0
的圆心
C
，且与直线x?y?0
垂直的直线方程是（ ）
8

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185
186
187




A．
x?y?1?0
B．
x?y?1?0
C．
x?y?1?0
D．
x?y?1?0

14（安徽文） 直线
x?y?1
与圆
x
2
?y
2
?2ay?0(a ?0)
没有公共点，则
a
的取
值范围是 （ ）
A．
(0,2?1)
B．
(2?1,2?1)
C．
(?2?1,2?1)
D．
(0,2?1)

15、经过点A（1，2），且在两坐标轴上的截距相等的直线共有（ ）
A、1条 B、2条 C、3条 D、4条

16、方程
x
2
?4y
2
?0
表示的图形是（ ）
A、两条相交而不垂直的直线 B、一个点
C、两条垂直直线 D、两条平行直线
17、下列说法正确的是
A、 若直线
l
1
与
l
2
的斜率相等，则
l
1< br>∥
l
2
；
B、若直线
l
1
∥
l
2
，则
l
1
与
l
2
的斜率相等；
C、若一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则它们一定相交；
D、若 直线
l
1
与
l
2
的斜率都不存在，则
l
1
∥
l
2

8 动点在圆
x
2
?y
2
?1
上移动时，它与定点
B(3,0)
连线的中点的轨迹方程是
( )
9

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204
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207
208
209
210
211




A．
(x?3)
2
?y
2
?4






B．
(x?3)
2
?y
2
?1

C．
(2x?3)
2
?4y
2
?1

31
D．
(x?)
2
?y
2
?

22
19.直线l过点A(0，2)且与半圆C：(x-1)
2
+y2
=1(y≥0)有两个不同的交
点，则直线l的斜率的范围是____
< br>20已知点
M(a,b)
在直线
3x?4y?15
上，则
a< br>2
?b
2
的最小值为


21、m为任意实数时，直线（m－1）x＋(2m－1)y＝m－5必过定点 。
22.若圆x
2
+y
2
-4x-5=0上的点到直线3x-4y+k =0距离的最大值是4，求k







23.一个圆经过点P(2，-1)和直线x-y=1相切，且圆心在y=-2x上，求它的方
程。

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218
219
220
221
222






24.已知点P是圆x
2
+y
2
=4上一动点，定点Q(4，0)，求线段 PQ中点的轨迹
方程。
25．已知过点
M(?3,?3)
的直线
l
被圆
x
2
?y
2
?4y?21?0
所截得的弦长为
45
，求直线
l
的方程．

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