高中数学基础教育的问题及解决-高中数学符号读音
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6
7
高中数学必修2
直线与圆的位置关系
【一】、圆的定义及其方程．
（1
）圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)
叫做圆，定点叫做圆心，定长就是半径；（
圆心是定位条件，半
径是定型条件）
（2）圆的标准方程：
；圆心
(a,b)
，半径为
r
；
8
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20
圆的一般方程：
x
2
?y2
?Dx?Ey?F?0(D
2
?E
2
?4F?0)
；
圆心 ，
半径为 ；
【二】、点与圆的位置
关系（仅以标准方程为例，其他形式，则可化为标准式
后按同样方法处理）
设
P(x
0
,y
0
)
与圆
(x?a)
2
?(y?b
)
2
?r
2
；若
P
到圆心之距为
d
；
①
P
在在圆
C
外
；
②
P
在在圆
C
内
；
③
P
在在圆
C
上
；
【三】、直线与圆的位置关系：
设直线
l:Ax?By?C?0和圆
C:(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
，圆心
C
到直线
l
之距
为
d
，由直线
l<
br>和圆
C
联立方程组消去
x
（或
y
）后，所得一元二次
方程的判别
式为
?
，则它们的位置关系如下：
1
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40
相离 ；相切
；相
交 ；
注意：这里用
d
与<
br>r
的关系来判定，称为几何法，只有对圆才实用，也是
最简便的方法；利用
?<
br>判定称为代数法，对讨论直线和二次曲线的位置关系
都适应。
【四】、两圆的位置关系：
（1）代数法：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组；若方程
组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，
则两圆相切；若无实数解
，两圆相离。
（2）几何法：设圆
O
1
的半径为
r
1，圆
O
2
的半径为
r
2
①两圆外离
；
②两圆外切 ；
③两圆相交
；
④两圆内切
⑤两圆内含
；
（五）
已知圆C：(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
(r>0)，直线L：Ax+By+C=0
2
41 1．位置关系的判定：
42
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49
50
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判定方法1：联立方程组
(1)△>0
(2)△=0
(3)△<0
相交；
相切；
相离。
得到关于x(或y)的方程
判定方法2：若圆心(a，b)到直线L的距离为d
(1)d
(3)d>r
相交；
相切；
相离。
例
1、判断直线L：(1+m)x+(1-m)y+2m-1=0与圆O：x
2
+y
2<
br>=9的位置关系。
例2、求圆x
2
+y
2
=1上的点到直线3x+4y=25的距离的最大最小值
3
60
61
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1．切线问题：
例3：
(1)已知点P(x
0
，y
0
)是圆C：x
2
+y
2
=r
2
上一点，求过点P的圆C的切线方程；
(x<
br>0
x+y
0
y=r
2
)
70
71
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74
75
例4、求过下列各点的圆C：x
2
+y
2
-2x+4y-4=0的切线方程：
76
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81
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83
(1) ； （2） B(4，5)
(
2)已知圆O：x
2
+y
2
=16，求过点P(4,6)的圆的切线PT的方
程。
4
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注：
(1)判断直线与圆的位置关系有两种方法，但利用圆心到直线的距离与半径的
关系来判断在计算上更
简洁。
(2)过圆外一点向圆引切线，应有两条；过圆上一点作圆的切线，只有一条。
例
6、从直线L：2x-y+10=0上一点做圆O：x+y=4的切线，切点为A、B，求
四边形PAO
B面积的最小值。
22
例7、(切点弦)过圆外一点P(a，b)做圆O：x2
+y
2
=r
2
的切线，
切点为A、B，求直线AB的
方程。
2、弦长问题
例8、
(1)若点P(2，
-1)为圆(x-1)
2
+y
2
=25的弦AB的中点，求直线AB的方程。
5
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(2)若直线y=2x+b与圆x
2
+y
2
=4相交于A
、B两点，求弦AB的中点M的轨迹。
(3)经过
原点作圆x
2
+y
2
+2x-4y+4=0的割线l，交圆于A、B两点，求
弦AB的中
点M的轨迹。
精选习题：
1
在直角坐标系中，直线
x?3y?3?0
的倾斜角是（ ）
127
128
129
130
A．
?
6
B．
?
3
C．
5
?
6
D．
2
?
3
2
直线
ax?by?c?0
同时要经过第一 第二
第四象限，则
a、b、c
应满足
（ ）
6
131
132
A．
ab?0,bc?0
D．
ab?0,bc?0
B．
ab?0,bc?0
C．
ab?0,bc?0
133
134
135
136
3 直线
3x?4y?9?0
与圆
x
2
?y
2?4
的位置关系是（ ）
A．相交且过圆心
圆心
B．相切
C．相离 D．相交但不过
4
过两点
(?1,1)和(3,9)
的直线在x轴上的截距是( )
3
2
2
3
2
5
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139
140
141
142
A．
?
B．
?
C． D．2
5.若直线ax+
by=1与圆x
2
+y
2
=1相交，则点P(a，b)的位置是____
A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.以上皆有可能
6．
已知点
A(1,2),B(3,1)
，则线段
AB
的垂直平分线的方程是（
）
143 A．
4x?2y?5
B．
4x?2y?5
144
145
146
C．
x?2y?5
D．
x?2y?5
1
7．若
A(?2,3),B(3,?2),C(,m)
三点共线
则
m
的值为（ ）
2
147
148
Ａ．
11
Ｂ．
?
Ｃ．
?2
Ｄ．
2
22
7
149
8．直线
xy
??1
在
y
轴上的截距是（ ）
a
2
b
2
150
151
152
A．
b
B．
?b
2
C．
b
2
D．
?b
9．直线
kx?y?1?3k
，当
k
变动时，所有直线都通过定点（
）
153 A．
(0,0)
B．
(0,1)
154
155
156
157
158
159
160
C．
(3,1)
D．
(2,1)
10．直线
xcos
?
?ysin
?
?a?0<
br>与
xsin
?
?ycos
?
?b?0
的位置关系是（
）
A．平行 B．垂直
C．斜交
D．与
a,b,
?
的值有关
11．直线
3x?y?3?
0
与
6x?my?1?0
平行，则它们之间的距离为（ ）
161
A．
4
B．
257
13
C．
13
D．
10
132620
162
163
164
165
166
12、若直线
x?1
的倾斜角为
?
，则
?
?
（ ）
A、
0
?
B、
45
?
C、
90
?
D、不存在
13．经过圆
x
2
?2x?y
2
?0
的圆心
C
，且与直线x?y?0
垂直的直线方程是（ ）
8
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169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
A．
x?y?1?0
B．
x?y?1?0
C．
x?y?1?0
D．
x?y?1?0
14（安徽文）
直线
x?y?1
与圆
x
2
?y
2
?2ay?0(a
?0)
没有公共点，则
a
的取
值范围是 （ ）
A．
(0,2?1)
B．
(2?1,2?1)
C．
(?2?1,2?1)
D．
(0,2?1)
15、经过点A（1，2），且在两坐标轴上的截距相等的直线共有（ ）
A、1条 B、2条 C、3条 D、4条
16、方程
x
2
?4y
2
?0
表示的图形是（
）
A、两条相交而不垂直的直线 B、一个点
C、两条垂直直线
D、两条平行直线
17、下列说法正确的是
A、
若直线
l
1
与
l
2
的斜率相等，则
l
1<
br>∥
l
2
；
B、若直线
l
1
∥
l
2
，则
l
1
与
l
2
的斜率相等；
C、若一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则它们一定相交；
D、若
直线
l
1
与
l
2
的斜率都不存在，则
l
1
∥
l
2
8
动点在圆
x
2
?y
2
?1
上移动时，它与定点
B(3,0)
连线的中点的轨迹方程是
( )
9
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
A．
(x?3)
2
?y
2
?4
B．
(x?3)
2
?y
2
?1
C．
(2x?3)
2
?4y
2
?1
31
D．
(x?)
2
?y
2
?
22
19.直线l过点A(0，2)且与半圆C：(x-1)
2
+y2
=1(y≥0)有两个不同的交
点，则直线l的斜率的范围是____
<
br>20已知点
M(a,b)
在直线
3x?4y?15
上，则
a<
br>2
?b
2
的最小值为
21、m为任意实数时，直线（m－1）x＋(2m－1)y＝m－5必过定点 。
22.若圆x
2
+y
2
-4x-5=0上的点到直线3x-4y+k
=0距离的最大值是4，求k
23.一个圆经过点P(2，-1)和直线x-y=1相切，且圆心在y=-2x上，求它的方
程。
10
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
24.已知点P是圆x
2
+y
2
=4上一动点，定点Q(4，0)，求线段
PQ中点的轨迹
方程。
25．已知过点
M(?3,?3)
的直线
l
被圆
x
2
?y
2
?4y?21?0
所截得的弦长为
45
，求直线
l
的方程．
11