数列 知识点总结及数列求和,通项公式的方法归纳(附例题)

数 列
数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、通项公式，递推公
式、数列求和、数 列极限、简单的数列不等式证明等.
1.数列的有关概念：
（1） 数列：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.
（2） 从函数的观点 看，数列可以看做是一个定义域为正整数集
N
?
（或它的有限子集）的
函数。 当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。由于自变量的值是离散的，
所以数列的值是一群孤立的 点。
（3） 通项公式：如果数列
?
a
n
?
的第
n
项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式
叫做这个数列的通项公式，即
a
n
?f(n)
.如:
a
n
?2n?1
。
（4） 递推公式：如果已知数列
?
a
n
?
的第一项（或前 几项），且任何一项
a
n
与它的前一项
2
a
n?1
（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即
a
n
?f(a
n?1
)
或
a
n
?f(a
n?1
,a
n?2
)
，那么这个式子叫做数列
?
a
n
?
的递推公式. 如数列< br>?
a
n
?
中，
a
n
?2a
n?1< br>?1
，其中
a
n
?2a
n?1
?1
是数列< br>?
a
n
?
的递推公式.再如:
a
1
?1, a
2
?2,a
n
?a
n?1
?a
n?2
( n?2)
。
2．数列的表示方法：
（1） 列举法：如1，3，5，7，9，? （2）图象法：用（n, a
n
）孤立点表示。
（3） 解析法：用通项公式表示。 （4）递推法：用递推公式表示。
3．数列的分类：




按有界性
?
?
有穷数列

按项数
?
?
无穷数列
?
常数列:a
n
?2
?
n

?
递增数列:a
n
?2n?1,a
n
?2

按单调性
?
2
?
递减数列:a
n
??n?1
?
摆动数列:a?(?1)
n
?2n
?
n
?
?< br>有界数列:存在正数M,总有项a
n
使得a
n
?M，n?N
?

?
?
无界数列:对于任何正数M，总有项a
n
使得an
>M
4．数列{a
n
}及前n项和之间的关系:

S
n
?a
1
?a
2
?a
3
???a< br>n

a
n
?
?
?
S< br>1
,(n?1)
?
S
n
?S
n?1
,(n? 2)


等差数列
1.等差数列的概念
如果一个数列从第二项起 ，每一项与它前一项的差等于同一个常数
d
，这个数列叫做等
差数列，常数
d
称为等差数列的公差.
2.通项公式与前
n
项和公式
⑴通 项公式
a
n
?a
1
?(n?1)d
，
a
1
为首项，
d
为公差.可变形为
a
n
?a
m
?(n?m)d

⑵前
n
项和公式
S
n
?
3.等差中项
如 果
a,A,b
成等差数列，那么
A
叫做
a
与
b的等差中项.
即：
A
是
a
与
b
的等差中项< br>?
2A?a?b
?
a
，
A
，
b
成等 差数列.
4.等差数列的判定方法
⑴定义法：
a
n?1
?an
?d
（
n?N
?
，
d
是常数）
?< br>?
a
n
?
是等差数列；
⑵中项法：
2a
n ?1
?a
n
?a
n?2
(
n?N
?
)?
?
a
n
?
是等差数列.
5.常用性质：
?
a
n
?
是等差数列
（1）若< br>m?n?p?q
，则
a
m
?a
n
?a
p?a
q
；

（2）数列
?
a
n
?p< br>?
、
?
pa
n
?
（
p
是常数）都是 等差数列；在等差数列
?
a
n
?
中，等距离
取出若干项也构 成一个等差数列，即
a
n
,a
n?k
,a
n?2k
,a
n?3k
,?
为等差数列，公差为
kd
。
2
（3）
S
n
，S
2n
?S
n
，S
3n< br>?S
2n
……
仍为等差数列，公差为
nd
；
?
n(a
1
?a
n
)
1
或
S
n
? na
1
?n(n?1)d
.
22
?
S
n
?
?
是等差数列。
n
??
（4）若三个成等差数列，可设为
a?d，a，a?d
；四个数成等差数列，可 设为
a?3d,a?d,a?d,a?3d

（5）
?
a
n
?
为等差数列
?S
n
?an?bn
（
a，b
为常数，是关于
n
的常数项为0的二
2
次函数）。（
a
n
?an?b
(
a
,
b
是常数)）

S
n
的最值可求二次函数
S
n
?an
2
? bn
的最值；或者求出
?
a
n
?
中的正、负分界项，
即：当
a
1
?0，d?0
，解不等式组
?
?
a< br>n
?0
可得
S
n
达到最大值时的
n
值.
a?0
?
n?1
?
a
n
?0
当
a
1
?0，d?0
，由
?
可得
S
n
达到最小 值时的
n
值.
a?0
?
n?1
(6) 项数为偶数
2n
的等差数列
?
a
n
?
有
，
S
2n
?n(a
1
?a
2n
)?n(a
2
?a
2n?1
)???n(a
n
?a
n?1
)( a
n
,a
n?1
为中间两项)

S
偶
?S
奇
?nd
，
S
奇
S
偶
?
a
n
.
a
n?1
，
有 （7）项数为奇数
2n?1
的等差数列
?
a
n
?
S
2n?1
?(2n?1) a
n
(a
n
为中间项)
，

S
奇
?S
偶
?a
n
，

S
奇
S
偶
?
n
.
n?1
等比数列
1.等比数列的概念
如果一个数列从第二项起，每一项与 它前一项的比等于同一个常数
q(q?0)
，这个数列
叫做等比数列，常数
q
称为等比数列的公比.
2.通项公式与前
n
项和公式
n? 1n?m
⑴通项公式：
a
n
?a
1
q
，
a
1
为首项，
q
为公比 . 可变形为
a
n
?am
?q(n,m?N
?
)

⑵前
n
项和公式： ①当
q?1
时，
S
n
?na
1

a
1
(1?q
n
)
a
1
?a
n
q
?
②当
q?1
时，
S
n
?
.
1?q1?q
3.等比中项
如果
a,G,b
成等比数列，那么G
叫做
a
与
b
的等比中项.
即：
G
是
a
与
b
的等比中项
?
a
，
A
，
b
成等比数列
?
G
2
?a?b
.
4.等比数列的判定方法

⑴定义法：
a
n?1
?q
（
n?N
?
，
q?0
是常数）
?
?
a
n
?
是等比数列；
a
n
2
⑵中项法：
a
n?1
?a
n
?a
n?2
(
n?N
?
)且
a
n
?0
?
?
a
n
?
是等比数列.
5.常用性质
⑴数列
?
a
n
?
是等比数列，则数列
?
pa
n
?
是等比数列；等距离取出若干项也构 成一个等比
k
数列，即
a
n
,a
n?k
,a
n?2k
,a
n?3k
,?
为等比数列，公比为
q
；S
n
，S
2n
?S
n
，S
3n
?S< br>2n
……
仍
为等比数列,公比为
q
.
⑵若
m?n?p?q(m,n,p,q?N
?
)
，则
a
m
?a< br>n
?a
p
?a
q
；
⑶如果三个数构成等比数列，则 设其为
n
a
,a,aq
；若四个数成等比数列，则可设其为
q
aa
,,aq,aq
3
。
3
qq
⑷等比数列的通项公式 可以改写成
a
n
?
数，而
a
n
?
a
1
n
q
。当
q?0且q?1时，y?q
x
是一个指数函< br>q
a
1
n
q
是一个不为0的常数与指数函数的积。
q
通项公式，数列求和
一、求数列通项公式
1）给出递推公式求通项公式
1°递推关系形如
a
n?1
?a
n
?f(n)
，< br>f
?
n
?
是可求和的。可利用迭加法或迭代法：
a
n
?(a
n
?a
n?1
)?(a
n?1
?a
n?2
)?(a
n?2
?a
n?3
)?
?
?(a< br>2
?a
1
)?a
1

例1：已知数列
?a
n
?
中，
a
1
?2,a
n
?an?1
?2n?1(n?2)
，求数列
?
a
n
?
的通项公式；
例2：已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?a
n
?2?3
n
?1，a
1
?3
，求数列
{a
n
}
的通项公式。
2°递推关系形如
an?1
?a
n
?f(n)
，
f
?
n
?
是可求积的。可利用迭乘法：
a
n
?
a
n
a
n?1
a
n?2
a
a
???
?
?
3?
2
?a
1
a
n?1
a
n?2
an?3
a
2
a
1

例1：数列
?
a< br>n
?
中，
a
1
?3，
n?1
?
例2 ：已知数列
?
a
n
?
满足：
a
a
n
n
，求
a
n

n?1
a
n
n?1
?(n?2),a
1
?2
，求数列
?
a
n
?的通项公式；
a
n?1
n?1

例3： 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?3a
n
，a
1
?7
，求数列
{a
n
}
的通项公式。 < br>3°递推关系形如“
a
n?1
?pa
n
?q
”，可利 用待定系数法：可把它变为
4
a
n?1
?
?
?p(a
n
?
?
)
?
,
为待定系数。令
b
n?a
n
?
?
，先求数列
?
b
n
?的通项公式，进而求
?
a
n
?
的通项公式。
例1：已 知数列
?
a
n
?
中，
a
1
?1,a
n?1
?2a
n
?3
，求数列
?
a
n
?
的通项公式.
2
a
n
?4
，且
a
1?1
求通项
a
n
。
3
a
?1
pa
n
1
n
n?1
4°递推关系形如“
a
n?1
?pa
n
?q
”，两边同除以
q
（
n
??
）并采用待定系
q
n?1
qq
n
q
例2： 已知数
{a
n
}
的递推关系为
a
n?1
?
数法求 解或者直接采用待定系数法（
a
n?1
?
?
q
n?1
?p(a
n
?
?
q
n
)
）。
例1. 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?2a
n
?3?5
n
，a
1
?6
，求数列
{a
n< br>}
的通项公式。
例2. 已知数列
{a
n
}
满足< br>a
n?1
?3a
n
?2?3
n
?1，a
1< br>?3
，求数列
{a
n
}
的通项公式。
5°递推已知 数列
?
a
n
?
中，关系形如“
a
n?2
? p?a
n?1
?q?a
n
”，利用待定系数法求解
（
an?2
?ma
n?1
?n(a
n?1
?ma
n
),其中mn=q,n?m=p
）
例1：已知数列
?
a
n
?
中，
a
1
?1,a
2
?2,a
n?2
? 3a
n?1
?2a
n
，求数列
?
a
n
?< br>的通项公式.
例2：在数列
?
a
n
?
中，
a
1
?1
,
a
2
?2
，
a
n?2
?
21
a
n?1
?a
n
，求
a
n
。
33
11
?p?q
）
a
n?1
a< br>n
（
6°递推关系形如
a
n
?pa
n?1
? qa
n
a
n?1
p,q?0)
,两边同除以
a
n< br>a
n?1
（
（
例1：已知数列
?
a
n
?
中，
a
n
?a
n?1
?2a
n
an?1
n?2),a
1
?2
，求数列
?
a
n< br>?
的通项公式.
例2：数列
?
a
n
?
中，
a
1
?2,a
n?1
?
2）给出前n项和求通项公式
例1：⑴
S
n
?2n?3n
； ⑵
S
n
?3?1
.
3）、给出关于
S
n
和
a
m
的关系
2n
2a
n
(n?N
?
)
，求数列
?
a
n
?
的通项公式.
4?a
n
5
a
n?1
，a
1
?4
，求
a
n

3
1
? ?
2
例2：设
S
n
是数列
?
a
n
?
的前
n
项和，
a
1
?1
，
S
n
?a
n
?
S
n
?
?
(n?2)
. 求
?
a
n
?
的通项
2
??
例1：数列< br>?
a
n
?
满足
S
n
?S
n?1?
例3：已知数列
?
a
n
?
中，
a
1
?
1
，前
n
项和
S
n
与
a
n
的关系是
S
n
?n(2n?1)a
n
，试求通
3

项公式
a
n
。
例4：已知数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且 满足
2S
n
?2a
n
?n?3
(n?N)
．求数列
{a
n
}
的
通项公式。
*
二. 求数列前n项和的常用方法
1）公式法:直接由等差，等比数列的求和公式求和，注意等比时q=1和
q?1
的讨论。
等差数列求和公式：
S
n
?
n( a
1
?a
n
)
n(n?1)
?na
1
?d

22
(q?1)
?
na
1
?
n等比数列求和公式：
S
n
?
?
a
1
(1?q)
a
1
?a
n
q

?(q?1)
?
1?q
?
1?q
例1： 已知
lo g
3
x?
?1
23n
，求
x?x?x?????x????
的前n项和.
log
2
3
例2： 设S
n
＝1+ 2+3+…+n，n∈N
*
,求
f(n)?
S
n
的最大值.
(n?32)S
n?1
2）拆项求和法： 通过拆分、合并、分组，将所求和转化为等差、等比数列求和
例1：求和：2×5+3×6+4×7+?+n（n+3）
例2：求数列的前n项和：
1?1,
2
111
?4,
2
?7,???,
n?1
?3n?2
，…
a
aa
2n?1
例3：求数列
1,1 ?2,1?2?2,?,1?2?2???2
例4：求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.
,?
的前
n
项和
3）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距 离”的两项的和相等或等于同一常数，那
么求这个数列的前
n
项和即可用倒序相加法
把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.
S
n
?a
1
?a
2
?……?a
n?1
?a
n
?
?相加
S
n
?a
n
?a
n?1
?……?a2
?a
1
?
2S
n
?(a
1
?an
)?(a
2
?a
n?1
)?(a
3
?an?2
)???(a
n
?a
1
)?n(a
1
? a
n
)
例1： 求
sin1?sin2?sin3?????sin88?sin89
的值
例2：如 已知函数f(x)对任意x∈R都有
f(x)?f(1?x)?
2
?
2
?
2
?
2
?
2
?

11
，
S
n
?f(0)?f()?

2n
23n?2n?1
*
（
n?N
），求
S
n

f()?f()
+?
?f()?f()
?f(1)
，
nn nn

例3：设
f(x)?
1
2?2
x
，求< br>f
?
?5
?
?f
?
?4
?
???f
?
0
?
???f
?
5
?
?f
?< br>6
?
的值
x
2
例4：已知
f(x)?
，
2
1?x
那么
f(1)?f(2)??f(2008)?f()?f()?? f(
4) 裂项相消法
把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 数列的常见拆项有：
1
2
1
3
1
)?
_____
2008
1111
1
?(?)
；
?n?1?n
< br>n(n?k)knn?k
n?n?1
11
?
11
?
?
?
?
?

(2n?1)(2n?1)2
?
2n?1 2n?1
?
例1：在数列{a
n
}中，
a
n
?项的和.
2
12n
，又
b
n
?
，求数列{b
n
}的前n
??????
a
n
?a
n?1
n?1n?1n?1
111

??
?
?
1?21?2?31 ?2?3???n
1111
例3：求和：
.
???
?
?< br>2?13?24?3n?1?n
例2：求和：
S
=1+
5）错位相减法
若
?
a
n
?
为等差数列，
?
b
n
?
为等比数列，求数列
?
a
n
b
n
?（差比数列）前
n
项和，可由
S
n
?qS
n
， 求
S
n
，其中
q
为
?
b
n
?的公比.
例1：求
S
n
?1?2x?3x?4x?……?nx
n
23n?1

例2：若数列
?
a
n
?
的通项
a
n
?(2n?1)?3
， 求此数列的前
n
项和
S
n
.
例3： 求数列
24 62n
,
2
,
3
,???,
n
,???
前 n项的和.
2
222
常用的公式：
1
1
2
?2
2
?3
2
???n
2
?n
?
n?1
??
2n?1
?

6
1
3
?2
3
?3
3
???n
3
?
n
2
?
n?1?
4
2