高中数学对物理和化学的影响-高中数学教案设计百度文库
知识点总结：
1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与
||
||cos?叫与的数量积，记作?，即?
，它们的夹角是θ，则数量
|cos?，并 =
|||
规定与任何向量的数量积为0
2．平面向量的数量积的几何意义：数量积?
的乘积.
3．两个向量的数量积的性质 设、为两个非零向量，是与
? ?
与
=
0
反向时，? = ?||||,特别
同向的单位向量
等于的长度与在方向上投影||cos?
1?? = ? =||cos?；
2??
3?当与同向时，
2
? = ||||；当
地? = ||
4?cos? = ； 5?|?| ≤ ||||
4.平面向量数量积的运算律
① 交换律： ?
③ 分配律：( +
= ? ② 数乘结合律：(
?
)? =(?) = ?()
)? =
? +
5.平面向量数量积的坐标表示
①已知两个向量
②设，则
，
.
,则.
③平面内两点间的距离公式 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为
、，那么
，
.
，则④向量垂直的判定 两个非零向量
.
⑤两向量夹角的余弦 co
s
? =（
）.
1．平面向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量，，怎样用与的坐标来表示呢？
设向量分别为平面直角坐标系的轴、轴上的单位向量，则有
，
∴
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
3.平面向量数量积的坐标表示的性质
⑴向量的模
设，则有或
⑵平面内两点间的距离公式
设，，则，
⑶两向量垂直的坐标表示的判断条件
设，，则
⑷两向量的夹角的坐标表示公式
设非零向量，，为与的夹角，
二．例题讲解
1. 平面向量数量积的运算
例题1 已知下列命题:
①; ②; ③;
其中正确命题序号是 ②、④ .
点评:
掌握平面向量数量积的含义,平面数量积的运算律不同于实数的运算律.
则
④
例题2 已知
解
=
(2)当时,
=
(1)当 时,
.
; (2)
=
;(3)
的夹角为,分别求
或
.
.
(3)当的夹角为时,
=
,求
.
=
变式训练:已知
解:
点评: 熟练应用平面向量数量积的定义式求值,注意两个向量夹角的确定及分类完整.
2.夹角问题
例题3 若
A. B.
,且
C.
,则向量与向量的夹角为 ( )
D.
解:依题意
学生训练: ① 已知
② 已知,
故选C
,求向量与向量的夹角.
夹角为,则 .
解:
①
.
,故夹角为
②依题意得
变式训练:已知是两个非零向量,同时满足,求
.
的夹角.
法一 解:将两边平方得 ,
则
法二: 数形结合
, 故的夹角.为.
点评:注意两个向量夹角共起点,灵活应用两个向量夹角的两种求法.
3.向量模的问题
例题4 已知向量
解:
满足
,且的夹角为
,且
的夹角为
,求.
变式训练 :
①已知向量
A.
②
已知
B.
的夹角为,
,若不超过5,则的取值范围 (
)
D.
等于( )
C.
, ,则
A 5 B. 4
C. 3 D. 1
解: ①
②
点评:涉及向量模的问题一般利用
3．已知
解：
，，求
,
, 故选C
,解得
,注意两边平方是常用的方法.
,故选B
，
，，与的夹角.
∵
∴
4．已知
解：
∵
∴
∴
∴
是直角三角形
，，，试判断的形状，并给出证明.
是直角三角形. 证明如下：
，
例题引伸：
在直角
解：①若
∴
中，
，则
，
，求实数的值；
∴
②若
而
∴
，则
∴
③若
而
，则
∴
∴
4.平面向量数量积的综合应用
例题5 已知向量
(1) 若
(2)求的最大值 .
.
解:(1)若
(2)
,则
=
,.
=
,的最大值为.